книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

в достаточно широком диапазоне деформаций, а полученная инфор­ мация удобна для обработки на ЭВМ. Подобно поляризационно­ оптическому методу, метод муара обеспечивает высокую чувстви­ тельность и точность измерений, позволяет совместить фиксацию процесса с его измерением и получить наглядную картину по всей поверхности. Кроме того, метод муара отличается:

а) простотой измерения основных величин (поэтому не требуется специальных устройств или операции разделения);

б) точностью, определяемой главным образом геометрическим параметром — шагом растра;

в) полнотой информации, которую дает изображение деформи­ рованного растра. Действия над растрами позволяют выполнить ряд операций (вычитание, дифференцирование функций) механи­ ческими способами.

Метод муара может быть использован для измерения различных механических величин — смещений, наклонов, прогибов, кривизны, которые могут быть связаны с преобразованием растров. Техника преобразования растров также может быть различной — отражение от поверхности образца спроектированной или наложенной сетки, использование изображения преломленной сетки, непосредственное нанесение сеток на поверхность образца и др. [28]. Последний спо­ соб преобразования растров является наиболее универсальным и находит основное применение при исследовании деформированного состояния тел.

К недостаткам метода муара обычно относят зависимость чув­ ствительности от шага растра и трудность нанесения мелких сеток. Однако они проявляются лишь при измерении очень малых дефор­ маций. Современные способы фотолитографии обеспечивают простое и качественное нанесение растров, а специальные методы (компен­ сация, умножение) позволяют достигать высокой точности при ис­ пользовании относительно грубых сеток.

Таким образом, метод муара удачно сочетает достоинства метода координатных сеток и поляризационно-оптического метода и обла­ дает рядом дополнительных преимуществ. Особенно эффективен он при измерении деформаций в пределах 0,1— 100%. Это позволяет рассматривать метод муара в настоящее время как наиболее эффек­ тивный и универсальный способ экспериментального исследования пластических течений.

КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Как отмечалось, параметрами механического состояния сплошной среды, которые могут быть определены экспериментально, являются кинематические величины — смещения или их производные — де­ формации. Приведем необходимые в дальнейшем сведения из теории деформированного состояния [29—31].

Системы координат. Движение сплошной среды можно считать заданным, если известно положение каждой материальной точки тела в любой момент рассматриваемого отрезка времени. Положение

10

точек определяется относительно фиксированной системы координат, не связанной с движением тела, т. е. относительно системы измерения. Современные методы измерения позволяют относительно просто получить наибольшую точность измерения линейных и угловых величин.

В качестве систем измерения в дальнейшем будут использованы декартовы прямоугольные координаты х, у, z и реже — цилиндриче­ ские координаты г, z, 0. Наряду с этим движение тела удобно рас­ сматривать в некоторой специальной системе координат — системе наблюдателя, которая приспособлена к специфике задачи (геоме­ трии области течения, характеру деформированного состояния и т. д.). Эта система, в общем случае криволинейная, также является фиксированной, ее координаты обозначены х ъ у г, zx.

Кроме того, при описании конечного формоизменения сплошных тел вводят сопутствующую систему координат, которая жестко свя­ зана с определенными точками тела и в процессе деформации искрив­ ляется, растягивается и перемещается вместе с телом. Исходное положение сопутствующей системы может быть выбрано произвольно. Однако этот выбор определяет начальные координаты точек, по­ этому исходное положение сопутствующей системы удобно совме­ щать с системой измерения. Координаты точек в сопутствующей си­ стеме обозначены а, Ь, с.

Метрика сопутствующей системы непрерывно изменяется, однако начальные координаты а, Ь, с одних и тех же точек тела сохраняются постоянными, так как координатные линии сопутствующей системы жестко связаны с точками тела. Если некоторая точка в исходном положении имела координаты х 0, у 0, z0, а сопутствующая система

могут быть разрешены и в обратном порядке:

Для этого необходимо, чтобы якобиан D соответствующего пре­ образования (1) или (2) не был равен нулю:

11

Это позволяет любые параметры А состояния тела, вычисленные в системе x lt у ъ zlt рассматривать и как функции переменных х\, yv Z\ произвольной системы (2):

(аналогичные дифференциалы выписываются для dyx, dzt), а опе­ раторы дифференцирования

(пространственных) и внутренних сопутствующих (материальных) систем координат связано с особенностями описания движения сплош­ ной среды по Эйлеру и Лагранжу. Переменные х ъ y lt zlt t назы­ ваются переменными Эйлера, в отличие от переменных Лагранжа аг, bj, си t. Закон движения тела в форме Лагранжа устанавливает

Закон движения в форме Эйлера устанавливает обратное преобра­ зование:

йх = ах (Хх, Ух, t), bx = bx (xlt Ух, Zx, t), c x = c x ( ^ , y x, Zx, t).(7)

Очевидно, из физических соображений следует, что преобразо­ вания (6), (7) являются взаимооднозначными, если сплошность среды не нарушается.

Смещения точек тела вычисляются по изменению их положения относительно системы измерения. Для декартовых координат

U = х —х0 = х — а, )

W = z — z0 = z — с. )

Если связи (6), (7) известны, то смещения можно выразить как через переменные Лагранжа, так и через переменные Эйлера. Например,

U = х (а, Ь, с) — а = х — а (х, у, z).

Скорость точек тела

12

вычисляется в системе измерения для фиксированных а, Ь, с и также может быть выражена в переменных Эйлера или Лагранжа, по­ скольку соотношения (6) заданы в явном виде относительно, а, Ь, с и t. Это позволяет записать закон движения в форме Эйлера, выра­ женный через скорости, в виде

и — и (х, у , z, i), v = V (х , у, z, t), w = w (х , у, z, t). (9)

Если распределение скоростей задано в переменных Лагранжа, то ускорение точек тела, которое определяется относительно си­ стемы измерения, находится простым дифференцированием:

£ * ~ Ж ’ £ у ~ Ж ’ ё г ~ Ж '

Если же распределение скоростей задано в переменных Эйлера, то необходимо вычислять полные (субстанциональные) производные.

среды смещаются таким образом, что их относительное положение, определяемое расстояниями и углами, изменяется. Эти изменения могут быть отнесены к начальному или конечному положению тела, в связи с чем вводят тензоры конечных деформаций Грина и Альманси. Первый из них выражается в переменных Лагранжа; в де­ картовой системе координат его компоненты могут быть выражены через закон движения в форме соотношений (6):

о1

ЕXX 2

или через смещения (8), записанные также в переменных Лагранжа:

Компоненты тензора конечной деформации Альманси в декартовой

13

или через смещения (8), выраженные в переменных Эйлера:

Компоненты, которые не указаны в формулах (10)—(13), выпи­ сываются по аналогии. Если тензоры конечных деформаций Грина и Альманси относятся к одним и тем же начальному и конечному состояниям среды, то их компоненты связаны соотношением

в котором используется обычное правило суммирования по повто­ ряющимся индексам, а х г = х, х 2 = у, х 3 = г, а1 = а, а2 = Ь, а3 = с. Геометрический смысл тензоров деформации Грина и Аль­ манси определяется тем, что компоненты с одинаковыми индек­ сами (г = /) характеризуют изменение длины бесконечно малых отрезков, которые в начальном состоянии были направлены вдоль осей декартовой системы координат х, у, г, а компоненты с несовпа­ дающими индексами (i ф /) характеризуют изменение (л/2 — ytj) первоначально прямых углов между отрезками. В соответствии с указанными искажениями, вводят определения технического тен­ зора конечных деформаций в лагранжевом и эйлеровом описаниях:

(1 — Bxx) (1 — Byy)

14

где da — начальная длина отрезка;

dx — проекция его конечной длины на ось х; остальные формулы получаются из (14) путем круговой перестановки ин­ дексов.

Для плоского случая, когда все кинематические величины за­ висят только от координат (х, у), деформированное состояние в ок­ рестности точки представлено на рис. 1. Начальное положение эле­ ментарных отрезков, направленных вдоль осей координат, соот­ ветствует M 0N 0 и Л40Р 0, конечное — ЛДЛД и Л41Р 1. Стрелками показаны смещения характерных точек. Как и для всякого симме­

Если в процессе деформации главные направления тензора ко­ нечных деформаций остаются фиксированными относительно си­ стемы измерения и триэдр главных осей лишь поступательно пере­ мещается в пространстве, то деформация называется чистой, а на­ гружение — простым. В общем случае сложного нагружения глав­ ные направления в процессе деформации вращаются. При простом нагружении могут быть использованы логарифмические деформации

которые удобны тем, что обладают свойством аддитивности. В слу­ чае сложного нагружения логарифмические деформации сохраняют смысл только тогда, когда система измерения поворачивается вслед за вращением главных осей рассматриваемой точки.

Важным свойством конечного формоизменения является линей­ ность преобразований (6), (7) между начальными (лагранжевыми)

15

и конечными (эйлеровыми) координатами в малой окрестности точки:

или

dxt = Cijdaj.

Очевидно, обратное преобразование также является аффинным: dat = Cfjdxi,

где Сп-—■матрица, обратная Сц.

При аффинном преобразовании порядок кривых или поверхно­ стей, выделенных в деформируемом теле в окрестности точки, сохра­ няется. Поэтому параллельные прямые в малом объеме остаются параллельными прямыми, плоскости — плоскостями, параллелепи­ педы преобразуются в параллелепипеды, окружности — в эллипсы и т. д. Заметим, что наложение жесткого вращения или переноса не влияет на тензор конечной деформации, хотя матрица преобразо­ вания при этом изменяется. Если линейные соотношения (16) спра­ ведливы для области конечных размеров, то деформация постоянна в каждой точке этой области. Такое состояние называется однородным.

Тензоры конечной деформации имеют три инварианта и обладают рядом важных свойств. Укажем на необходимую в дальнейших расчетах инвариантную величину — интенсивность деформаций

16

Коэффициенты Вхх, Вху, . . ., Вгг образуют матрицы Ви пре­ образования скоростей, которые сохраняются для каждой точки

в рассматриваемый момент времени. Компоненты Вц могут быть

-*

выражены через скорость деформации и угловую скорость со мгно­ венного вращения частицы

частицы (вектора вихря скорости) на оси х, у, г. Тензор скоростей деформации также имеет три главных направления, вдоль которых в каждый момент времени осуществляется чистое растяжение или сжатие. Таким образом, скоростное состояние в малой окрестности частицы сплошной среды можно разложить на скорость чистого растяжения (сжатия) вдоль главных осей, их поступательный пере­

нос со скоростью v0 вместе с точкой О и вращение с мгновенной угло-

вой скоростью со (теорема Коши—Гельмгольца). Скорость относи­ тельного изменения объема

Для однородного деформированного состояния соотношения (21) выполняются в конечном.

В теории пластичности важное значение имеет инвариантная ве­ личина — интенсивность скоростей деформации сдвига

Приращение деформаций. Приращение смещений между двумя близкими интервалами времени t -j- At и t находится из выражений

(21), (22):

Малая деформация (19), вычисленная по приращениям смеще­ ний A U, А К, AW для того же интервала времени, называется при­ ращением деформации:

18

Полные смещения U, V, W в переменных Эйлера находятся ин­ тегрированием соотношений (24). Интегрирование (25) не приводит, однако, к выражениям для конечных деформаций (13), (14). Полу­ ченные таким образом величины соответствуют накопленным де­ формациям. Для простого нагружения накопленные деформации равны логарифмическим (15).

Для развитого пластического течения важной характеристикой является накопленная интенсивность деформаций сдвига

(26)

где dTp— приращение интенсивности сдвига (18) пластических деформаций.

Параметр qp характеризует степень упрочнения материала и на­ зывается параметром Одквиста. В случае простого нагружения и однородного состояния qp совпадает с логарифмическими деформа­ циями (15).

ПОСТАНОВКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Независимо от того, какой метод используется для измерения, постановка экспериментальных задач основана на выборе методики проведения исследования и характера измеряемых величин.

Методика эксперимента должна обеспечить получение информации, максимально отражающей напряженно-деформированное состояние реального процесса. Фиксация деформированного состояния непо­ средственно в момент нагружения обычно оказывается возможной только на свободных поверхностях. Это позволяет провести полное исследование плоского напряженного состояния, когда толщина материала незначительна по сравнению с другими размерами. Для плоского деформированного и осесимметричного состояний можно ограничиться исследованием картины течения в плоскости, совпа­ дающей с плоскостью течения или с меридиональным сечением. Указанные сечения недоступны для прямого наблюдения, поэтому исследования приходится проводить на разъемном образце, а оста­ точные пластические деформации фиксировать после разгрузки. Поскольку в плоскости разъема касательные напряжения отсут­ ствуют, то поведение разъемного образца аналогично цельному, если нормальные напряжения являются сжимающими. Если в про­ цессе деформации в плоскости разъема возникают растягивающие напряжения, то обе части образца необходимо соединять с помощью склеивания, пайки или сварки. Измерение деформаций после раз­ грузки вносит небольшую погрешность для пластических деформа­ ций, значительно превышающих упругие.

При измерении конечных деформаций и смещений фиксация де­ формированного состояния проводится на последней стадии про­ цесса. При исследовании мгновенного состояния (скоростей течения, скоростей деформации, приращения смещений и деформаций) фик­ сируют изменение состояния на малом этапе. В последнем случае