книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

Фу. Необходимость в дополнительных измерениях отпадает при вычислении полей деформаций. Действительно, дифференцируя соот­ ношения (71), (72), находим:

Вторые члены в правых частях соотношений (73) известны, а первые находятся численным или графическим дифференцированием картин муаров, которое будет рассмотрено ниже. Дифференциальный метод позволяет значительно увеличить число базовых точек диффе­ ренцируемых функций и улучшает их определенность, так как полосы муара становятся более тонкими и контрастными. Благодаря этому удается измерить весьма малые упругие [51, 52] и термические [53, 54] деформации, которые в обычном методе муара потребо­ вали бы применения очень мелких сеток. Кроме того, при сохране­ нии точности может быть расширен верхний предел измеряемых деформаций [50].

Применение дифференциального метода муара рассмотрено

в[3, 55]. Детальное изложение метода дано в [55, 56, 38]. Интерполяция и умножение. Информация, заключенная в рас­

тровой системе, является не только дискретной, но и непрерывной. Например, она может быть определена путем измерения координат на отдельных линиях растра для шага сетки Ах ^ Ау р. Свой­ ства растров позволяют производить такие измерения за счет интер­ поляции функций между полосами муара и определения полос дроб­ ного порядка.

Если накладываются системы деформированного и исходного линейного х-растра, то полосы дробного порядка могут быть полу­ чены путем относительного сдвига растров вдоль оси х на некоторую величину А 0. Для исходного растра из выражения (51) тогда получим

И 2 = {X— А 0)/р-

для деформированного растра из уравнения (69)

я х = (х — И)!р.

Вдоль полос муара, возникающих при сдвиге,

рп = (я2 — я х) р = U — А 0.

Обозначив я 0 = п' = U/p при Л 0 = 0, из последнего выражения находим изменение порядка полос, вызванное сдвигом:

Ап -- | п 0— я' | = А о/р,

т. е. изменение порядка полос равно величине сдвига, выраженного в долях шага растра р. Очевидно, картина полос повторяется при сдвиге на шаг растра А 0 = р, что эквивалентно изменению поля смещений на р. При сдвиге на А 0 = р/2 светлые и темные полосы муара меняются местами.

40

Практически для определения полос дробных порядков вначале производится обычное наложение растров, и находится порядок полос п [57]. Затем исходный растр сдвигается на Л Qи фиксируется новое положение полос, причем их порядок увеличивается на A Jp, если полосы при сдвиге смещались в направлении возрастания п, и умень­ шается на A J p в обратном случае.

В методе интерполяции, предложенном в работе [58], исполь­ зуется измерение распределения интенсивности света в промежутке между полосами муара. Распределение интенсивности света опре­ деляется механической интерференцией линий растров и однозначно связано с их геометрией. В частности, при наложении двух линей­ ных систем интенсивность света между темными и светлыми полосами изменяется линейно в любом направлении (см. рис. 4). Измерение интенсивности в любой точке плоскости производится фотометрами,

случае и применения достаточно сложной аппаратуры — во втором. Кроме того, оба метода становятся малоэффективными, когда число полос невелико, и точность определения положения центра полос снижается.

Следует отметить, что практическое применение метода муара связано с необходимостью удовлетворения противоречивых требо­ ваний. Измерение малых деформаций и обеспечение высокой точ­ ности требуют применения весьма мелких растров. Однако трудность нанесения и репродукции растров тем больше, чем меньше их шаг. Поэтому во всех случаях стремятся использовать возможно более грубые сетки. Указанное противоречие удается устранить путем умножения полос муара. При умножении, хотя на образец наносится достаточно грубый растр с шагом р, картина муара получается такой же, как и при применении значительно более мелкого растра с шагом р', отличающимся от р в целое число раз: т — pip', т =2, 3, 4,. . ..

Число полос, соответствующее шагу р ', в т раз превышает действи­ тельное. Таким образом, объем информации и точность метода также увеличиваются в т раз. Известны геометрические методы умножения [59], однако наибольшими преимуществами обладают оптические методы.

В оптических методах умножения используются волновые свой­ ства света, которые проявляются при прохождении когерентных монохроматических лучей через системы растров [60, 61]. Если растровую пластинку 1 (рис. 10) осветить параллельным пучком света, то в результате дифракции от каждой прозрачной линии растра выйдут группы лучей в определенных направлениях, причем угол отклонения каждой группы от нормали к растру будет строго фиксированным. На рис. 10 такие группы обозначены индексом а и показаны для одной щели растра 1. Попадая на вторую растровую пластинку 2, каждая группа лучей а вновь дифрагирует и создает, в свою очередь, новое множество дифракционных порядков k. В ре-

41

зультате, после прохождения пластинки 2, лучи распределяются по дифракционным порядкам г, которые имеют те же направления, что и порядки а и k. Между порядками групп существует простое соот­ ношение г = a -f k. Соберем группы г линзой 3. Так как каждая группа имеет свое направление, то лучи различных групп соберутся в определенных точках фокальной плоскости 4, образуя картину дифракционных порядков Фраунгофера. Очевидно, в фокусе каж­ дого порядка будут содержаться изображения обеих решеток. Изображения определенных групп могут быть отфильтрованы, если экран 4 выполнить непрозрачным с определенным расположением отверстий. Пройдя через отверстия, лучи некоторой группы дают изображения накладываемых растров на втором экране.

Рис. 10. Схема умножения полос муара [64 3:

1 — исходный растр; 2 — деформированный растр; 3 — линза; 4 — экран

Типичная оптическая схема установки для умножения показана на рис. 11. Линза 3, в фокусе которой помещена диафрагма 2, создает параллельный пучок лучей от точечного источника 1. Лучи света, пройдя через растровые пластинки 4, 5, дифрагируют и создают ряд изображений (порядки дифракции) в фокальной плоскости собираю­ щей линзы 6. Интервал между последовательными изображениями примерно равен Kflp, где X — длина волны света, / — фокусное рас­ стояние линзы, р — шаг растров. Определенная группа дифрагиро­ ванных лучей пропускается через отверстие в диафрагме 7. Соответ­ ствующее изображение растров наблюдается на экране 8 или фикси­ руется фотокамерой. Так как лучи каждой группы когерентны и дифрагируют дважды, в соответствии с кратностью чисел а и k, а каждому порядку дифракции соответствует определенное направ­ ление волнового фронта, то оптические изображения растров 4, 5 интерферируют между собой.

В зависимости от порядка дифракции и особенностей решеток возможны двухлучевая или многолучевая интерференции. Анализ различных способов умножения по схеме рис. 10 рассмотрен в [62]. Для линейных растров с равным отношением ширины темных и свет­ лых промежутков во всех случаях преобладает двухлучевая интер­ ференция для порядков а = 0, k = г и а = г, k = 0 каждой ре­ шетки, что соответствует умножению т = г. Если в качестве одного из растров используется резонансная система, шаг которой р± в це­

лое число раз меньше р, то т = гр, где р = — . В случае г = р = 1

42

Однородные деформации.

Как отмечалось, в поле однородной деформации текущие (х, у) и началь­ ные {а, Ь) координаты произвольной точки свя­ заны аффинным преоб­ разованием, а системы линейных растров пре­ образуются в другие

линейные системы, определяемые углами у х, ц>у и шагом р 1х, р 1у соответственно (см. рис. 9). Ограничиваясь случаем плоской дефор­ мации, из уравнений (16) находим:

или х — С^ух —(- С12Ь, У — О2уи —j—С22b.

Нанесем на исследуемую поверхность системы растров, линии которых параллельны осям декартовой системы координат. На дефор­ мированные системы наложим исходный растр с шагомр2, поворачи­ вая его таким образом, чтобы образующиеся полосы муара стали параллельны линиям исходного растра. В этом случае они парал­ лельны и линиям деформированного растра. Углы <рх, фу (см. рис. 9) могут быть измерены непосредственно по повороту эталон­ ной сетки.

Измеряя расстояния рх, ру между образующимися полосами муара для х- и //-растров соответственно, из выражений (56) нахо­

нему значению для некоторого числа полос муара. Для повышения точности определения р 1х, р 1у, (рх и ц>у можно применять дифферен­ циальный метод.

Обозначим далее: т = р1х/р2, п = р1у/р2- Величины т, п, ц>х, <$у полностью определяют искажение квад­

ратного элемента единичной длины. Из геометрического рассмотре-

44

н и я квадраД н ого элем ен та в п о л е одн ородн ой д еф орм ац и и (см. р и с. 9)

Из уравнений (11), (74), (76) нетрудно далее определить компо­ ненты тензора конечной деформации Грина:

Дтп ,

Е Ху — 2 ^ё У- j

Жесткий поворот элемента, определяемый углом вращения 0 против часовой стрелки, равен:

тsin фу — п cos ф*

тcos ф(/-|- п sin ф* ’

Условие несжимаемости записывается в виде тп ~~ 1, что позво­ ляет измерять только одну из величин т или п. Если развитие деформации зависит от некоторого параметра к, подобного времени, то матрица Си- является функцией к. Для определения скоростей деформации, продифференцируем выражение (74) по к:

45

Соотношения (79) определяют поле скоростей в переменных Лаг­ ранжа. Чтобы перейти к переменным Эйлера, разрешим уравнение (74) относительно координат а, Ь:

а — £ (С^х С12у),

b— -jy(— С.пх -f- Сп у),

иподставим уравнение (80) в (79):

Так как при однородном деформированном состоянии соотноше­ ния (16) справедливы для поля скоростей и для конечных коорди­ нат, то, выбирая начало декартовой системы координат в точке и0 —

46

жны быть измерены значения Ctj (X) и Сц (X + АХ) для двух достаточно близких моментов X и (А, -f- Л^). Тогда

Если деформированное состояние является не только однородным, но и стационарным, то поле скоростей (82) сохраняется при любом X и матрица Вц =-■const. Нетрудно показать, что матрица Сц в любой момент X может быть выражена через Вц. Ограничившись, для про­ стоты, несжимаемым материалом, из выражения (82) имеем:

= “ = В1Хх \ В12у, |

С,

Здесь

г — J/"Bi2B2i -[- Bn.

Таким образом, для однородного стационарного состояния доста­ точно зафиксировать деформированные растры для двух близких моментов, вычислить коэффициенты Сц для этих моментов из выра­

числение Сц для некоторого момента X, а коэффициенты Вц опре­ делять из уравнения (87). Решение трансцендентной системы (87) относительно неизвестных Вц может быть выполнено аналитически или численно на ЭВМ.

Интересный способ измерения однородных деформаций предло­ жен в работе [70]. На исследуемую поверхность наносят две системы линейных растров, которые могут не совпадать с направлениями декартовых координат и иметь различный шаг. При наложении

47

исходного и деформированного растров образуются полосы муара двух семейств. Если эталонный растр поворачивать таким образом, чтобы полосы муара обоих семейств стали параллельны между собой, то деформированное состояние может быть определено по углам поворота эталонной сетки 0 и углам наклона ср полос муара. Особенно эффективен этот метод для малых деформаций, когда общее направ­ ление двух семейств полос муара совпадает с направлением макси­ мальных сдвигов. Такое положение достигается при двух поворотах эталонной сетки на углы 0, —0И. На рис. 12 показано исходное состояние (а) и наложение эталонной сетки на деформированную под углами 0J и 0П (б). Направления полос муара /, II совпадают

ториями главных деформаций. Значения главных деформаций для плоского деформированного состояния и несжимаемого материала

Другие методы измерения однородных деформаций с помощью эффекта муара рассматриваются в работах [71—74].

Локальные деформации. В некоторых случаях неоднородного состояния представляет интерес измерение деформаций в определен­ ных точках. В пределах достаточно малой области преобразование растров, связанное с деформацией, является линейным и локальные характеристики могут быть определены по геометрии полос муара в окрестности рассматриваемой точки. Деформации вычисляются по формулам для однородного состояния [70, 71, 73]. Для неста­ ционарных процессов, кроме того, необходимо фиксировать поло­ жение точек в определенные моменты времени. В этих случаях весьма удобно комбинировать метод муара с методом координатных сеток, что позволяет сочетать простоту и точность измерений с возмож­ ностью непосредственного определения текущих координат точки. С этой целью на поверхность материала обычно одновременно нано­ сят систему ортогональных линейных растров и координатную сетку.

48

Можно использовать квадратные растры, линии которых усилены через определенный шаг и становятся визуально наблюдаемыми и доступными для измерений. Деформированные растры фиксируют одновременно с искажением координатной сетки. Информацию, полу­ чаемую из картины муара двух семейств, дополняют измерением смещений в узлах сетки.

При определении локальных характеристик большими преиму­ ществами обладает система, комбинирующая координатную сетку с круговыми растрами (зональными решетками). В такой системе муаровые тензодатчики [40, 28, 75] используются при измерении полей локальных характеристик. Элемент системы показан на рис. 13. Круговые растры образованы концентрическими окружностями,

сматривалась в работах [40, 76]. Обычно полосы муара описываются кривыми высокого порядка, которые практически не могут быть использованы. Анализ существенно упрощается, если ограничиться рассмотрением картин муара вдоль осей эллипса. Так как линии растров пересекают оси под прямыми углами, то вблизи осей дефор­ мированная система примерно совпадает с линейной. Если наклады­ вать на такую систему эталонный растр в виде квадратной сетки, шаг которой равен шагу исходного растра, то можно подобрать положе­ ние эталонной сетки, при котором картина муара в окрестности рас­ сматриваемой точки симметрична относительно осей, параллельных