книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

при выборе величины деформации необходимо учитывать следующие обстоятельства: она должна быть достаточно малой, чтобы параметры могли быть отнесены к определенному моменту, и в то же время до­ статочно большой, чтобы разгрузка не вносила существенных ис­ кажений. Кроме того, смещения на контакте должны быть доста­ точными для того, чтобы контактное трение соответствовало условиям пластического течения. Экспериментально было установлено, что для процессов металлообработки эти требования удовлетворяются при величине деформации в 1—2%. Для процессов, зависящих от времени, мгновенное состояние может быть определено с помощью двух образцов, деформируемых в одинаковых условиях до двух различных моментов времени, вблизи рассматриваемого момента; параметры мгновенного состояния могут быть вычислены по прира­ щениям конечных перемещений.

Выбор измеряемых величин должен обеспечить возможность полного анализа процесса. При постановке экспериментальных ис­ следований исходят из тех же предпосылок, что и современная теория пластичности, которая имеет два основных варианта — деформацион­

20

Растром называется со­ вокупность близкорас­ положенных фигур или линий, обладающая раз­ личными оптическими свойствами по от­ ношению к падающему на нее свету. По типу поверхности, на кото­ рой образована система,

растры делятся на плоские, цилиндрические и др. Различие их оп­ тических свойств может проявляться по отношению к амплитуде или фазе световой волны при прохождении или отражении света,

всвязи с чем растры делятся на амплитудные и фазовые, а также проходящие и отражающие. Преимущественное применение находят плоские амплитудные растры; другие системы применяются только

вспециальных случаях [35]. Амплитудные растры образованы чере­ дующимися прозрачными и непрозрачными участками для прохо­ дящих систем и отражающими и неотражающими — для отражаю­ щих систем.

Элементы растра могут располагаться по определенному закону (регулярные растры) или хаотически. Поскольку применение растров при измерениях основано на их специфических функциональных свойствах, то им обычно придают геометрию некоторых систем коор­ динат, а образующие элементы выполняются в виде координатных линий системы. Если используется только одно семейство коорди­ натных линий, то растры называются простыми, если одновременно два семейства — комбинированными. Последние можно также рас­ сматривать как растры, образованные фигурами. Наиболее распро­ страненные системы растров приведены на рис. 2.

Линейный растр (рис. 2, а) образован чередованием темных и светлых параллельных полос (темная полоса относится к непро­ зрачному или неотражающему участку, а светлая — к прозрачному или отражающему). Круговой растр (зональная решетка) образован концентрическими окружностями (рис. 2, б); радиальный растр (рис. 2, в) — темными и светлыми секторами, имеющими общий полюс.

При наложении двух линейных растров под углом в 90° образуется квадратный растр (рис. 2, б). Тип растра сохраняется, если светлые и темные участки поменять местами. Например, на рис. 2, е изображен квадратный растр, который является негативным изображением по отношению к рис. 2, д.

22

Важной геометрической характеристикой растра является шаг р, определяемый как расстояние по нормали между центрами двух соседних полос. Для линейных и квадратных растров, соответствую­ щих декартовой системе координат х, у, шаг растра выполняется по­ стоянным. Круговые и радиальные растры, соответствующие по­ лярной системе координат, выполняются с постоянным радиальным

р — Аг — const (рис. 2, б) и угловым Лер = const (рис. 2, в)

шагом.

Если линии растров направлены вдоль координатных линий некоторой системы, а шаг меняется по определенному закону, то такая система определяет преобразование по одной из координат.

Рис. 2. Системы растров

Растровая система, показанная на рис. 2, г (зональная решетка Френеля), отвечает преобразованию радиальной координаты поляр­ ной системы в соответствии с уравнением р — Air (А — const).

Очевидно, более сложные растры можно рассматривать как ре­ зультат функционального преобразования некоторой простой си­ стемы. Например, растр на рис. 2, ж, образованный координатными линиями криволинейной системы координат {хъ у г), определяет некоторое преобразование декартовой системы (х, у) на рис. 2, д, если существует непрерывное взаимооднозначное соответствие

с большой простотой и точностью устанавливать преобразования типа (27). Это достигается благодаря особым оптическим явлениям, возникающим при наложении растровых систем.

Оптической характеристикой растра является его светосила, которая равна отношению проходящей (или отраженной) через растр световой энергии ко всей падающей световой энергии. Если светлые промежутки идеально прозрачны, а темные — непрозрачны, то светосила растра (см. рис. 2, a) R = alp.

Обычно применяются системы, у которых ширина темных и светлых промежутков одинакова и R = 0,5.

23

МЕХАНИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ

При прохождении света через растр могут возникать оптические явления различной природы, в зависимости от шага растра и длины волны света. Если эти величины соизмеримы, то растровая система обладает свойствами дифракционных решеток и наблюдаемые явле­ ния определяются волновыми свойствами света. Если же шаг растра значительно превышает длину волны света, то волновыми явлениями можно пренебречь, а наблюдаемая картина будет определяться законами геометрической оптики. Последний случай имеет место, когда шаг растра больше 0,02 мм. В методе муара шаг растров обычно

В проходящем свете такие растры воспринимаются как равномерный фон, плотность которого определяется интенсивностью света и све­ тосилой растра. Это объясняется физиологическими особенностями человеческого глаза, который, с одной стороны, не в состоянии вы­ делить объекты, рассматриваемые под углом зрения меньше 1',

сдругой стороны, способен выделять из поля мелких объектов об­ ласти одинакового распределения световой энергии.

Рассмотрим картины, наблюдаемые при сложении двух растровых систем. Такое сложение можно произвести, если отпечатать растры на фотопластинках и плотно прижать друг к другу эмульсионными слоями. Ограничимся вначале сложением линейных систем. Пусть шаг растров одинаков, а линии — параллельны. Нетрудно выделить два крайних случая: 1) светлые промежутки одной системы совмещены

стемными промежутками другой; 2) светлые промежутки совмещены со светлыми, а темные — с темными. Прохождение света в первом случае равно нулю, во втором — равно пропускающей способности

исходных растров. Возникающие картины соответствуют темному и светлому полям. Если один из растров медленно сдвигать относи­ тельно второго так, чтобы параллельность линий сохранялась, то будут наблюдаться все промежуточные поля. При смещении на ве­ личину р/2, вид поля изменится на противоположный, и вся картина будет повторяться с периодом р. Очевидно, освещенность поля ме­ няется пропорционально смещению, выраженному в долях шага. Наблюдаемая картина является простейшим случаем механической интерференции света, при которой в каждой точке меняется интен­ сивность светового потока за счет изменения прозрачности нало­ женных систем растров.

Если шаг одного из растров несколько отличается от шага дру­ гого, а линии растров по-прежнему параллельны, то все виды рас­ смотренных полей обнаруживаются на одной картине (рис. 3, б). Допустим, что в некотором сечении / (рис. 3, а) светлые полосы обоих растров совпадают. Вследствие разницы в шаге несовпадение полос по обе стороны от сечения / нарастает и на некотором расстоянии от него темные_полосы одного растра совпадают со светлыми полосами другого (сечение II). Такая картина повторяется периодически по всей площади растров. Прохождение света максимально в сечениях /

24

Аналогичная картина наблюдается в общем случае наложения двух произвольных криволинейных растров с переменным шагом. Картина полос в окрестности произвольной точки может быть полу­ чена при рассмотрении распределения интенсивности света в эле­ ментарных ячейках, образованных линиями растров. На рис. 5 показано наложение полос п 1 первого растра и полос п 2 второго растра. Очевидно, интенсивность света максимальна вдоль точек а, б, в, г, д кривой /—/, в которых темные полосы обоих растров на­ кладываются друг на друга. Вдоль кривой 1а—1а темные полосы одного растра перекрывают светлые промежутки другого. В этом случае освещенность минимальная. Первая последовательность то­ чек будет восприниматься как центр светлой полосы муара, вторая —

как центр темной полосы. При определенной геометрии накладывае­ мых полос и специальных условиях освещения и наблюдения может также наблюдаться последовательность точек пересечения линий растров вдоль кривой II— II или последовательность точек вдоль кривых типа III —III, в которых освещенность также максимальная. В отличие от муара вдоль кривых / —/, который называется первич­

все возможные полосы муара расположены вдоль определенных диагоналей криволинейных четырехугольников, образованных пере­ сечением линий исходных растров.

Контрастность наблюдаемых полос тем выше, чем короче диа­ гональ, соединяющая точки пересечения линий. Поэтому первичный муар будет доминирующим, если угол между линиями растров меньше 90°. Однако при слишком малых углах ширина полос муара становится значительной, что затрудняет определение осевой линии полосы. При углах больше ~30° шаг полос муара соизмерим с шагом растров и полосы муара трудно отличить от линий растров. Для правильной интерпретации картин муара всегда необходимо знать, с каким типом полос приходится иметь дело. Обычно предполагается,

26

что накладываемые системы растров различаются незначительно, а углы их поворота не слишком велики и что вторичные и резонансные эффекты не наблюдаются. Эти условия не накладывают существенных ограничений на применение метода [36, 37]. Геометрические пара­ метры образующихся при этом полос муара оказываются величинами высокого порядка по сравнению с шагом накладываемых растров, что весьма важно для целей измерения.

Как следует из рис. 5, системы накладываемых растров един­ ственным образом определяют картину возникающих полос муара. Соответствующая связь устанавливается уравнением механической интерференции. Наиболее общий вывод этого уравнения вытекает из рассмотрения свойств диагональных систем и интерпретации си­ стем растров как линий уровня скалярных функций [38, 39]. Пред­ положим, в некоторой области задана функция двух переменных

которой в трехмерном пространстве соответствует поверхность. С из­

Проектируя сечения поверхности (28) плоскостями (29) на пло­ скость (х, у) и приписывая полученным кривым порядковый номер п, функцию г (%, у) можно представить графически на плоскости ли­ ниями равного уровня. Наоборот, поверхность (28) может быть вос­ становлена, если кривую каждого уровня поднять над плоскостью

на величину п8. Если функция г (х, у) является векторной, то она может быть задана двумя системами линий уровня, соответ-

ствующих скалярным величинам — проекциям вектора z (zx, zy) на оси координат. Аналогично, тензорные величины также задаются графически на плоскости линиями уровня их компонент. Для функ­ ций z (х, у), однозначных в каждой точке и не принимающих постоян­ ного значения на участке конечных размеров, шаг б может быть выбран достаточно малым, чтобы линии уровня были представлены рядом близкорасположенных непересекающихся линий. Последние можно рассматривать как линии растра. Таким образом, любая растровая система с заданным порядком нумерации элементов, яв­ ляется линиями уровня некоторой скалярной функции. Из (28), (29) также следует, что линии растров могут быть заданы аналитически как уравнения плоских параметрических кривых:

п ср (х, у), п — 0, ±1, ±2, . . .. (30)

Рассмотрим скалярную функцию f (х, у), которая является раз­ ностью двух других скалярных функций

Каждую из функций, входящих в (31), заменим системой линий равного уровня:

где п, пъ п2— целые числа, а 6 — некоторый постоянный уровень. Так как уровень б выбирается произвольно, то уравнение (31)

выполняется при подстановке соотношений (32), откуда получим

всех трех функций пересекаются в одних и тех же точках. Нетрудно установить, что уравнение (33) описывает параметры диагональных систем. Действительно, из рис. 5 можно видеть, что в точках а, б,

г', д' линии 16—16 и при переходе к каждой последующей диагональ­ ной линии эта разность изменяется на единицу. Как было показано, такие диагональные системы соответствуют полосам первичного муара. При этом ориентация линий уровня исходных растров, опре­ деляемая в направлении возрастания параметра полос, должна быть вполне определенной (см. стрелки, показанные сплошными линиями на рис. 5). Если один из накладываемых растров повернуть на угол больше 90°, то ориентация линий уровня изменится на обратную (стрелки, показанные штриховыми линиями в левой части рис. 5). Можно проверить, что вдоль диагональных линий в последнем случае выполняется соотношение

Диагональная система (34) совпадает с полосами вторичного муара. Таким образом, операции над функциями (31), (35) заменены опе­ рациями над их уровнями (33), (34). Это может быть выполнено ав­ томатически путем наложения растровых систем, образованных ли­ ниями равного уровня исходных функций. Образующиеся при этом полосы муара соответствуют линиям того же уровня результирующей функции, которая является разностью или суммой исходных. От­ сюда следует, что метод муара, основанный на явлении механиче­ ской интерференции растровых систем, позволяет производить ма­ тематические операции над полями скалярных величин без вычисле­ ний. Достигаемая при этом точность получаемого результата равна точности задания исходных функций, т. е. определяется величиной б. Возможность использования сколь угодно малых значений б свя­

зана с техникой практического применения метода.

Как отмечалось, обычно приходится иметь дело с первичным муаром, поэтому уравнение (33) в дальнейшем применяется как основное уравнение механической интерференции. Если уравнения линий уровня исходных функций могут быть представлены в ана-

28

литически разрешенном виде (30) относительно их параметров, то нетрудно определить параметрическую форму уравнения возникаю­ щих муаровых полос:

Однако этого удается достигнуть только в некоторых простых случаях. В большинстве случаев, с помощью уравнения (33) можно получить ясную физическую интерпретацию наблюдаемых картин муара в различных применениях растровых систем.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАСТРОВ, СВЯЗАННОЕ С ДЕФОРМАЦИЕЙ

Неоднородное поле деформаций. При исследовании деформирован­ ного состояния сплошной среды методом муара на плоские поверх­ ности или сечения наносятся растры, которые фиксируются в опре­ деленные моменты. Обычно сечения выбираются таким образом, чтобы смещения в нормальном к ним направлении были незначитель­ ными и растры оставались плоскими в процессе деформации. В ряде случаев таким путем может быть получено полное описание кине­ матики процесса.

Пусть деформированное состояние некоторого сечения рассма­ тривается в произвольной системе ортогональных координат (хх, Ух). Нанесем на исследуемую поверхность растровые системы, обра­ зованные близкорасположенной последовательностью координатных линий х г = const и ух = const. Изображения этих систем, выпол­ ненные, например, на фотографической пластинке в том же масштабе, что и на образце, будем называть исходными (эталонными) хх- и г/х-растрами, соответственно. В процессе деформации точки образца получают смещения из начальных (х0Х, г/ох) в текущие (хх, Ух) поло­ жения и линии растров меняют свою геометрию как сопутствующая система координат (ах, fcx). Очевидно, лагранжевы координаты а х точек, расположенных на каждой из линий исходного хх-растра, сохраняются в любой момент времени. Аналогично, лагранжева координата Ьх сохраняется на каждой линии исходного г/х-растра. При наложении соответствующих изображений исходного и деформи­ рованного растров возникает явление механической интерферен­ ции.

Наложим растры таким образом, чтобы их относительное поло­ жение соответствовало действительному положению тела в прост­ ранстве в исходном и деформированном состояниях. При этом не­ подвижные точки и области должны совпасть на обоих изображениях. Для интерпретации образующихся картин муара воспользуемся уравнением (33). Ограничимся рассмотрением системы хх (рис. 6). Если все точки тела в процессе деформации перемещаются вдоль линий растра, то геометрия растра не изменяется и интерференция не имеет места. Так как любое движение точек сплошной среды можно разложить на смещения по координатным линиям хх и у х, то, оче-

29