книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

И ё случае осесимметричной деформации:

Для полного описания механического состояния тела, уравне­ ния (180), (184), (185) должны быть дополнены связью между напря­ женным и деформированным состоянием—-законом течения. Си­ стемы уравнений, постулирующие определенный вид такой связи совместно с условием (182), составляют основу теорий пластичности.

Деформационная теория. Принимаются следующие предполо­ жения: 1) деформация тела е,7 может быть разложена на упругую и пластическую компоненты:

Скалярный коэффициент ф равен:

Для условия пластичности Мизеса (184) и законов упрочнения вида

уравнения (190), (191) можно разрешить относительно компонент тензора деформаций:

90

Из уравнений (193), (194) как частные случаи вытекают соотно­ шения для линейной упругости (закон Гука) и идеальной пластич­ ности, если, соответственно, положить:

Уравнения деформационной теории пластичности сформулиро­ ваны Генки.

Теория течения Прандтля—Рейсса. В отличие от деформационной теории, теория пластического течения оперирует приращениями деформаций или скоростями деформаций. Постулируются следу­

где G — модуль сдвига и v — коэффициент Пуассона связаны с коэф­ фициентом объемного сжатия К и модулем Юнга Е зависимостями:

„ _1— 2v р _ Е

А“ —Ё ~ ’ ° — 2(1 +v) ’

2)скорость изменения объема зависит только от упругих дефор­ маций е = 3Ко, откуда

da

И’

3)девиатор напряжений и девиатор скоростей пластической деформации подобны и коаксиальны:

где А р — работа пластической деформации.

91

Используя условие пластичности Мизеса (184) и закон упроч­ нения k = k (qp), из уравнения (201) будем иметь

,_ L W 2Щ' ' dt ’

~dfdk — наклон кривой упрочнения в точке qp.

Тогда скорость пластической деформации будет равна:

Если в некоторый момент напряженное и деформированное состоя­ ния известны, то скорости деформации и приращения деформаций могут быть вычислены по приращениям напряжений с помощью формул (198), (202). Приращения напряжений вычисляются по приращениям деформаций по формулам, приведенным в работе [84]:

При решении уравнения (203), для которого S = 2k2

используется правило суммирования по повторяющимся индексам. Таким образом, для упрочняющегося материала приращения напряжений и деформаций связаны однозначными зависимостями (198), (202), (203) и могут быть последовательно вычислены на раз­ личных стадиях нагружения. Для идеально пластического тела

где Я г — интенсивность скоростей деформаций сдвига.

Уравнения (204), (205) тождественно удовлетворяют условиям несжимаемости и пластичности.

Вязко-пластическое течение. Уравнения (204) аналогичны урав­ нениям вязкой несжимаемой жидкости, однако, в соответствии с вы­ ражением (205), коэффициент К не является постоянной величиной. Для вязко-пластического материала (тело Бингама) девиатор напря­ жений равен сумме девиаторов вязкой и пластической составляющей

о ц — = (сг;/ — SИо )р - f (oij — 8ija)'1. (206)

Используя уравнение (204), из последнего выражения получаем

92

тела эквивалентны нелинейной вязкой жидкости, с другой стороны, они эквивалентны жесткопластическому телу со специальным усло­ вием пластичности [83]. В случае плоского течения сохраняется условие пластичности Мизеса, а эквивалентная пластическая кон­ станта становится равной:

k x = k 2pr]max,

где Tjmax — максимальная скорость деформаций сдвига, равная

— ёа)-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПО КИНЕМАТИКЕ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ

Общее рассмотрение. В соответствии с возможностями современ­ ных экспериментальных методов напряженное состояние вычисляют по деформированному, используя основную систему уравнений. Такая система всегда предполагает конкретные формы связи, и на­ пряженное состояние может быть определено только в рамках при­ нятой модели тела. Поэтому выбор модели, описывающей пластиче­ ское течение, имеет большое значение.

Для малых упруго-пластических деформаций могут быть исполь­ зованы уравнения деформационной теории (188)—(196). Измерение деформированного состояния необходимо проводить непосредственно в момент нагружения. Компоненты тензора напряжений вычисляются по формулам (194) для сжимаемых материалов и по формулам (196) для несжимаемых, причем в первом случае они определяются одно­ значно, а во втором — с точностью до гидростатического давления о.

При больших деформациях должна быть использована более общая теория пластического течения, так как деформационная теория остается справедливой только для специальных путей нагружения. Для упруго-пластических деформаций измерения также проводят непосредственно в процессе нагружения и на ряде этапов измеряют приращения деформаций Де1у-. Приращения напряжений Aод на каждом этапе вычисляют по формулам (203), причем значения од, ф', qp, k могут быть отнесены к началу этапа. Для плоскодеформированного состояния находим, согласно данным [84]:

93

где

R —■Sx 2vSxSy -[" ^ .'У2> Q = R + 2(1 - v 2)P.

Проводя измерения от начального состояния, когда напряжения известны в каждой точке, последовательно находят компоненты тен­ зора напряжений для любого этапа нагружения. Обычно в качестве начального принимают исходное ненагруженное состояние. Как сле­ дует из уравнения (203), тензор напряжений однозначно определяется по приращениям деформаций.

Для развитых пластических течений упругими деформациями можно пренебречь по сравнению с пластическими и вместо диффе­ ренциальных соотношений (203) использовать более удобные урав­ нения (204) жесткопластического или (207) вязко-пластического тела. Учет вязких свойств для ряда материалов становится суще­ ственным, в особенности при высоких температурах и скоростях деформации. Согласно уравнениям (204)—(207), (185) для определе­ ния напряженного состояния необходимыми кинематическими пара­ метрами являются скорости деформации и накопленные дефор­ мации qp. При этом компоненты тензора напряжений в каждой точке могут быть определены из закона течения с точностью до гидро­ статического давления а.

Остановимся более детально на анализе напряженного состояния. Поле напряжений должно удовлетворять уравнениям равнове­ сия (180), условию пластичности (184), закону течения (204) [или (207)1 и некоторым граничным условиям. Нетрудно видеть, что если кинематика процесса известна, то задача вычисления напряжений является переопределенной. Действительно, из выражения (204) получим пять независимых уравнений

тождественно удовлетворяющих условиям пластичности и несжи­ маемости, для шести неизвестных компонент ах, ау, ог, ххуу ххгу хуг. В качестве недостающего уравнения можно использовать одно

94

из условий равновесия (180). Поэтому распределение напряжений определяется неоднозначно и зависит от того, какое из уравнений равновесия используется. Однозначность решения выполняется только в случае, если поле скоростей удовлетворяет некоторому дополнительному условию, приведенному в работе [11], которое находится подстановкой формул (208) в уравнения равновесия (180) и решением полученной системы относительно кинематических вели­ чин. При плоскодеформированном состоянии условие однозначности имеет вид

Точные решения для напряжений и скоростей удовлетворяют условию однозначности автоматически [85]. Однако практически условия (209) не выполняются из-за погрешностей эксперимента, ошибок при обработке исходных данных, в особенности при диффе­ ренцировании, а также вследствие того, что принятая модель тела лишь приближенно отражает механическое поведение реального материала. Учет условия (209) при обработке экспериментальной информации может исказить параметры деформированного состоя­ ния, в отличие от условия несжимаемости, которое является физи­ чески необходимым, когда деформации фиксируются после разгрузки. Заметим, что переопределенность уравнений для напряжений в неко­ торых случаях может быть использована для вычисления напряже­ ний по отдельным параметрам деформированного состояния [25, 86]. Однако всегда необходимо стремиться к использованию всей доступ­ ной экспериментальной информации, которая является единствен­ ным объективным критерием.

В общем случае точное удовлетворение условий изотропии и пластичности связано с ослаблением решения для напряжений, кото­ рое состоит в отклонении от некоторых уравнений равновесия и граничных условий. Поэтому вместо выбора частных путей интегри­ рования [9] будем рассматривать построение согласованного ста­ тически допустимого поля напряжений, наиболее близко соответ­ ствующего экспериментальной информации в рамках принятой мо­ дели. Как обычно [33], поле напряжений является статически допу­ стимым, если оно удовлетворяет уравнениям равновесия, пластич­ ности и граничным условиям. Под согласованным будем понимать такое статически допустимое поле, которое построено наилучшим образом между частными полями, соответствующими различным путям интегрирования. Соответствующее построение выполним спо­ собом наименьших квадратов в локальной окрестности каждой точки.

Частные решения. Найдем частные решения для модели Леви—

95

где

Уравнения (210) содержат в себе условия пластичности, изотро­ пии и несжимаемости. Легко видеть, что значение хху определено однозначно без использования граничных условий. Подставляя его в первое уравнение равновесия (186) и выполняя интегрирование (первый путь интегрирования), найдем:

а

° " ’ = Ч - т ( “ ^ + | г + « ) ^ + м о, е>.

Функции ах (0, Р) и оу (а, 0) соответствуют распределению на­ пряжений вдоль координатных линий а = 0 и (3 = 0 (см. рис. 19, а, б). Они находятся интегрированием уравнений (211), (212) вдоль соот­ ветствующих линий, если известны значения ах (0, 0) или ау (0, 0) в точке а — р = 0. Очевидно,

Используя выражения (211) вдоль р — 0, получим

а

(213)

с

где

Аналогично, интегрируя уравнение (212) вдоль а = 0, находим

Э

(214)

о

96

Кроме того,

ль

Оу (а, 0) = а, (а, 0) —

0 ,( 0 , р) = <т,(0, P) + ^ - L k = o .

Так как выражения (213), (214) используются в уравнениях (211), (212), то вдоль координатных линий а ==0 и (3 ^ 0 одновременно выполняются оба условия равновесия.

Для осесимметричного состояния из уравнений (204), (205) получим:

два из первых трех уравнений (215) являются линейно независи­ мыми. Уравнения (215) содержат в себе условия изотропии и пластич­ ности. Остается удовлетворить уравнениям равновесия (187). Инте­

Как и в случае плоской деформации, функции сг, (0, |3) и аг (а, 0) соответствуют распределению напряжений вдоль координатных ли­ ний ос — 0 и р = 0 (см. рис. 22) и находятся интегрированием урав­ нений (216), (217) по соответствующим направлениям:

где F (а), г|з (|3) — подынтегральные выражения в уравнениях (216),

(217) при р 0 и а ^ 0 соответственно.

Таким образом, вычисляют напряжения по двум путям интегри­ рования с точностью до постоянного значения ог (0, 0) или аг (0, 0). Для определения этих величин обычно используют граничные усло­ вия для напряжений в некоторой точке поля, или заданные усилия на определенных элементах деформируемого тела [9].

Кроме рассмотренных, нетрудно построить другие частные реше­ ния. В общем случае, если число компонент тензора напряжений т, а независимых уравнений п (п > т), то число путей интегрирования

равно числу сочетаний Сп — т , ту- • При использовании других

теорий пластичности переопределенность уравнений и число путей интегрирования могут возрастать. Например, для теории течения Прандтля—Рейсса и деформационной теории пластичности условия

Число путей интегрирования для плоскодеформированного состояния

в этом случае Cl — 10, а для осесимметричного состояния С\ = 15.

Согласованное поле напряжений. Рассмотрим вначале построение для осесимметричного случая. Как обычно, в систему специальных координат а, (3 (112) введем локальную систему г, / в окрестности центральной точки <х0, (30 по формулам (101). Согласованное поле напряжений в локальной окрестности будем аппроксимировать линейными функциями:

98