книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

в исходном числовом материале тремя массивами чисел А ц , индексы которых совпадают с индексами соответствующих компонент напря­ жения ац. Если в точке границы (а, Р) |г напряжения неизвестны, то значение Ац определяется некоторым логическим признаком (например, А ц = 100). В этом случае соответствующая компонента напряжений при сглаживании может варьироваться. В противном случае компонента сохра­ няется равной А ц после каж­ дого цикла сглаживания.

Обычно А ц задают безразмер­ ной величиной и поэтому

Оц \r = 2k (а, р) | гА ц . (237)

При аппроксимации со­ гласованного статически до­ пустимого поля напряжений в каждой узловой точке об­ ласти течения были исполь­ зованы линейные полиномы (218), для которых локаль­ ная окрестность точки яв­ ляется относительно малой. Поэтому построение поля напряжений и сглаживание проводили в цикле, в ре­ зультате чего одновременно достигалось удовлетворение граничных условий. Для снижения времени счета итерационный процесс вы­ числения коэффициентов ап­ проксимации (218) совмещали с циклами сглаживания, т. е. одно и то же г-тое прибли­ жение находили последова­

тельно для всех точек области, а на следующем цикле сглаживания определяли (i + 1)-е приближение по улучшенным значениям

уравнения (228). Коэффициенты ab°, db° для осесимметричной деформации на г-том этапе находят из системы

Ьр в[1).

ние значения напряжении для двух путей интегрирования oij, предел

Л£/=/= 100, то компоненты напряжений находят из уравнения (237).

уравнений (238), и вычисляют компоненты напряжений по фор­ мулам (228). Если условия выполняются, то точка является гранич­

ряют вычисления, изложенные в пунктах 2—4. Выбор точек закан­ чивается при р 4> т — 3.

6. Проверяют условие (239) во всех точках области течения. Если условие (239) не выполняется, то процесс вычисления повто­ ряется с п. 2, причем на i-том этапе вместо исходных значений необ­

ходимо принять (а,•/ + а £/_1)).

7. Если условие (239) выполняется, то процесс вычислений за­ канчивается и на печать поступают значения а ;,.

Блок-схема подпрограммы построения согласованного стати­ чески допустимого поля показана на рис. 30.

Построение линий скольжения. В теории пластичности важную роль играют траектории максимальных сдвигающих напряжений — линий скольжения, которые во многих случаях совпадают с харак­ теристиками системы дифференциальных уравнений [22]. Построе­ ние сеток линий скольжения на области течения является чрезвы­ чайно полезным и наглядным представлением полей напряжений и скоростей, в частности при определении границ пластической обла­ сти, особенностей напряженно-деформированного состояния (линий разрыва, особых точек), контактных условий и др. Поэтому была предусмотрена специальная подпрограмма построения полей линий скольжения.

Если значения угла наклона ср максимальных касательных напря­ жений известны, то линии скольжения двух семейств, проходящие через произвольную точку поля, могут быть получены интегрирова­ нием уравнений:

112

для семейства значений Н

dy

dx = tgq>

для семейства значений ц

§= - ct§ (P-

Однако более удобно проводить построение линий скольжения как линий уровня некоторых функций, имеющих определенный фи­ зический смысл.

Запишем уравнения равновесия, отнесенные к линиям скольже­

114

семейства являются линиями уровня функции £, а линии скольжения второго семейства — функции тр При вычислении значений £ и т] в системе координат (112) удобно интегрировать вдоль координатных

муле (242), (243), выполняется только для полей напряжений, удов­ летворяющих уравнениям равновесия. Поэтому при построении линий скольжения должно быть использовано статически допусти­ мое поле.

Рассмотрим некоторые частные случаи. При г —» оо, т = k (a, Р) уравнения (240) совпадают с соотношениями вдоль линий скольже­ ния для плоскодеформированного состояния:

115

Для однородного материала (k =■ const) имеем: вдоль £-линий скольжения

dp + 2k йц> = О,

вдоль ц-линий скольжения dp — 2k d(f -= 0.

Интегрирование последних уравнений дает

\р -1- 2кц>\ т} — р — 2k(p.

При этом, как известно [32 J, линии скольжения обладают свой­ ствами сеток Генки—Прандтля, а линии постоянного уровня \ и г] образуют равноугольную сетку. Кроме того, одна диагональная система равноугольной сетки, вдоль которой \ + т] = const, состоит из линий с постоянным р, а вторая диагональная система, где | — т) — - const, — из линий с ПОСТОЯННЫМ ф.

Алгоритм построения линий скольжения состоит в последова­

При этом используют конечно-разностные соотношения, аналогич­ ные (235), (236).

5. Вычисляют значения £, т| в узловых точках координатных линий а — const (3 < а < л — 3), начиная с точек (а, р — 3), по формулам (242).

6.Из массивов чисел £ (а, Р), г] (а, Р) находят максимальные и минимальные значения | тах, £т1п и г)тах, г]т1п. Полагая, что число линий скольжения каждого семейства должно быть не меньше неко­ торого заданного числа т, вычисляют уровни Д£, Дг) по формуле (233). За шаг уровня Д/ принимается наименьшее из значений Д£ или Д

7.Значения £ (а, Р), т) (а, Р) поступают в подпрограмму построе­ ния линий равного уровня, и после этого находят координаты линий:

I = £min + Afl> Л = Лшш + А/1< 1 = 0, 1 , 2 , . . . , т.

Выбор / прекращают, если I > 1тах, ц > г]гаах.

Некоторые программы вычисления напряжений и построения линий скольжения приведены в Приложении.

ТОЧНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ

При практическом применении экспериментальных методов необ­ ходимо иметь объективные оценки точности на всех стадиях иссле­ дования. Точность метода муара рассматривалась в ряде работ [45, 47, 50, 55]. Установлено, что ошибки, связанные с техникой эксперимента (изготовление эталонных растров, нанесение растров на образцы, фотографирование деформированных систем, получение картин муара), весьма малы и при отработанной методике состав-

116

ляют всего 0,1—0,15%. Основные погрешности возникают: 1) при считывании дискретно заданных величин; 2) табулировании экспе­ риментальной информации; 3) сглаживании; 4) дифференцировании. Ошибки считывания и табулирования зависят главным образом от особенностей экспериментатора, в частности от его способности различать отдельные полосы в областях с высокой концентрацией, выделять центры темных и светлых полос и оценивать дробные по­ рядки в узловых точках. В меньшей степени эти ошибки зависят от условий освещения и наблюдения картин муара, а также от при­ меняемых средств измерения. Поэтому ошибки при подготовке исход­ ной информации относятся к случайным («шумам») и должны быть устранены на стадии сглаживания. Однако любой метод сглаживания не позволяет полностью устранить случайные ошибки и вносит определенные искажения в исходную информацию. Отклонение сглаженных величин относительно точных составляет ошибку округ­ ления. Аналитическая оценка ошибки округления представляет большие трудности [98]. При последующем вычислении производ­ ных, кроме того, возникают ошибки усечения, которые зависят от вида аппроксимирующего полинома, используемого при диффе­ ренцировании [81 ].

При оценке точности экспериментальных методов целесообразно определять суммарную ошибку, накопленную на всех стадиях под­ готовки, проведения эксперимента и обработки результатов, т. е. всю последовательность операций метода рассматривать как некото­ рый эквивалентный прибор. Точность прибора характеризуется средней квадратичной ошибкой измерения (стандартной ошибкой или дисперсией) [81 ]

где п — число измерений; хр — измеренные значения; а — истинное значение.

Доверительная оценка, т. е. отклонение истинного значения изме­ ряемой величины от среднего арифметического результатов измере­ ний х, определяется по правилу трех сигм

Применительно к рассматриваемому методу обработки, число точек измерения на картинах муара может быть принято за число измере­ ний, а значения величин Ар после сглаживания — за измеренные значения хр . Точные значения а этих величин обычно остаются неизвестными. Предполагая, что измерения во всех точках являются независимыми и равноточными, а ошибки измерений — случайными, симметричными и нормально распределенными, можно принять, что для большого числа точек измерения точные значения а в среднем

заключены между значениями А р до сглаживания и А р после сгла­

117

живания. Тогда для верхнего значения доверительной ошибку будем иметь

Формула (245) позволяет оценить суммарную ошибку округления и, что особенно важно для практического применения метода, иссле­ довать влияние ряда параметров на точность результатов. Вычисле­ ние значения б по формуле (245), соответствующего точности опре­ деления номера полос муара в узлах регулярной сетки а, р, было включено в программу обработки экспериментальной информации на ЭВМ. Действительные значения измеряемых величин, например смещений, скоростей, в узловых точках будут равны:

Обработка различных картин муара показала, что при выбранном способе сглаживания и аппроксимации основными факторами, опре­ деляющими точность вычисления кинематических параметров, яв­ ляются: 1) шаг сетки h, в узлах которой вычисляются параметры; 2) число полос на картинах муара двух семейств; 3) число циклов сглаживания.

Типичная зависимость б (кривая 1) и е (кривая 2) от шага сетки h, полученная при обработке экспериментальных картин муара рас­ смотренным методом, показана на рис. 31. При вычислениях харак­ терный размер области течения, принимаемый за единицу, разби­ вался на 4, 8, 16 и 20 частей, так что относительный шаг сетки соот­ ветственно был равен h -= 0,25; 0,125; 0,0625; 0,05. Из рис. 31 не­ трудно видеть, что доверительная оценка б величин, измеряемых по картине муара, уменьшается с уменьшением шага сетки h, однако

118

тате обработки характерных картин муара было замечено, что шаг, близкий к оптимальному, достигается, когда число координатных линий при разбиении области течения составляет 0,8—1,5 от числа полос муара вдоль осей х и у. В этом случае средние размеры эле­ мента сетки а, р и элемента между полосами муара двух семейств примерно совпадают.

Зависимость относительной ошибки е от числа полос муара п одного из семейств приведена на рис. 32. При построении рис. 32 использованы результаты вычислений для образца, деформирован­ ного с различными этапными смещениями, за счет чего менялось число полос муара. Шаг сетки а, р для каждого состояния выбирался близким к оптимальному. Значения б, вычисленные по формуле (245),

б б ^отн

сетки h

относились к общему числу полос в характерном направлении, и по формуле (247) определялась относительная ошибка еотн. Можно видеть, что увеличение числа полос муара увеличивает точность вычисления производных (деформаций, скоростей деформации), од­ нако эффективность этого влияния снижается, когда число полос превышает 12— 14. Достаточная точность обеспечивается в случае, когда картины муара каждого из семейств включают не менее 8— 10 полос. Это обстоятельство необходимо учитывать при выборе шага растров и этапа деформирования.

На рис. 33 показана зависимость оценки б от числа циклов сгла­ живания, выявленная при обработке экспериментальных картин муара. Кривая 1 построена для оптимального шага сетки h0, кри­ вая 2 — для шага, вдвое превышающего оптимальный. Увеличение числа циклов значительно улучшает гладкость результатов и сни­ жает «шум», но приводит к увеличению ошибки б вследствие искаже­ ния исходной информации. Снижение точности незначительно, когда шаг сетки близок к оптимальному, однако становится суще­ ственным, когда шаг отличается от оптимального. Во всех случаях результаты стабилизируются после 3—4 циклов сглаживания.

Указанные особенности учитывались при постановке эксперимен­ тов и обработке картин муара. Результаты обработки большого числа картин муара для процессов пластического формоизменения

119