книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

дополнительных слоев сетки а, [3, а экспериментальная информация аналитически продолжена в их узлы. Обычно достаточно ограни­ читься линейной экстраполяцией вдоль направления, нормального к границе. В методе муара, где экспериментальная информация задана визуально в виде картины полос, весьма удобно графически продолжить полосы муара за внешний контур и по ним определить исходные значения в фиктивных узлах сетки а, |3. Возникающие при этом ошибки, очевидно, имеют порядок, равный порядку слу­ чайных ошибок, и устраняются последующим сглаживанием. Если поле скоростей имеет оси симметрии, то область счета продолжается до осей и задаются дополнительные значения для нескольких слоев за осями симметрии. Аналогично поступают в случаях, когда пла­ стическая область ограничена жесткими частями материала. При этом фиктивные слои выбираются в жестких областях, а значения скоростей в их узлах определяются по движению жестких областей или по продолжению картины полос из пластической области. Таким путем сохраняется высокая точность вычислений на грани­ цах области течения и применяется стандартная процедура во всех точках области счета.

Заметим, что использование при сглаживании локальной аппрок­ симации [выражения (104), (115)] по параболам целесообразно, если шаг сетки а, (3 относительно мал или точность исходных изме­ рений недостаточно высока. В некоторых случаях может быть ис­ пользована аппроксимация линейными полиномами и сглаживание в цикле. Это позволяет уменьшить число фиктивных слоев при продолжении картины полос за границы области, лучше описать области с высокими градиентами скоростей и упростить исходные соотношения.

Параметры деформированного состояния. Картины полос муара при малых этапных деформациях интерпретируются как поля при­ ращения смещений AU, А К или поля скоростей и, v (89). Сглажи­ вание экспериментальных полей производится с учетом условия несжимаемости. Компоненты тензора скоростей деформации (или малых деформаций) для осесимметричного состояния вычисляются по формулам

70

Используя выражения (115), (116) и вычисленные значения коэф­

Главные скорости деформации вычисляются по формулам:

а угол между главным направлением и осью х находится по фор­ муле (124). Интенсивность скоростей деформации

При сглаживании полей конечных смещений U, V учет несжи­ маемости затруднителен, так как для конечных деформаций условие несжимаемости записывается в более сложной инвариантной форме [29, 30]. Однако возможность получения большого числа полос муара в этом случае обеспечивает достаточную точность вычисления по формулам (104), (107), (108). Поля смещений U, V, W сглажи-

71

ваются независимо Друг от друга, а частные производные в централь­ ной точке находятся из соотношений (104), (94):

ванный на вариационно-разностном подходе и конечно-элементной дискретизации сплошной среды (см. Приложение II).

СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Этапное деформирование. Для стационарных процессов закон

и кинематика стационарного процесса будет определена, если изме­ рить поле скоростей в произвольный момент времени. Наиболее просто это достигается при этапном деформировании образца, ieoметрия которого соответствует установившемуся процессу. Поле скоростей (129) находится по картине полос муара — линиям при­ ращения смещений — из соотношений (89). Так как на стационар­ ной стадии геометрия очага деформации не изменяется, а пласти­ ческая область ограничена жесткими частями материала со стороны входа в очаг деформации и выхода из него, то в этом случае удобно использовать систему координат (91), отображающую криволиней­ ную область течения на прямоугольную полосу. Для плоской и осесимметричной деформаций необходимые преобразования выте­ кают из формул (95), (112). Нанося сетку а, р на плоскость течения и определяя скорости и, и в ее узлах, вместо формулы (129) получим

Полученная экспериментальная информация далее сглаживается и дифференцируется по рассмотренной выше общей методике [см. формулы (115)—(119), (117), (120)1. Скорости деформации и другие параметры мгновенного деформированного состояния вычисляются по формулам (121)—(128). Параметры конечного состояния нахо­ дятся интегрированием вдоль траекторий движения точек.

Вместо построения линий тока, проходящих через каждый узел сетки а, р, удобно использовать следующий метод вычислений.

Направим оси у и р в сторону течения материала (рис. 23). В се­ чении у = р = 0 материал является жестким и перемещается со

72

скоростью и ^ О, v = V0. Лагранжевы координаты а, b любой точки рассматриваемой области равны их декартовым координатам х 0, у 0 в момент, когда точка находилась в жесткой области. Очевидно, а = х„, а координата b = у 0 зависит от выбора начала отсчета. Вместо лагранжевой координаты b может быть использовано время t,

Приращение декартовых координат между М и А равно:

Ах = Ау ~ .

v

Декартовы координаты точки М находим из выражений (91), (95):

х(М) = - ^ - , у(М) = р.

Для точки А:

Координаты ближайших узловых точек 1и 2 (см. рис. 23) к точке Л :. ct1 = Е [а (Л)], Pi = Р — 1,

а 2 ■= Е [а (Л)] + 1, р2 = Р — 1,

где Е [а (Л)] — целая часть значения а (Л).

73

Положение точки А вычисляется по формулам (131)—(133) методом последовательных приближений. Для первого этапа при­ ближений

Если в узловых точках /, 2 известны некоторые параметры С, то в точке А они могут быть вычислены по формулам линейной

Средняя скорость деформации на пути AM, аналогично форму­ лам (131), равна:

можно последовательно определить соответствующие величины во

ние достигается при воздействии инерционных сил, а также термо­ динамических процессов и упрочнения, и поле скоростей (129) должно быть измерено с учетом этих эффектов. Кроме того, контакт­ ные условия на установившейся стадии пластического течения могут отличаться от этапных, в особенности для процессов, где силы трения

74

Являются активными. В таких случаях постановка эксперимента должна соответствовать конечному деформированию до установив­ шейся стадии.

Рассмотрим плоское деформированное состояние, когда жесткая область материала со стороны входа в очаг деформации переме­ щается поступательно (и — 0, v = У0). Нанесем на плоскость те­ чения линейные х- и //-растры. Если размеры образца достаточно велики по сравнению с протяженностью пластической области, то он может быть продеформирован таким образом, что на выходе из очага деформации будет достигнуто конечное состояние, а на входе сохранится начальное. Полученное изображение деформированных растров будет содержать полную информацию о процессе. Так как растры образуют сопутствующую систему координат для деформи­

формированных растров являются геометрическим заданием функ­

скорости течения из уравнений (138), достаточно от переменных Эйлера (х, у) перейти к переменным Лагранжа (a, t), т. е. записать

Здесь и ниже индекс обозначает дифференцирование по соответ­ ствующей переменной. Вычисляя полные дифференциалы из урав­ нений (138):

da — ах dx -f ау dy, di = tx dx -f ty dy,

и решая полученную систему относительно dx, dy, имеем:

где D — определитель функционального преобразования (138), (139), равный

tflxty Qytx)•

tx ty

75

Сравнивая последние выражения с уравнениями (140), (141), находим:

(142)

Компоненты тензора скорости деформации в переменных Лагранжа будут:

Таким образом, для несжимаемого материала достаточно исполь­ зовать только одно семейство деформированного растра, линии которого совпадают с траекториями движения частиц материала. Поле и, v может быть выражено и через второе семейство линий растра t (х , у), однако соотношения при этом не являются такими простыми, как уравнения (144). Из последних очевидна связь между а (х, у) и функцией тока ф (х, у) [14, 151: ф -- Vйа, причем обе функции представляются одними и теми же линиями уровня — траекториями движения.

Согласно уравнениям (144) и свойствам растровых систем, поле скоростей может быть получено механическим дифференцирова­ нием а (х, у). Для этого два его одинаковых изображения наклады­ вают друг на друга со смещениями Ах вдоль оси х я Ау вдоль оси у и фиксируют картину полос муара — линий равных скоростей v и и соответственно. Цена полос равна {pVJAx), а нумерация произво­ дится так же, как в обычном методе муара. Механическое дифферен­ цирование весьма эффективно, когда поперечные размеры жестких

ным во всей пластической области, так как с увеличением смещения эффект муара исчезает в областях со значительными градиентами, где линии растров пересекаются под большими углами. В этих случаях дифференцирование функции а (х, у) может быть выполнено

76

численно, как и в методе линий тока [14—16]. На изображение деформированного растра, который служит удобной и точной мас­ штабной сеткой функции а, наносится система координат а, (3 и определяется номер п линий растра в узловых точках; лагранжевы координаты вдоль каждой линии равны а = а0 -)- рп, где а0— координата нулевой линии (п = 0) в жесткой области.

Значения а (а, |3) сглаживаются и дифференцируются по фор­ мулам (107), (108) для двумерного случая. Может быть исполь­ зовано сглаживание в цикле, так как функция а (а, (3) является достаточно гладкой, а на границе области заданы ее точные значе­ ния. Параметры деформированного состояния находят, как и в слу­ чае этапного деформирования.

Для осесимметричных стационарных течений изображения де­ формированных растров, параллельных осям г и z в исходном со­ стоянии, подобно уравнениям (138), дают линии равного уровня

Преобразования (139)—(142) сохраняются для осесимметричного

Из уравнений (145) следует, что и в этом случае поле скоростей находится по изображению деформированного растра, линии ко­ торого совпадают с траекториями движения частиц материала. Поле скоростей несжимаемого осесимметричного течения может быть также выражено через функцию тока [14, 15]:

При вычислении скоростей по формулам (145) или (146), (147) находятся экспериментальные значения а по изображению растра а (г, г) и используются операции сглаживания и дифференцирова­ ния. Механическое дифференцирование растра а (г, г), как и в слу­ чае плоской деформации, оказывается эффективным, если изменение

77

на каждой полосе муара. Этого можно избежать, если использовать специальный линейный растр с переменным шагом, для которого линии деформированного растра не только совпадают с траекто­ риями, но и являются линиями равного уровня функции тока ф.

Уравнение (149) определяет закон изменения шага р специаль­ ного растра, который дает при механическом дифференцировании

т. е. граница области совпадает с крайней полосой муара пг, если смещение Аг при механическом дифференцировании кратно шагу

78

т. е. граница совпадает с крайней полосой муара пп если смеще­ ние Аг при механическом дифференцировании кратно значению

р/|/Л. Заметим, что дифференцирование по г не приводит к обра­ зованию полос муара в жестких областях.

В заключение рассмотрим случай плоского деформированного состояния, когда жесткая область со стороны входа (или выхода) перемещается непоступательно. Для стационарного процесса ее движение приводится к вращению вокруг мгновенного центра О (рис. 24), положение которого фиксировано. Нанесем круговые и радиальные растры с центром в точке О и продеформируем их до установившейся стадии. Тогда линии растра будут линиями равного уровня лагранжевых координат:

а == а (г, cp), t = t (г, ф),

где а = r 0, a t — соответствует времени движения от некоторого сечения ф -- = const до текущего положения. Выпол­ няя преобразования, аналогичные (138)— (143), найдем для несжимаемого мате­ риала:

где ип цф — проекции скорости в полярной системе координат г, ср; со — угловая скорость вращения жесткой области.

Проекции скорости на оси в декартовой системе координат будут

Линии кругового растра а (г, ф) совпадают с траекториями дви­ жения частиц материала, и, вводя функцию тока

Как и в случае осесимметричного течения, для вычисления поля скоростей (151), (152) по изображению деформированного растра должны быть измерены значения а и определены частные производ-

цированием. Если использовать круговой растр с переменным шагом, линии которого являются линиями равного уровня функции тока (153), то поле скоростей (154) может быть определено непосредственно

79