книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

Таким образом, в качестве исходного поля напряжений а(/ ис­ пользуется среднее арифметическое всех частных решений. Неиз­ вестные коэффициенты (218) находятся из условия экстремума

Вследствие нелинейности условия пластичности (223) образую­ щаяся система нормальных уравнений также оказывается нелиней­ ной. Решение может быть получено методом итераций, если на каж­ дом этапе (-последовательных приближений условие (221) выпол­ нять с точностью до предыдущего этапа, т. е.

Окончательно система нормальных уравнений на этапе i имеет вид

100

Коэффициенты Спт этой системы образуют симметричную ма­

+c (a(‘- 1)_ a(‘- 1)) _ ( 5 + 2c2) 4 i)

Вд° = ip (air1’ — а^Г1’) + d(т&Г1) —T^r1’)

- 2 (<p/? + dQ + 2ФссГ) - x l r 1’ + ^ ‘F1’.

101

Здесь

Решение системы (226) на каждом этапе приближений находится методом определителей. Компоненты тензора напряжений в узловой точке на этапе i будут равны:

В процесс итерационного приближения нетрудно включить вы­ полнение граничных условий для напряжений. Если на некоторых границах известны компоненты напряжений, то их значения вносятся в исходное поле (224) и сохраняются на каждом этапе. При этом поле напряжений приспосабливается к граничным условиям за счет изменения компонент напряжений в окрестности границ. Если на некоторых границах заданы усилия, то компоненты тензора напря­ жений после этапа изменяются пропорционально, так чтобы подсчи­ танные по ним усилия равнялись заданным (необходимо отметить, что изменения касательных напряжений следует избегать). Описан­ ная операция повторяется в цикле, пока разница между последую­ щими приближениями не достигнет заданного достаточно малого зна­ чения. Таким образом будет выполнено построение оптимального статически допустимого поля напряжений. Для плоскодеформированного состояния локальная аппроксимация (218) принимает вид

ох = а0 f ар -} ар, оу — Ь0-}- bp -f bp, хху = с0+ ср f ср.

Нетрудно видеть, что условия равновесия (186) для центральной точки совпадают с выражениями (220), если принять с = 0,

Из выражений (229), (230) находим:

са = — фЙ! — dct — Q,

b2 = — фсх— dbx — R ,

и остается шесть неизвестных коэффициентов: а0, аг, аг, Ь0, Ьъ сх. Вычисляя эти коэффициенты по способу наименьших квадратов и решая полученную систему нормальных уравнений методом после-

102

Дова'гельных приближений, как и в случае осесимметричной дефор­ мации, получим для г-того этапа:

4 ° = (sign Цху) Y ^ — (ао !) — Ьо( 1})',

АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НА ЭВМ

Рассмотренные выше методы обработки картин муара в процес­ сах пластического течения были реализованы на ЭВМ в виде про­ грамм вычисления параметров деформированного и напряженного состояний. Программы состояли из ряда функциональных подпро­ грамм, к которым выполнялось обращение в заданной последова­ тельности.

Алгоритм исследования этапных деформаций. После отображения области течения на прямоугольную полосу с помощью преобразова­ ния (99) на плоскости а, [3 получаем регулярную сетку, в узлах кото­

рой задан исходный числовой материал — номера полос муара пх, пу двух семейств. Выбранные оси а, (3 разбиваем на некоторое число рав­ ных частей (выбор шага разбиения см. с. 119). Пусть с учетом трех вспомогательных рядов исходных данных вдоль каждой границы области течения (два дополнительных ряда необходимы, чтобы сде­ лать точки области течения центральными при вычислении дефор­ маций, а третий — при построении оптимального поля напряжений), в которых исходные значения получены аналитическим (графиче­ ским) продолжением экспериментальной информации, число раз­

вых точек, а число центральных точек, в которых выполняется сгла­ живание и производятся вычисления, будет равно (п — 3) (т — 3). Алгоритм исследования этапных деформаций состоит в последова­ тельности выполнения следующих операций.

Исходные данные: число разбиений области счета п и т вдоль осей а и (3; номера полос пх (а, (3) и пу (а, |3) в узлах сетки а, |3, зна.

103

чения функции преобразования ср (р) и ее производной ф' (р) в каж­ дом сечении р — const [производные ф'(Р) могут быть найдены по ф (Р) в ходе вычислений]. В сечениях, где касательная к границе имеет разрыв, значение ф' (Р) находится по формуле (100).

линейных уравнений (118) при использовании исходных значений пх, пу в девяти точках: (а — 2, Р), (а — 1, Р),

табл. 3 или 4, а коэффициенты Вт вычисля­ ются по формулам (119). Коэффициенты с, d, входящие в формулы (116), (118), (119)

и другие для осесимметричной и плоской деформации, при выбранном начале коор­ динат ос, р равны:

с = ф(р) (а — 3)"\ d = (а — 3).

Чтобы избежать бесконечных значений с

с— ЮООф (р).

3.Решение системы (118) находят по стандартной подпрограмме.

Если условия (232) не выполняются во всех точках, то цикл сгла­ живания повторяется, причем при вычислении Вт по формулам (119)

104

вместо пх, пу принимаются значения -^-(я* пх 1)), -^-(пу -'г пу[1 1)).

(Кроме сглаживания с заданной точностью между циклами, про­ грамма предусматривает проведение заданного числа циклов сгла­ живания.)

10.Если условия (232) выполняются, то процесс сглаживания заканчивают и вычисляют параметры деформированного состояния по формулам (121)—(128).

11.Выдача на печать необходимых параметров.

Полученные значения этапных деформаций, углового вращения и интенсивностей должны быть умножены на масштабный коэффи­ циент. Чтобы сделать процедуру учета масштаба достаточно общей, сечение х --- L0 (Р = const) области течения, где

Ах = Ау = L Jn = y jm

(обозначения см. рис. 19, а), принимали за характерное, а функцию преобразования (99) в любом другом сечении р = const вычисляли по формуле

Ф (Р) = LJF (у).

Тогда масштабный коэффициент для этапных деформаций равен pn/L0, где р — шаг растра.

При вычислении скоростей деформации по этапным картинам муара приращения деформаций должны быть отнесены к прираще­ нию времени (параметра) на этапе. Для жесткопластических тече­ ний, не зависящих от масштаба времени, приращение времени может быть принято пропорциональным смещению деформирующего ин­ струмента на этапе. Блок-схема программы приведена на рис. 26.

Алгоритм исследования стационарных процессов. Координатная линия р 2 выбирается таким образом, чтобы в соответствующем сечении компоненты тензора деформаций равнялись нулю. Такое сечение всегда можно выбрать в жесткой области перед входом в очаг

**

полос пх, Пу линий уровня малых смещений (или скоростей) вна­ чале сглаживаются и дифференцируются по изложенной выше под­ программе. Полученные значения скоростей и, и, скоростей дефор­ мации | £/- и интенсивностей Д (- поступают в подпрограмму вычисле­ ния накопленных (конечных) деформаций. Алгоритм вычисления включает следующую последовательность операций:

1. Во все узловые точки сечения р = 2 , 2 < а < л — 2 масси­ вов, отведенных для компонент накопленных деформаций е£/-, вносят нуль.

2. Вычисления начинают с сечения р = 3 в последовательности

М (а, р) сечения р = const, в момент их прохождения через преды­ дущее сечение (Р — 1). При вычислениях используют формулы (133), в которых и, v — значения скоростей в точках М (а, Р).

105

/mm и /maxТак как порядок значений / обычно заранее неизвестен то удобно задавать не шаг уровня А/, а число линий уровня k, кото­

в которых / принимает искомое значение, просматривают последо­ вательность отрезков [аь аг -f 1 ], причем 2 а 1 ^ п — 3. Значе­ ние а* для точки отрезка, принадлежащей линии уровня /, вычис­ ляют по формуле линейной интерполяции:

а * = a i + г— у >

107

сечения соответствующих линий уровня с координатными линиями Р =--=const. Далее таким же образом поиск проводят вдоль коорди-

Рис. 28. Блок-схема подпрограммы построения линий уровня

натных линий а = const. Полученные координаты точек (а*, р = const) и (а = const, р*) линий уровня (233) наносят на сетку

(а, Р) и соединяют плавной кривой.

Блок-схема подпрограммы построения линий равного уровня приведена на рис. 28.

Построение изоклин. При вычислении направлений главных сдви­ гающих напряжений по формуле (124) возникает неопределенность

точка является жесткой и угол ср в ней не вычисляют. Формула (124) дает главные значения углов на полуокружности (—я/2, я/2). При переходе через эти пределы значения вычисленных углов в по­ следовательных точках имеют разрывы, поэтому перед построением

108

линий равных значений ф (изоклин) был предусмотрен выбор углов одного направления обхода. С этой целью вычисляли значения углов, тангенс которых может принимать одно из следующих значений:

ние ф0 принято, то в соседней точке искомому углу того же направ­ ления обхода будет соответствовать минимальная из разностей:

I Ф1 -- фо|> | Ф2 -- фо|> |ф з — Фо|, ! Ф4 --- Фо |-

Таким путем выбирают значения углов во всех узловых точках сечений а — const, р = const. Дальнейшее построение изоклин проводят по общей подпрограмме построения линий уровня.

Некоторые программы исследования кинематики пластических течений приведены в Приложении.

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

Алгоритм построения частных решений. Для вычисления и сгла­ живания напряжений при локальной аппроксимации (218) необхо­ дим один вспомогательный ряд значений кинематических параметров за границей области течения. Построение частных решений выпол­ няют в области счета

2 < a s — 2, 2 <: р ^ т — 2,

начиная с точки а — р — 2. В этой точке одну из компонент тензора напряжений (ах или ау) принимают равной нулю, так что напряже­ ния в остальных точках будут определены с точностью до ее значе­ ния. В конце вычислений неизвестную величину находят из гра­ ничных условий.

Приведем алгоритм для случая медленного плоского течения пластически упрочняющегося материала Леви—Мизеса:

1. Исходными данными являются компоненты тензора скоростей деформации интенсивность скоростей деформации Hh интенсив­ ность накопленных деформаций qp, константы материала — k 0, А, п.

3. Во всех точках области счета вычисляют касательные напря­ жения

= kc\xy!Ht (Ht > 0).

Если Ht = 0 в точке (а, Р), то в этой точке записывают

Ел/ (a, Р) = 4“[т^(а>Р—1) + тД/(“ —1. Р)1.

что соответствует приближенному выполнению условий равновесия

109