книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

Граница х = F (у) может быть составлена из произвольных ку­

в сечении [3 = const, соответствующем пересечению двух кусочно­

что равносильно скруглению угловых точек границы окружностью бесконечно малого радиуса.

В более общих случаях (96), (97), (98) необходимо выполнять

аналогичные построения в каждом сечении у = — = const.

Простота построения сетки а, (3, у позволяет нанести ее непосредственно на изображение области течения, а экс­ периментальные значения,заданные на полосах муара, интерполировать в узлы сетки. Обычно достаточно ограничиться линейной интерполяцией по нормали

кполосам муара (рис. 20)

п(а, Р) = п + 1ХИ.

(99) отображает криволинейную область течения на прямоугольную полосу. Для плоского случая построение области течения на плоскости (а, |3) показано на рис. 19, б.

Метод сглаживания. Как известно [80, 81 ], экспериментальная информация включает систематические ошибки, связанные с особен­ ностями метода измерения, и случайные ошибки, вызванные случай­ ным колебанием измеряемых величин. Математическая обработка путем сглаживания должна отделить случайные помехи от исследуе­ мой функции. При этом исходят из того, что исследуемая функция является непрерывной и дифференцируемой, а случайные помехи таким свойством не обладают. При сглаживании желательно макси­ мально устранить помехи, однако при этом обеспечить минимальное отклонение от измеренных значений, поскольку объективной инфор­ мацией является только экспериментальная. Это достигается выбо­

и может быть выполнена для всей области или локально. В первом

60

случае выбор аппроксимирующей функции представляет известные трудности. Обычно используются степенные многочлены или ряды Фурье. Для пластических течений, где исследуемая область может включать конечное число жестких и пластических областей, а также областей резкой локализации деформаций, близких к разрывным, приходиться применять аппроксимацию высокого порядка, вклю­ чающую 8— 12 членов [13, 20]. Хотя при этом достигается хорошее приближение к сглаживаемой функции, вычисление производных оказывается неудовлетворительным, так как аппроксимирующая функция в области счета имеет некоторое число максимумов и мини­ мумов, не связанных с особенностями измеряемых величин.

При локальном сглаживании аппроксимирующая функция под­ бирается только в окрестности точки, и степень полинома может быть снижена до второй или третьей. Поскольку она меняется от точки к точке, то это позволяет отразить области резкого изменения функ­ ций при сохранении достаточной гладкости. Если вид полинома известен, то сглаживание состоит в изменении измеренных значе­ ний А* в определенных точках, на новые значения А, вычисленные по аппроксимирующей функции, проведенной в окрестности точки оптимальным образом. При этом необходимо учитывать следующие обстоятельства. Приближение функции связано с ее поведением в не­ которой окрестности, тогда как приближение производной — с ло­ кальным изменением в определенном направлении. Таким образом, в первом случае необходима аппроксимация n-мерной поверхности, тогда как во втором — ее сечений. В процесс сглаживания должны быть включены необходимые физические условия, такие как условия несжимаемости, граничные условия и др., которые не только ком­ пенсируют недостаточную точность эксперимента, но и повышают точность математической обработки. Метод сглаживания должен быть достаточно простым и гибким, чтобы сделанные обобщения рас­ пространялись на трехмерные и нестационарные процессы.

Рассматриваемый метод основан на локальной аппроксимации. В отличие от [77], где используется локальная аппроксимация по­ верхностью, или [13], где производные вычисляются независимо в каждом направлении, используется совместная аппроксимация взаимосвязанных сечений в специальной системе координат а, [5, у. Рассмотрим окрестность некоторой точки О' в пространстве а, р, у (рис. 21, а). Координаты точки О' обозначим а 0, ро, у 0. Совместим с О' начало локальных координат i, /, k, которые определяются следующим образом:

Окрестность О' ограничим областью изменения локальных коор­ динат [—2,2 ] и введем нумерацию фиксированных точек, показан­ ную на рис. 21, а. Таким образом, для фиксированных точек

[г, /, k] = [—2, — 1 , 0, 1 , 2 ].

В окрестности О' пусть задан ряд экспериментально измеренных значений некоторого параметра А* (а, р, у) в фиксированных точ-

61

ках Л*, А*2 , ■■■>А*р. Распределение Л вдоль осей локальной системы координат аппроксимируем тремя функциями переменных г, }, k:

J 2

0} (

-Г

а

Рис. 21. Выбор узловых точек при сглаживании: а — трехмерный случай; б — плоский случай

Производные исследуемой функции:

Коэффициенты ат, b m , с т найдем из условия минимума квадра-

тичных невязок между измеренными А р и вычисленными А р значениями в фиксированных точках:

62

Так как эффективное сглаживание достигается только в случаях, когда число измеренных точек является избыточным относительно необходимого для определения (102), то в качестве аппроксимирую­ щих функций используем параболы:

сированных точках:

Л = а0 — 2ах -f 4а2, А2 = а0— ах -f а2, А3 = а0,

Д = aQ+ ay 4- а%, Л5 = а0+ 2ах 4а2, Л6 = а0 — 2Ьх + 4Ь2,

Подставляя выражения (105) в уравнение (103) и используя усло­ вия экстремума

находим систему нормальных уравнений для определения неизвест­ ных коэффициентов:

~4 С2тах -|- С3та2-4 СШЬХ4- СЪтЬ2-4 Свтсх -f- С1тс.г = Вт (106)

(т = 1, 2, 3, . . ., 7).

Коэффициенты Спт этой системы образуют симметричную ма­ трицу, приведенную в табл. 2, а коэффициенты Вт равны:

13

Д = М + 2Д ,

в 2 = — 2 А \ - а 14- Д3+ 2Л5,

Б 3 = 4А( 4 - Д 4- Д г 4Д,

(107)

в 4= _ 2л ; _ л ; + л ; + 2л;,

В§ = 4Лд 4 Aj -4 Лд 4- 4ЛЭ,

бб----- 2Лю — Лц 4~ KI12 4* 2Л13,

В7 = 4Лю 4- Ли + Д 2 + 4Л13.

63

Решая уравнение (106) находим формулы для вычисления коэф­ фициентов уравнений (104):

Таким образом, задача аппроксимации и сглаживания оказы­ вается выполненной.

Сглаживание в цикле. Формулы (104) определяют изменения иссле­ дуемой функции вдоль осей г, /, k для центральной точки О' локаль­ ной системы координат и являются весьма точными для вычисления производных в О' по соответствующим направлениям. Для улучше­ ния значения сглаженной функции и ее производных в любой точке окрестности О' должно быть использовано более сложное выражение аппроксимирующего полинома и учтены экспериментальные значе­ ния для определенного набора точек внутри объема

[—2 « s i < 2 , — 2 « S /« S 2 , — 2 < & « = 2 ] .

В частности, для координатных плоскостей аппроксимирующие функции должны определять поверхности

А (<х, р, Vo) -- / х (атп, i, /), . . .,

коэффициенты которых находятся с учетом измеренных значений в дополнительных точках, показанных на рис. 21, б крестиками. Чтобы избежать связанных с этим громоздких преобразований, можно повторить в цикле изложенные выше вычисления. Пусть экспериментальные значения по-прежнему будут А*, а сглаженные значения после некоторого цикла п — Л<п>. Для цикла (п + 1)

64

используются аппроксимирующие полиномы (104), коэффициенты которых находятся из условия минимума квадратичного отклонения

где первое слагаемое учитывает невязку сглаженных значений на

коэффициенты которых находятся из уравнения (109) по минимуму

образом, процедура повторяется в цикле для всех центральных точек области течения. На первом этапе п = 1, Л (1> = Л* и формула (109) совпадает с уравнением (103). На каждом этапе вычислений про­ веряется невязка

е = |Л("+ 1) — Л(п)|.

Если е становится меньше некоторого заданного числа, то вы­ числения следует прекратить. Нетрудно убедиться, что полученные значения во всех точках сглаживаются с учетом большого числа окружающих точек. Действительно, значение в некоторой точке зависит от значений в двенадцати соседних точках, расположенных на осях локальной системы (см. рис. 21, а). В свою очередь, каждое из значений в этих точках также зависит от двенадцати других точек и т. д. Если после некоторого цикла е = 0, то из формулы (109) следует

Суммируя уравнения (ПО) для всех точек, находим, что сгла­ живание в цикле обеспечивает минимум квадратичного отклонения по всей области. При этом сглаженные значения принадлежат одной поверхности. В соответствии с формулами (104), в локальной окрест­ ности каждой точки эта поверхность может быть представлена уравнением

л = £ Ъ а тпе г ,

п ~ 0 т = 0

где коэффициенты атп являются функциями координат центральной точки а о, р0, у 0.

Сглаживание в цикле позволяет выполнить граничные условия, или воспроизвести заданные значения исследуемой функции в не­ которых точках. В этих точках на каждом этапе значение функции не изменяется Л (,!+ 1) = = А*, а минимум квадратичного отклонения обеспечивается за счет соседних точек. Такую операцию следует проводить при сглаживании полей функции, но не ее про­ изводных.

Условие несжимаемости. Металлы, как и многие другие твердые

Рассмотрим сглаживание поля скоростей несжимаемого осесим­ метричного течения. В цилиндрической системе координат г, г, 0

быть одновременно включены обе компоненты скорости. Подобно

а на плоскости а, р введем систему локальных координат t, / по формулам (101). Так как

66

Тогда аппроксимирующие функции (115) в каждой точке будут иметь девять независимых коэффициентов: а0, аъ а2, а3, а4, Ь0, b2, bз, й4. Сохраняя нумерацию точек в окрестности О', как пока­ зано на рис. 21, а, из уравнений (115) имеем

ui — а0— 2ах -ф 4а3, и2 = а 0 — а х -ф а 2,

условия минимума квадратичного отклонения между измеренными

Используя выражение (117), получим систему нормальных урав­ нений:

Коэффициенты Cnm этой системы образуют симметричную матрицу (табл. 3), а коэффициенты Вт равны:

Так как матрица Сптсодержит много нулевых членов, то решение системы уравнений (118) может быть получено в явном виде. При использовании ЭВМ систему уравнений (118) удобнее решать ме­ тодом определителей.

68

Для плоского деформированного состояния условие несжимае­ мости в декартовой системе координат имеет вид

Вводя в каждой точке сетки а, р локальную систему координат (101) и аппроксимацию (115) для распределения скоростей, из послед­ него выражения находим для центральной точки

Нетрудно убедиться, что для плоского деформированного состоя­ ния справедливы формулы (118), (119), если произвести замену г —->х, z —>у и положить с = 0. Матрица коэффициентов Спт си­ стемы нормальных уравнений (118) приведена в табл. 4.

Т а б л и ц а 4

КО Э Ф Ф И Ц И Е Н Т Ы С пи

ДЛ Я ПЛО С КО Д ЕФ О РМ И РО В А Н Н О ГО СОСТОЯНИЯ

В рассмотренных методах сглаживания используется локальная аппроксимация в определенных направлениях для центральной точки. При этом исходят из того, что .вычисление производных представляет наибольшие трудности, а излишнего сглаживания поля скоростей для пластических течений следует избегать. Распро­

течения, а на границах области сохранялась достаточная точность, необходимо все точки области счета сделать центральными. Для этого вдоль внешнего контура должны быть построены несколько

69