книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

видно, наблюдаемая картина муаров связана с полем смещений вдоль направлений y v Введем нумерацию линий исходного растра (рис. 6, а)

где х г — координата линии; бх— постоянный шаг сетки координат вдоль оси х х.

Рис. 6. Образование эффекта муара при наложении исходного и деформированного растров:

растра; в — полосы муара при наложении; 1 — 4 — номера л и ­ ний растров

В начальном положении сопутствующая система совпадает с эта­ лонной (рис. 6, б) ах = х01, 8fll = бх, а номер линий деформирован­ ного растра будет

ние (39) сохраняется постоянным вдоль каждой полосы муара. Та­ ким образом, полосы муара, возникающие при наложении исходного и деформированного л^-растра, являются геометрическим местом точек равных приращений координат Ахх, выраженных в долях шага системы растров бх. Это положение иллюстрирует рис. 6, в. Ана­ логично, полосы муара, возникающие при наложении изображений исходного и деформированного у х-растра, являются геометрическим местом точек равных приращений координат Ау х, выраженных в до­ лях шага 62.

Следует отметить, что уравнение (33) получено в предположении определенного порядка (пх и п 2) и ориентации начальных систем. Положение и ориентация деформированного растра обычно неиз-

30

вестны и должны быть определены по исходной системе и картине полос муара; порядок последних устанавливается дополнительно. Обычно для этого используются граничные и начальные условия, а также данные о механической схеме деформации. Указанное об­ стоятельство, однако, не влияет на интерпретацию картин муара, так как она сохраняется, если в выражении (39) изменить знак на обратный. Когда цена полосы муара известна, то

т. е. каждая из картин муаров для х х- и «/i-растров графически определяет скалярные функции — приращения координат в пере­ менных Эйлера с помощью линий уровня

В свою очередь, изображения деформированного растра являются линиями уровня функций, связывающих лагранжевы и эйлеровы координаты точек среды в рассматриваемый момент времени

Сравнивая уравнения (43) и (7), нетрудно видеть, что преобразо­ вание растров, вызванное деформацией, устанавливает закон дви­ жения точек сплошной среды в переменных Эйлера. Используя фор­ мулы (40), (42), закон движения можно выразить через наблюдаемую картину муаров

ах = — /1 (хъ у х), b1 = y 1 — f a (x1, y 1), (44)

или перейти от формы Эйлера к форме Лагранжа.

Для определения физических компонент вектора смещения точек должна быть известна метрика системы (xlt у х) [40]. На практике преимущественное применение находят линейные и квадратные растры, реже используются круговые и радиальные системы. Это существенно упрощает обработку картин муара. Кроме того, другие системы трудно изготовить с необходимой точностью.

При использовании линейных растров интерпретация картин становится особенно простой. Если линии исходного растра парал­ лельны оси у декартовой системы координат (х-растр), то из выра­

т. е. полосы муара являются геометрическим местом точек равных смещений в направлении оси х. Аналогично, если линии растра в ис­ ходном положении параллельны оси х («/-растр), то

т. е. полосы муара являются геометрическим местом точек равных смещений в направлении оси у. Когда порядок полос муара уста­ новлен, то

31

В формулах (45)—(47): р — шаг растров; пх, пу — номера полос муара х- и р-растров соответственно.

При использовании квадратного растра обе картины уровней смещений U и V могут быть получены одновременно. Для разделения этих картин обычно накладывается линейный растр с тем же шагом, поочередно в х- и ^-направлениях.

Из общих соотношений (39), (40) нетрудно также установить, что при наложении изображений деформированного и исходного кру­ говых растров таким образом, чтобы полюсы систем совпадали, об­ разуются полосы муара, которые являются геометрическим местом

бражение деформированного растра на исходный растр, то возникаю­ щая картина муаров будет линиями уровня соответствующих прира­ щений (41) или (47), (48), (49), в зависимости от геометрии растров. Эти приращения отсчитываются от начального момента до текущего.

В ряде случаев представляет интерес измерение приращений между отдельными этапами. Пусть в момент t ~ 0 исходный растр на образце соответствует некоторой системе координат. Совместим изображения этого деформированного растра для моментов t' и t" таким образом, чтобы их относительное положение соответствовало положению тела в рассматриваемые моменты. Картина полос муара

где Хоь Хот— начальные (Г— 0) координаты точек на каждом из растров, которые в процессе деформации перемести­ лись в одну и ту же точку плоскости (хъ у х) в моменты

Г и t".

32

Из (33) имеем

где Дхх — приращение координаты между рассматриваемыми этапами.

Соотношения (50) аналогичны (39), поэтому остается справедли­ вой рассмотренная выше интерпретация картин муара, если все приращения отсчитывать от момента ? до момента t". Для линейных растров из (50) сразу находим, что полосы муара совпадают с ли­ ниями равных приращений смещения между рассматриваемыми этапами в направлении, перпендикулярном линиям исходного растра.

Интерпретация полос муара как линий уровня поля перемещений при деформации линейных растров развита в [41—43]. Общий слу­ чай ортогональных систем рассматривался в [40].

Однородные деформации. Для однородного состояния достаточно рассмотреть произвольную точку поля. Используя соотношения (16), можно аналитически определить уравнения линий деформированного растра и связать геометрию наблюдаемых полос муара с матрицей (17) соответствующего преобразования. Это позволяет определить дефор­ мированное состояние по геометрии муаров в окрестности некоторой точки, не прибегая к общей интерпретации полос как линий уровня приращений.

Если используются линейные растры, то из свойств аффинного преобразования следует, что деформированные системы остаются линейными. Рассмотрим картину муаров, наблюдаемую при наложе­ нии произвольных линейных растров. Выбирая систему декартовых координат и ориентацию растров, как показано на рис. 7, запишем уравнение линий первой системы

и второй системы

Отсюда

пх ^ (х sin ф — у cos ф)/pi, п 2 = х/р2.

Подстановка этих выражений в (43) дает уравнение полос муара, возникающих при наложении систем п 1 и п2:

(53)

где п — номер полос муара.

Из уравнения (53) следует, что полосы муара являются прямыми линиями с постоянным шагом. Угол наклона полос муара к оси х

шаг полос

(55)

относительно параметров р х и <р деформированного растра, так как р 2 известно, а р и й измеряются по картине полос муара [44]. В част­

Таким образом, если полосы муара параллельны линиям исход­ ной сетки, то растр испытывает линейное преобразование без вра

щения. Указанное состояние соответствует однородной линейной деформации вдоль оси х

е* = (Pi — Рг)/Ра = РЛр— Ра) > 0 , если рх> р 2,

е* = — р2/(р + р2) < 0, если рх < р2.

Для применения уравнений (56), (57) должен быть установлен

исходную и деформированную сетки параллельно и поворачивать их на небольшой угол, то полосы муара будут поворачиваться в ту же сторону в случае деформации растяжения (е* > 0) и в противопо­ ложную сторону — в случае деформаций сжатия (ех < 0). Это пра­ вило иллюстрирует рис. 8 [42].

В общем случае аффинного преобразования линейного растра параметры деформированной системы удобно определять следующим

34

Для вычисления частной производной ~~ по пространственной

координате х в некоторый момент /, совместим одинаковые изобра­ жения растра — линий уровня ф (х, у, t), каждое из которых сме­ стим вдоль оси х на малые отрезки Лх/2 и —Дх/2. Тогда изображения растров будут соответствовать новым функциям:

Ф1 (х, У, 0 = ф(х + Дх/2, у, t), \

(60)

ф2(х, У, 0 = Ф'(* — Дх/2, у, t). )

Разлагая правую часть уравнений (60) в ряд Тейлора и ограни­ чиваясь тремя членами разложения, найдем:

Наложение систем (61) эквивалентно вычитанию функций (60), и для возникающих полос муара имеем

Из уравнения (63) следует, что полосы муара являются линиями

уровня частной производной — Шаг уровня равен р/Ах. Если изо­

бражения растра наложить со смещениями Ау/2 и — Ау/2 в направ­ лении оси у, то возникающая картина полос муара соответствует

Применяя выражения (58), (59) к наложению соответствующих изображений деформированных линейных х- и //-растров для двух близких этапов t и t -f- At и считая t параметром времени, получим, что полосы муара являются линиями уровня проекций скорости в направлениях осей координат:

тров с относительными смещениями Дх/2, —Дх/2 и Ау/2, —Ау/2 дает полосы муара — линии уровня частных производных:

36

Целочисленные величины пи, п0, пхх, пху, пух, пуу в формулах (64), (65) образуют порядок соответствующих полос муара. Очевидно, уравнения (64) определяют средние значения скоростей за интервал

полос муара может оказаться недостаточным. При этом необходимо использовать растры с малым шагом р. Фотографирование растров с шагом менее 0,05 мм представляет значительные трудности; в этих случаях удобно фиксировать не сами растры, а полосы муара, обра­ зованные наложением их изображений на эталонные растры. Можно показать, что для полученных картин муара справедливы операции дифференцирования (59), (63). Совместим, например, две картины полос муара, образованные при сложении деформированных рас­ тров (58) с эталонной системой ф0 (х, у). Каждая из картин полос определяется функцией:

fi (х, у) = ф(х, у, t Аг At) — ф0(х, у),

h (М У) = Ф (*. У, 0 — Фо (х, у).

Так как полосы муара являются линиями уровня функцийh(x, у)

и /г (х> У)> т0 Для них также справедливо уравнение механической интерференции (33). Поэтому при наложении картин (66) возникает муар от муара, соответствующий разности функций

/ з (х, у) = f 1 (х, у) — /2 (х, у) = ф (х, у, t А~ At) — ф (х, у, t). (67)

Сравнивая уравнение (67) с уравнением (58), получим /С (х, у) = = f (х, у), т. е. возникающий эффект в точности аналогичен наложе­ нию деформированных систем растров и шаг уровня образующихся полос остается равным р!At. При образовании муара от муара полосы интерференции трудно различимы, однако их положение легко уста­ навливается графическим определением точек пересечения исходных полос муара каждой системы и построением по ним диагональных систем.

В некоторых случаях изображение системы растров на плоскости удобно рассматривать как линии уровня функции полярных коорди­ нат f (г, ф). Механическое дифференцирование этой функции по ф выполняется путем наложения двух изображений растра, поверну­ тых на углы ± Аф/2 относительно центра полярной системы. Образую­ щиеся полосы муара являются линиями уровня частных производ­

ных Чтобы определить производные / (г, ф) по г, наложим два

изображения растра, одно из которых выполнено в масштабе т, несколько отличающемся от единицы. Координаты сопряженных точек на каждой системе будут

ф' = ф, г' = тг,

тогда вторая система определит функцию

/ (Л ф') = f lr А- {т — 1) г, ф].

37

Поэтому при наложении двух растров возникают полосы муара — линии уровня функции

Ф(г, ф) = / ( г \ Ф') — / (г, ф ) « * ( т — 1 ) г | ^ ,

Дифференциальный метод муара. Методы измерения, основанные на эффекте муара, дают дискретные поля величин в масштабе шага растра р. Поэтому пределы измерения ограничены сверху и снизу. Покажем это на примере равномерного растяжения образца длиной L. Нижний предел измерений соответствует случаю, когда длина L равна шагу полос муара. Из (56), (57) тогда имеем emin = pjL. Верхний предел измерений определяется возможностью визуального разделения полос без применения специальной аппаратуры. Если принять, что предельная частота полос муара соответствует шагу 0,5—1 мм [50], то ешах = (0,5-г-1) р, мм/мм. Для повышения чув­ ствительности и расширения пределов измерения применяется диф­ ференциальный метод муара.

Дифференциальный метод муара состоит в следующем. На обра­ зец наносят линейный растр с шагом р, а в качестве эталонного ис­ пользуют другой растр с шагом р ', несколько отличающимся от р. Кроме того, наложение деформированного и эталонного растров производят с поворотом на небольшой угол ф. При наложении этих систем в исходном состоянии возникает начальная картина полос муара. Рассмотрим картину, образующуюся при наложении эталон­ ного и деформированного х-растра. Полное преобразование дефор­ мированного растра относительно эталонного определяется суммой следующих преобразований:

а) фиктивной однородной линейной деформации ef, которая приводит к изменению шага растра от р' до р

= (р — р')!р'\

б) жесткого вращения на угол ц>х\ в) действительной деформации ги-, которая должна быть опре­

38

Где направление ф* принято положительным для вращения против часовой стрелки. Используя формулы (44), (52), уравнение линий деформированного растра запишем в виде

и из уравнения механической интерференции получим для полос

Если порядок полос установлен, то из выражения (70) можно

В отличие от последнего случая, при дифференциальном методе на полосах муара могут быть измерены значения смещения, некратные шагу р. Это позволяет получить более подробную информацию, если число полос при дифференциальном методе больше, чем при обыч­ ном методе муара. Из (71) нетрудно видеть, что для одного и того же

диапазона изменения U число полос пх зависит от выбора ef и ф*,

причем е$ влияет на изменение пх в направлении оси х, а ц>х — в на­ правлении оси у. Очевидно, этот выбор всегда можно сделать таким образом, чтобы начальная картина, возникающая при наложении эталонного растра р' и исходного растра р, давала желаемое число полос. При последующем добавлении действительного поля дефор­ маций число полос на конечной картине увеличивается в областях,

где знак действительных деформаций е1;- и вращений совпадает с ef и фх, и уменьшается, где знаки противоположны. Так как в реальных процессах обычно имеются области различных знаков деформаций и вращений, то удобно наблюдать ряд дифференциальных картин, последовательно накладывая на деформированный растр эталонные системы с различным шагом р' и с определенными поворотами <рх.

Аналогично выражению (71), для системы у -растра будем иметь

Из уравнений (71), (72) следует, что действительные поля смеще­ ний вычисляются как разность между конечными и начальными полями. Для этого достаточно совместить дифференциальные кар­ тины муара, соответствующие указанным состояниям. Нетрудно убедиться, что возникающий муар от муара в точности аналогичен наложению исходных и деформированных растров с шагом р и, следовательно, дифференциальный метод в этих случаях не дает пре­ имуществ по сравнению с обычным. Измерение смещений, дробных шагу р, по формулам (71) , (72) обеспечивается за счет точного изме­

рения координат точек х, у при известных параметрах ef, tpx и ef,

39