книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

П р и м ер .

Следствие. Если две строки определителя одинаковы, то определи­ тель равен нулю. Как только что было сказано, взаимная перестановка строк изменяет знак, но поскольку строки одинаковы, то величина оп­ ределителя не может быть изменена. Отсюда \А \ = — j А | , так что М I = 0.

в) ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ

Если скаляр Я есть общий множитель для строки (т. е. он входит в качестве сомножителя в каждый элемент, находящийся в строке), то он также является общим множителем определителя. Пусть Я — сомножитель /г-й строки. Тогда определитель может быть разложен по элементам этой строки и, таким образом, Я можно вынести как общий множитель из каждого члена разложения; иначе говоря, Я есть множи­ тель определителя. Вследствие этого определитель может быть записан с вынесенным из /г-й строки множителем, который записывается как множитель определителя.

Этот процесс может быть распространен на несколько строк одновре­ менно.

Из свойства вынесения общего множителя можно вывести три по­ лезных следствия.

Следствие 1. Если одна строка определителя кратна другой строке, то определитель равен нулю. Вынесение множителя приводит к тому, что определитель будет содержать две одинаковых строки. Отсюда он равен нулю.

80

П рим ер.

Следствие 2. Если определитель имеет строку, состоящую из нулей, то величина определителя равна нулю. Здесь нуль будет общим мно­ жителем одной строки и отсюда — общим множителем определителя, который также равен нулю.

Пример.

Следствие 3. Если А есть матрица размером пХ п и А, — скаляр, то определитель матрицы ХА есть Хп\ А | ; иначе говоря, \ХА | = Хп \ А |. В этом случае X является сомножителем каждой из п строк матрицы ХА. Если вынести X из каждой строки определителя, то остается | А |.

Пример.

г) ПРИБАВЛЕНИЕ КРАТНОЙ СТРОКИ

Прибавление к одной строке определителя другой строки, умножен­ ной на какой-либо множитель, не влияет на величину определителя. Например,

суммирование второй строки с четырехкратно увеличенной первой строкой не повлияет на величину | А | :

= 1 (29 —203)-3(12 —58)+ 2 (84 —58)= — 174+ 138 + 52 = 16.

Этот результат легко можно обобщить применительно к определите­ лю любого порядка, построив определитель | С | , где С есть матрица В, в которой к первой строке прибавлена вторая строка, умноженная на X. Таким образом, если

81

Этим свойством постоянно пользуются при разложении определи­ теля, при этом к одним строкам прибавляют другие, умноженные на положительный или отрицательный множитель. Так, в предыдущем

Если теперь мы добавим (—2) раза первую строку к третьей, то полу­ чим

Разложение по элементам первого столбца теперь весьма просто, так как два элемента этого столбца равны нулю:

Получен тот же результат, что и ранее. Путем повторного добавления одной строки, умноженной на какое-либо число, к другой мы можем преобразовать один столбец (не обязательно первый) так, что все его элементы, кроме одного, будут равны нулю. Тогда разложение по эле­ ментам этого столбца потребует определения только одного минора, который представляет собой определитель с порядком, меньшим на единицу, чем исходный определитель. В свою очередь найденный оп­ ределитель может быть также сокращен и так далее до тех пор, пока исходный определитель не станет кратным простому определителю 2x2. На каждом шаге добавление одной строки, умноженной на число,

82

к другим может быть сведено в одну операцию; например, в предыдущей иллюстрации шаги, представленные как (5) и (6), могут быть выполне­ ны одновременно, а форма (6) записана непосредственно на основе (4).

Этот процесс можно начать с любой строки. Например, рассмотрим в нашем примере процесс сокращения, базирующийся на третьей стро­ ке. Если третью строку (—21) раз добавить ко второй строке и (—2) раза к первой строке, то получим

В итоге разложение по элементам третьего столбца дает

что было получено и ранее. Выбор строки и столбца, необходимых для упрощения расчетов, зависит от результатов изучения определи­ теля. Например, при разложении

расчеты будут проще, если вторую строку с соответствующим множи­ телем прибавить к остальным строкам для того, чтобы свести к нулю первый и третий элементы второго столбца, чем проделывать то же самое с первой или третьей строкой.

Рассмотренные свойства могут быть полезны при вычислении опре­ делителей в бесконечном числе вариаций, причем эффективность этой процедуры, которая в любом конкретном случае сводит к минимуму объем затрачиваемых усилий, в значительной мере является делом практики. Этот метод может быть обобщен следующим образом. При добавлении строки с соответствующими множителями к другим стро­ кам определителя мы так преобразуем один из столбцов, что в нем ос­ тается только один ненулевой элемент. Тогда разложение по элементам этого столбца приводит только к одному ненулевому произведению эле­ мента на его минор, который является определителем, имеющим на еди­ ницу меньший порядок, чем исходный определитель. Последовательное применение этого метода сокращает определитель до величины, крат­ ной определителю порядка 2x2. Если на любом шаге эти сокращения приводят к тому, что у элементов строки появляется общий множитель, то его можно вывести в виде общего множителя определителя, а если они приводят к тому, что строка становится нулевой или две строки оказы­ ваются одинаковыми, то определитель равен нулю.

83

д) ДОБАВЛЕНИЕ СТРОКИ К СТРОКЕ, УМНОЖЕННОЙ НА ЧИСЛО

мы показали, что | В \ — \ А \ . Заметим, однако, что добавление строки к другой строке, умноженной на число, не является тем же самым и приводит к иным результатам. Например, добавляя вторую строку к А раз взятой первой строке, получим определитель

Это происходит в связи с тем, что | С | получают из | А | путем умноже­ ния первой строки | А ] на А и добавления к ней второй строки. Первый из этих двух шагов, как было показано, изменяет | А | на А | А | , а вто­ рой не изменяет этой величины. Отсюда j С \ = А | А | .

Таким образом, в то время как строка, умноженная на число и до­ бавленная к строке, не оказывает влияния на определитель, добавле­ ние строки к строке, умноженной на число, имеет своим последствием то, что определитель оказывается умноженным на этот множитель.

4.СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Вобщем случае сумма двух определителей (или их разность) не мо­ жет быть записана в виде одного определителя:

- О.Ц а22—а12 а2г-Т Ьп 622—612 Ь21.

Эта сумма не может быть выражена через определители иначе, чем \А\ + | В \; например, она не может быть записана как | А + В | . То же самое можно сказать о разности | А \ — | В \ .

84

Так как определитель представляет собой скалярную величину, то оба выражения |Л| + | В | и | Л | — | Б | имеют смысл даже в том случае, когда Л и Б — квадратные матрицы разного порядка. Это свойство от­ лично от свойств матриц, для которых выражения Л + 8 и Л — Б имеют смысл только тогда, когда матрицы пригодны для суммирования (имеют один и тот же размер).

5. ПРОИЗВЕДЕНИЕ о п р е д е л и т е л е й

Можно показать, что, если Л и Б — квадратные матрицы одного порядка, то определители двух расчлененных матриц, включающих матрицы Л и Б, имеют следующий вид:

и

ЛО

где X — любая матрица того же порядка, что и Л, а О — нулевая мат­ рица (доказательство приведено в приложении к данной главе, см. раздел д).

|Л В |= |В Л |= |Л | |Б |.

Следовательно, мы приходим к важному выводу, согласно которому определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц.

85

6. ДИАГОНАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Иногда расчет определителя может быть упрощен следующим обра­ зом: его матрицу представляют в виде суммы двух матриц, одна из ко­

нальная матрица есть квадратная матрица, у которой все недиагональ­ ные элементы равны нулю; см. параграф 6 главы I). Покажем, что определитель (А + D) может быть выражен в виде многочлена, состоя­ щего из элементов D.

Прежде всего введем сокращенные обозначения для миноров. Пусть

Обозначим теперь миноры с помощью только их диагональных ЭЛеМеН-

Аналогичным образом запишем минор третьего порядка:

86

Предположим теперь, что В есть сумма двух матриц 2X2:

Аналогичным путем этот результат может быть получен для определи­ теля 3x3:

Последнее выражение можно представить в сокращенной записи:

Рассматривая этот многочлен, заметим, что коэффициент при произ­ ведении всех х равен единице, коэффициенты у членов, содержащих про­ изведение двух х, являются диагональными элементами А, а коэффи­ циенты при х представляют собой миноры матрицы А второго поряд­ ка, у которых диагональные элементы совпадают с диагональными эле­ ментами | А |; наконец, независимый от х член равен самому определи­ телю | А | . Миноры А, играющие роль коэффициентов, а именно те ми­ норы, диагональные элементы которых совпадают с диагональными эле­ ментами | А | , называются главными минорами \ А \ .

Этот метод разложения известен как разложение по диагональным элементам или кратко — диагональное разложение. Он особенно эф­

87

фективен тогда, когда многие из главных миноров А равны нулю, по­ скольку в таком случае разложение | А + D | с помощью этого метода в значительной мере упрощается.

Пример. Если

Каждый элемент А равен 2, так что | А | и все миноры 2x2 равны нулю. Соответственно j В \, определяемое по формуле (11), состоит только из первых четырех членов:

| В | = 5 (6)7 + 5 (6)2 + 5 (7)2 + 6 (7)2 424.

Расчет определителя с помощью такого метода также эффективен

вслучае, когда все элементы диагональной матрицы/? равны друг дру­ гу, т. е. когда все величины х совпадают между собой. Разложение (11)

вэтом случае можно представить как

Пусть trx (Л) есть след матрицы А (напомним, что это — сумма диаго­ нальных элементов, см. параграф 6 главы I), а tr2 (Л) — сумма миноров второго порядка этой матрицы. Тогда выражение (12) может быть за­ писано в виде

Это выражение включает сумму всех возможных произведений г пе­

8 8

Разложение по диагонали дает

| А + D | = £Л + ЬЧгг (Л) + ЬНг2 (Л) + btr3 (Л) + | Л | ,

где Л есть матрица размером 4x4, элементы которой равны а. Таким образом; | Л j и все миноры порядка 2 и выше равны нулю.

Отсюда

\ A + D \ = bi + b3 (4а) = (4а + b)b3.

7. ПРИЛОЖЕНИЕ

а) ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРАНСПОНИРОВАННОЙ МАТРИЦЫ

Л ' — транспонированная матрица Л, представляет собой такую матрицу, у которой столбцы являются строками исходной матрицы Л. Поэтому в разложении |Л' j по элементам первого столбца в соответствии с уравнением (2) берутся те же элементы, что и в первой строке Л, а зна­

должны быть транспонированными минорами по отношению к минорам, записываемым при разложении |Л j по, элементам первой строки. В этом и заключается единственная разница между | Л' | и | Л | . Эта раз­

*Вообще дополнительным минором для минора М в определителе | А | яв­ ляется минор, полученный из | А | вычеркиванием тех г строк и столбцов, в ко­ торых стоит минор М. — Прим, перев.

89