книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

щий процентной ставке г за период. Тогда уравнение (13) принимает вид:

далее — рассмотрение аналогично предыдущему.

Упражнения

1. Две машины А и В сдаются в аренду по одной и той же цене. Эти машин имеют следующие различные матрицы вероятностей перехода, соответствующих состояниям «работает хорошо» (состояние I) и «требует регулировки» (со­ стояние 2):

машина А машина В

--из трех аэропортов. Какой из них вы порекомендовали бы для этой цели? По­ чему?

4.Рассмотрите матрицу вероятностей перехода для двух состояний,

заданную в общем виде:

p J P ii Р» .

.Р21 Р22_

Определитеэлементы вектора стационарных вероятностей х' = [kj, п21 через элементы Р. (Напоминаем, что сумма элементов любой строки равна 1.)

5. Поведение рынка ценных бумаг обнаруживает следующую тенденцию: сделки, в которых изменение цен направлено в одну сторону, сменяются сдел­ ками, в которых это изменение направлено в другую сторону. Предположим, что условная вероятность возрастания цен после предшествовавшего периода

220

их падения равна 0,75, и также наоборот. Определите соответствующие состоя­

Предположите, что в некотором магазине 1000 лиц пользуются кредитом. Подсчитайте стационарное ожидаемое вознаграждение за период.

9. Некоторый производитель кофе анализирует возможность проведения рекламной кампании, направленной на привлечение покупателей к его сорту кофе. Из данных, полученных при исследовании рынка, ему удалось оценить нынешние вероятности того, что покупатели сменят «наш сорт» на «какой-либо другой», и наоборот. Обе вероятности равны 0,2. Исследователи рынка, исходя из предположения о неизменности рекламы конкурента, предварительно оцени­ вают результаты кампании следующим образом: единственным изменением вероятностей будет возрастание с 0,2 до 0,3 вероятности смены «какого-либо сорта» на «наш сорт».

а) Предположите, что проведение рекламной кампании стоит 70 миллионов долларов (нынешняя оценка всех будущих затрат) и что на рынке 50 миллионов покупателей кофе. Каждый покупатель в среднем приносит 2 доллара прибыли (рассчитываемой до уплаты налогов). Если учетная ставка равна 20% в год, то следует ли производителю проводить рекламную кампанию? (Предположите, что стационарность наступает очень быстро.) (Указание. Матрица вознагражде­ ний не нужна; работайте непосредственно со стационарными вероятностями.)

221

б) Теперь предположите, что у производителя имеется план другой реклам­ ной кампании, проведение которой стоит столько же, столько и проведение предыдущей, и единственным результатом которой будет увеличение вероят­ ности удержания своих покупателей с 0,8 до 0,9. Следует ли выбрать эту кампа­ нию?

10.Рассмотрите пример с машиной в параграфе 5 данной главы. Предполо­ жите, что ремонт машины в случае, если она требует регулировки, стоит не 0,90 доллара, а 1,40 доллара. Если осталось всего три периода до того момента, как машину должны разобрать и перестроить, то какова оптимальная стратегия ре­ монта для каждого из трех периодов?

11.Предположите, что машина переходит из состояния 1 (работает хорошо)

всостояние 2 (требуется регулировка) и обратно с такими вероятностями пе­ рехода:

Предположите, что в случае, если машина в течение дня находится в состоянии 1, то она приносит 100 долларов прибыли, а в случае, если она в течение дня на­ ходится в состоянии 2, то приносит убытков на 50 долларов.

а) Подсчитайте ожидаемую дневную прибыль.

б) Теперь предположите, что машину можно починить за 120 долларов, причем ремонт может быть проведен столь быстро, что машина получает возмож­ ность работать в состоянии 1 в течение полного рабочего дня. Предполагая, что переходы из состояния в состояние происходят в конце рабочего дня, вычислите стационарное ожидаемое вознаграждение за период при условии, что выполняет­ ся решающее правило «всегда ремонтировать машину, если она этого требует». Какое из решающих правил (не ремонтировать, либо ремонтировать) дает большее стационарное вознаграждение?

в) Если бы оставалось всего несколько дней до момента, когда машину за­ менят другой моделью, то следовало ли бы тогда придерживаться оптимальной стратегии, найденной в ответе на вопрос б? Объясните свой ответ.

Предположите, что текущие расходы на хранение одной единицы в течение недели равны 1 доллару, и что одна продажа приносит 5 долларов прибыли. Всякий запрос, который не может быть удовлетворен из запасов на складе, теряется. Какому из решений нужно следовать, чтобы максимизировать стацио­

с машиной в параграфе 5 равно 1,33 доллара за период, если машину ремонти­ руют, когда это требуется.

14. Для произвольной матрицы переходных вероятностей Р и произволь­ ного целого п покажите:

(Указание. Используйте вектор 1, каждый элемент которого равен единице.) 15. Проверьте, что для любой матрицы переходных вероятностей Р матри­

ца (I—Р) вырожденная.

2 2 2

IX ЛИНЕЙНОЕ

ГЛАВА П РОГРАММИ РОВАНИЕ

Линейное программирование — аналитический аппарат (создан­ ный Данцигом, см. [5])*, привлекший к себе большое внимание в эко­ номике в последние двадцать лет. Это метод максимизации (или ми­ нимизации) линейной функции, учитывающий множество линейных ограничений. Наиболее распространенное его применение заключает­ ся в распределении дефицитных ресурсов Между несколькими вида­ ми деятельности для максимизации или минимизации некой «цели», например такой, как прибыли или издержки. Метод линейного про­ граммирования обеспечивает решения широкого класса такого рода задач, возникающих в хозяйстве.

1. ПРОБЛЕМА МАКСИМИЗАЦИИ

а) ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

Пример. Небольшая механическая мастерская выпускает два типа изделий, причем изделия каждого типа изготовляются двумя разными машинами. А именно, каждая единица продукта 1 (первый тип изделий) требует трех часов работы на машине I и двух часов работы на машине II; каждая единица продукта 2 (второй тип изделий) тре­ бует двух часов на машине I и трех часов на машине II. Машину I можно использовать только восемь часов, а машину II — только семь часов в день. Предположим, что прибыль, получаемая от продажи единицы каждого продукта, равна 20 и количество любого продукта, которое может быть продано, не имеет ограничения. Задача состоит

При этом надо учитывать ограничения, определяемые фондом машин­ ного времени.

Прежде всего представим задачу в алгебраической форме: пусть хх обозначает число единиц продукта 1 , х2 — число единиц продукта 2, a z — общую прибыль; надо найти максимум функции

[;г = 20ЛУ+ 20х2,

*Первая работа, положившая начало линейному программированию, как известно, принадлежит советскому ученому академику Л. В. Канторовичу

(1939 г.) — Прим. ред.

224

равенствами в любую сторону; 3) решения должны быть не­

отрицательными.

Свойства 2 и 3 обычно предполагают, что существует довольно большое число решений, удовлетворяющих поставленным условиям. Например, если задачу (1) решить графически (рис. 1), заштрихо­ ванная площадь будет удовлетворять всем четырем условиям, т. е.

площадь называется областью допустимых решений. Задача сводится

кнахождениию такой точки (лу, х2) в области допустимых решений,

вкоторой значение целевой функции максимально.

положим карандаш на любую из них и будем удалять его от начала координат, сохраняя его параллельность двум пунктирным линиям.

Карандаш изображает линию 20хх + 20х2 = г, где z увеличивается по мере того, как он удаляется от начала координат. Так как целью является получение возможно большего значения г, то карандаш надо двигать вверх до тех пор, пока он не коснется области допусти­ мых решений только в одной точке; эта точка есть оптимальное ре­ шение задачи линейного программирования. Оптимальной является точка (2; 1), в ней z — 20хх + 20х3 = 60. В любой другой точке об­ ласти допустимых решений целевая функция не равна 60, так как каж­ дая из этих точек лежит на линии 20хх + 20х3 = z, где г < 60. Пунк­ тирные линии иногда называют линиями равной прибыли. Таким обра­ зом, в любой точке на л и н и и 20х\ + 20х2 = 60 можно получить при­ быль 60; однако только одна точка на этой линии допустима данными условиями задачи.

б) СВОЙСТВО УГЛОВЫХ ТОЧЕК

Графический метод решения задач линейного программирования удобен в случае, когда область допустимых решений имеет два измере­ ния; но его трудно применять, когда она описывается тремя или более измерениями. В этом случае оптимальные решения следует искать другими способами. Здесь рассматривается специальный метод реше­ ния, так называемый модифицированный симплекс-метод, основан­ ный на свойстве, по которому оптимальное решение является угловой точкой области допустимых решений.

системы уравнений, полученной выбором я ограничений, которые рас­ сматриваются как равенства, из ограничений, определяющих область допустимых решений. Если угловая точка удовлетворяет оставшимся ограничениям, то ее называют допустимой угловой точкой (или угло­ вой точкой области допустимых решений)1.

Например, в рассмотренной задаче (1) четыре допустимые угловые

точки: (0; 0), (J; 0j, (О; ^), (2; 1). Они являются решениями следую­

щих систем уравнений (составлены из условий):

1 Исключения имеют место в следующих случаях: а) если область допустимых решений не ограничена, то оптимальное решение может быть не определено; б) когда условия таковы, что не существует области допустимых решений. Та­ кие случаи в данной главе не рассматриваются.

226

Еще две угловые точки могут быть получены из систем: Злу + 2х2 = = 8, хх = 0; и 2лу + Зх2 = 7, х2 = 0; но они недопустимы, т. е. они не лежат в области допустимых решений.

Поскольку установлено, что оптимальное решение есть всегда уг­ ловая точка области допустимых решений, задача значительно упро­ стилась. Если имеется я неизвестных х1у ..., хп и яг + я ограничений,

дифицированный симплекс-метод последовательно рассматривает лишь допустимые угловые точки и делает это таким образом, что значения целевой функции в последовательно рассматриваемых угловых точ­ ках образуют неубывающую монотонную последовательность1. Та­ ким образом будут оценены не все допустимые угловые точки; это ос­ новное вычислительное преимущество модифицированного симплексметода по сравнению, например, с процессом полного перебора всех допустимых угловых точек.

в) МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Обычно в линейном программировании имеют дело с задачами, сформулированными в виде одной из следующих форм:

где с есть я-мерный вектор коэффициентов целевой функции (обычно коэффициенты характеризуют удельную прибыль или затраты); -X—я-мерный вектор переменных решения (неизвестных); А — матри­ ца «технологических коэффициентов» размером m X я; Ь — яг-мерный вектор дефицитных ресурсов с bt > 0, i = 1 , ..., m\ z — значение

целевой функции; > означает соответственно «больше», «равно», -«меньше».

Пример. Теперь рассмотренную ранее задачу (1) можно сформу­ лировать в матричных терминах:

Оба технологических ограничения относятся к типу «меньше чем ...». В данном параграфе рассматриваются задачи формы I (максими­ зация) с ограничением «меньше.чем ...». В параграфе 2 рассматривают­ ся задачи формы II (минимизация); в параграфе 3 излагается пробле­ ма смешанных ограничений (как «меньше чем ...», так и «больше чем...»), а также освещен случай, когда ограничения представлены ра­

1 Последовательность аи а2, ..., ап, ... называется неубывающей монотонной, если ап < ап+1 для всех п.

г) ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Запишем задачу (2) в несколько измененной форме: максимизировать z = с*'х*

новая форма идентична первоначальной за небольшим исключением: множество т дополнительных переменных, введенных по одной в каж­ дое из неравенств Ах ^ Ь, превратило неравенства в равенства. Из требования неотрицательности этих дополнительных переменных и равенства нулю связанной с ними прибыли следует, что если х*

Когда задача записана в форме (3), то можно прямо применять модифи­ цированный симплекс-метод. Как указывалось, этот метод решения задач линейного программирования проверяет допустимые угловые точки. Хотя существует бесконечно много векторов х*, таких, что А*х* = Ь, х* > 0, угловых точек, удовлетворяющих условиям Ах ^ Ь, х >- 0, всегда конечное число*1.

**Эти переменные иногда называют балансовыми или выравнивающими. —

Прим. ред.

1 С помощью обобщенной обратной матрицы из главы VII можно найти всех*, удовлетворяющие уравнению А*х* = Ь; однако в данном случае из равенства

ограничения на отрицательность. Таким образом, хотя метод обощенных обрат­ ных матриц и является общей формой для всех решений урвнения А*х* =; Ь, он не может ничем помочь при поиске оптимального решения задачи линейного программирования.

228

д ) Б А З И С

Базисом мы называем здесь матрицу т х т, столбцами которой являются т линейно-независимых столбцов матрицы А*. Поскольку А* = [А I т], всегда существует по крайней мере один набор из т линейно-независимых столбцов матрицы А*, полученный с помощью единичной матрицы 1т, Далее, из того, что А* содержит т -г п столб­

однозначно соответствует некоторой угловой точке, хотя среди этих точек могут быть и недопустимые. Например, рассмотрим базис В, состоящий из k столбцов (матрицы А) соответствующих переменных, входящих в х, и m — k столбцов (матрицы /), ассоциированных с пе­ ременными, входящими в xs. Напомним, что из результатов главы VII

ние методом расчленения дает

В данном случае х равен х*, матрица Аг есть В, уг равен Ь, а хх пред ставляет собой т- мерный вектор решения для переменных, соответст­ вующих базису В. Мы назовем этот вектор Хв вектором базисных пе­ ременных. Выражение (4) можно переписать с учетом введенных обоз­ начений в форме

мы находим одновременно решение системы уравнений А*х* = Ь. Это решение ассоциировано с единственной угловой точкой: посколь­ ку k переменных, входящих в xs, приравнены к нулю (т — k ассо­ циированы с хв), то k неравенств Ах < b должны обратиться в ра­ венства; кроме того, п — k переменных, входящих в х, приравнены к нулю, что обращает в равенства соответствующие им ограничения неотрицательности. Таким образом, исходные переменные, входящие в х*, будут решением системы из п уравнений, образованной превра­ щением неравенств типа Л х < Ь и х | > 0 в равенства. Единственное решение этой системы по определению является угловой точкой. Каждый базис связан с единственной угловой точкой, которая в за­ висимости от того, удовлетворяет она или нет всем остальным ограни­ чениям, либо будет, либо не будет допустимой.

Пример. В задаче (1) существует шесть базисов, которые следую­ щим образом связаны с угловыми точками:

229