книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

Прежде всего отметим, что скалярным аналогом векторного уравне­ ния Ах = 0 может служить уравнение ах = 0, где а и х — скалярные величины; ясно, что в этом случае либо а, либо х, либо оба эти числа должны быть равны нулю. Однако с уравнением Ах = 0 дело обстоит иначе, потому что, если А не является нулевой матрицей, часто суще­ ствуют ненулевые векторы х, удовлетворяющие условию Ах = 0.

Пример. Предположим, что в уравнениях (16) у = 0:

а — 8, 6 = —1, с = —3 и d — —1 — решение уравнений (19). Это же

общее решение можно получить в виде х = (Я — I) z, где z представ­ ляет собой произвольный вектор <7-го порядка. Ранг матрицы Я — I равен q — г, поэтому, когда г == q, матрица Я — / обращается в ну­

левую, следовательно, и решение — х==0, т. е. существует единственное решение х = 0. Если же г -< q, тогда решение имеет следующий вид:

х = (Я — 1) z, причем этот вектор может быть отличным от нулевого. Это означает, что уравнения Лх = 0 только тогда имеют ненулевые ре­ шения, когда ранг матрицы А меньше, чем число ее столбцов; в этом случае всегда будут существовать и ненулевые решения. Далее, поскольку ранг (Я — I) равен q — г, существует лишь q — г линейно­ независимых векторов (Я — I) z и, следовательно, только q — г линейно-независимых решений уравнений Ах = у\ напомним, что если у представляет собой ненулевой вектор, уравнения Ах — у имеют, в соответствии с теоремой 3, q — г ~|- 1 линейно-независимых решений.

Кроме того, принимая во внимание теорему 4, можно записать соотношение (14) в следующей форме: Ах* — 0 при у = 0. Отсюда

следует, что если даны решения xt, то и х* = 2 А.(х2будет решением исходных уравнений независимо от того, какие значения принимает Следовательно, любая линейная комбинация, составленная из ка­ ких угодно решений уравнений Ах = 0, также оказывается решением

этих уравнений.

Пример (продолжение). Уравнение (19) можно записать в следую­ щей форме:

1 9 0

Уравнение (19) имеет q — г — 4 — 2 = 2 линейно-независимых не­ нулевых решения. Подставив пары значений гг — 1; zi — 1 и г2 = 4, zi = —1, можно получить следующие решения уравнений (19):

И* 2 =

Любая линейная комбинация, составленная из этих решений, также образует решение. Например, вектор

—11, 64

—3, 88

представляет собой решение уравнений (19).

г) ОЕЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ (ПРИМЕР)

Теперь проиллюстрируем весь процесс решения линейных урав­ нений. Допустим, что уравнения Ах = у имеют следующий вид:

Преобразуем строки и столбцы матрицы А, воспользовавшись произведениями элементарных операторов:

191

В результате преобразований получаем

Вид А свидетельствует о том, что г (Л)=3, а последний элемент век­ тора Ру, как следует из наших вычислений, равен нулю. Таким обра­ зом, уравнения совместны, они могут быть решены.

Рассчитаем теперь матрицу Я:

где z представляет собой произвольный вектор; предположив, что z имеет следующую форму: z = [г2 г2 г3 ^4] (компоненты z — это ска­ лярные величины), можно получить такие решения:

153 — 9 zi

—15 z4

где z4 принимает произвольные значения.

0,4

4,6

0,2

0

192

если же z4 = —3, х2 =

Любое иное решение можно будет представить в виде линейной комби­ нации и х2, сумма необходимых для этих комбинаций коэффициентов будет равна 1, например, вектор

показаться, что такая процедура вычислений слишком длинна. Одна­ ко ее преимущества проявляются особенно отчетливо в тех случаях, когда число уравнений велико, скажем, когда приходится решать от 80 до 100 уравнений, каждый шаг в наших вычислениях предпола­ гает действия с матрицами, которые могут быть выполнены без затруд­ нений при любых размерах и при любом ранге матриц. Каждый из указанных шагов можно легко представить в виде программы для электронной вычислительной машины. Благодаря этому задача реше­ ния линейных уравнений сводится к простой вычислительной проце­ дуре, которая в.тех случаях, когда уравнения содержат сравнитель­ но малое число переменных, может быть выполнена с помощью на­ стольной вычислительной машины, а при большой задаче—с помощью более сложных электронных вычислительных машин.

5. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Поясним теперь, как решается такая система уравнений, у кото­ рой число уравнений не равно числу неизвестных (р Ф q).

Пример. Допустим, что система уравнений Ах — у имеет сле­ дующий вид:

■Дописав в матрице А нулевой столбец, перейдем к квадратной матри­ це. Тогда, проведя соответствующие преобразования с новой матрицей А, можно определить обобщенную обратную матрицу G. Действительно, если

то

Теперь переопределим матрицу G, вычеркнув из нее столько же нулевых строк, сколько в матрице А было дописано нулевых столбцов; в нашем примере для того, чтобы вернуться к первоначальной форме Л, следует вычеркнуть в G одну строку нулей. После этого матрица G, имеющая следующий вид:

будет представлять собой обобщенную обратную матрицу по отноше­

Перед, тем как решать уравнения, следует прежде всего проверить, совместны ли они. Переход к новому определению матрицы А не влия­

следовательно, уравнения совместны. Таким образом, эти уравнения можно решить. Отыскивая решение в той же форме, что и раньше, подставим в формулу числовые данные:

3

x = Gy-\-(H—I)z =

1

Исходные уравнения, которыми пользуются в этом примере, имеют только одно решение, поскольку Н — / = 0 и q — г-1- 1 = 2 —

— 2 + 1 = 1.

Суть этого метода можно изложить в нескольких, словах: если Л представляет собой прямоугольную матрицу, следует расширить ее до квадратной, приписав недостающие нулевые строки (столбцы). Затем, построив обычным способом обобщенную обратную матрицу, вычеркиваем из нее столько нулевых столбцов (строк), сколько строк (столбцов) было приписано в Л.

Если размер исходной матрицы Л был равен р X q, то размер обобщенной обратной матрицы G равен q х р; в последующих вычис­ лениях можно воспользоваться теми же свойствами G и той же про­ цедурой решений уравнений Ах = у, что и раньше. Таким образом, последовательность вычислений чрезвычайно проста: надо только дописать строки (столбцы) нулей в матрице Л, затем вычислить G

194

и вычеркнуть В ней Соответствующие столбцы (строки) нулей. Отме­ тим общность этой вычислительной процедуры: она может применяться и в том случае, когда число уравнений меньше числа неизвестных,

ив том случае, когда оно больше числа неизвестных.

6.ПРИЛОЖЕНИЕ

а) УРАВНЕНИЯ, ИМЕЮЩИЕ РЕШЕНИЯ

В параграфе 2 данной главы было показано, что совместные урав­ нения имеют решения. Докажем теперь обратное утверждение: урав­ нения, которые имеют решения, должны быть совместными.

В разделе б параграфа 2, выводя соотношение (3), мы исходили из предположения, что исходные уравнения совместны. В противном случае уравнение (3) имело бы следующий вид:

СА*

Предположим, что вектор х образует решение этого уравнения. Тогда

Умножив обе части уравнения (23) слева на С и подставив полученное выражение в (24), мы получим у 2 = Сух. Следовательно, уравнения (22) можно привести к виду:

отсюда следует, что исходные уравнения совместны.

6) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3

Теорема 3. Пусть А представляет собой матрицу ранга г, содер­

и Н = GA, получим решения уравнений Ах — у в виде х — Gy + (Н —

— I) г. Поскольку ранг матрицы (Я — I) равен q — г, вектор (Я — I) z при любых значениях z содержит только q — г произволь­ ных элементов. Остальные г элементов представляют собой линейные комбинации, составленные из этих q —■г элементов. Следовательно, существуют только q — г линейно-независимых векторов (Я — I) г.

Подставляя их в х, мы получим q — г линейно-независимых решений. Пусть эти решения имеют следующий вид: xt = Gy + (Я — I) zu где i = 1, 2, ..., q — г. Кроме того, х = Gy также образует решение

7 *

195

уравнений Ах — у. Предположим, что это решение линейно-зависимо от переменных хг. Тогда существуют такие скалярные величины kt (i принимает значения 1, 2, q — г), которые удовлетворяют (при условии, что не все kt одновременно равны нулю) следующему соот­ ношению:

Левая часть уравнения (26) не содержит г. Поэтому в правой части второе слагаемое должно быть равно нулю, откуда следует, что = 0. Поскольку же гг представляют собой независимые ре­ шения, их линейная комбинация может быть равна нулю лишь в том случае, если каждое число к 1 равно нулю. Но это противоречит пред­ положению о том, что соотношение (25) содержит отличные от нуля

kt. Поэтому вектор Gy не может быть линейно-зависим от хг, и, следо­

вательно, набор Xi (г = 1,2, ..., q — г) и Gy образуют систему, содер­ жащую q — г -|- 1 линейно-независимых решений.

в) ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕНИЯ

Линейные комбинации элементов решения, которые инвариантны относительно выбранных решений, находят широкое применение в некоторых методах статистического анализа (регрессия на условную переменную (0; 1) и ее эквивалентные формы, линейные статистические модели; см. главу XI). Поэтому приведем еще одну теорему, касаю­ щуюся линейных комбинаций элементов решения. Она принадлежит

будет инвариантна относительно выбранных решений тогда и только тогда, когда k'Я = k!.

Доказательство. Воспользуемся формулой решения системы, пре­ дусматриваемой теоремой 2, и умножим обе части формулы на k':

висит от выбора произвольного вектора г; поскольку же любое решение

может быть представлено в виде х = Gy + (Я — I) г, если подобрать соответствующие значения г, в тех случаях, когда k'H -^k' , произведе­

ние k'x при любом х равно k'Gy. Кроме того, если удовлетворяется

условие k'H — k ', произведение k'x = k'Gy будет иметь единственное значение, не зависящее от того, какую из обобщенных обратных мат­ риц мы выбираем в качестве G. Докажем это утверждение. Во-первых, в соответствии с теоремой 3 существует q — г + 1 линейно-независи­

196

мых решений, имеющих вид: х = Gy + (Я — I) z. Обозначим эти

решения через хг при i — 1, 2, q — r + 1. Далее предположим, что, воспользовавшись какой-то другой обобщенной обратной матри­ цей, скажем G*, мы получим решение:

х* = G*y + (Я* — I) z.

В таком случае, поскольку х* представляет систему, состоящую из

? —г-н ~

=£ l iXi,

7 = 1

причем не все множители Яг одновременно равны нулю. Кроме того, в соответствии с теоремой 4 = 1. Далее, так как k'Н = k! , равенст­

во k'xi = k'Gy справедливо при всех значениях i\ поэтому, умножив

Следовательно, какое бы решение х* мы ни выбрали, произведение k'x* равно k'Gy при условии, что k'H = k!. Теорема доказана.

то k'H = k' . Подставим теперь в произведение k'x значения решений

хх и х2, полученные из соотношения (18) при z2 = 1, z4 = 0 и г2 = О, z4 = 1:

k'xi = [1 2 1 3]

11

6'х2 = [1 2 1 3]

— 1..

Следовательно, при данном значении вектора k' произведение &'х4 всегда равно 6 независимо от того, какое решение х мы выбираем;

197

можно убедиться в этом, подставив в произведение k'x общий вид решения х, предусматриваемый соотношением (18):

—^4

какие бы величины z2 и z4 мы ни выбирали.

Значение к', при котором произведение k'x инвариантно относи­

тельно любых решений х, задается уравнением k'H = k '. В силу того, что матрица Я обладает свойством идемпотентности (Я2 = Я), можно записать решение уравнения к'Я = к' в следующей форме: k' — w'H, причем элементы вектора w' в этом решении могут принимать любые значения. Следовательно, положив к' — до'Я, мы получим равенство

k'x — w'Hx — w'HGy + w'H (Я — I) z = w’HGy —

= w'GAGy,

которое будет оставаться справедливым при любых значениях вектора w’. Поскольку Gy — решение уравнений Ах = у, то AGy = у. Сле­ довательно,

k'x = w'Gy.

Таким образом, при любых значениях вектора w и при к' = w'H произведение k'x = w'Gy будет представлять одну и ту же величину

независимо от выбора решений х. Так как г (Я) = г, уравнение k' — w'H позволяет получить систему линейно-независимых векторов k \ обладающих этим свойством. Выберем, например, два вектора,

скажем, к[ и k'2, в таком случае произведения к[х и k'2x различаются по величине, однако каждое из этих произведений будет сохранять

Подставим в формулу также значение вектора Gy, указанное в соот­ ношении (17):

198

Таким образом, мы видим, что при любых значениях wx и w3 вектор k', имеющий вид

k’ — \w3 2Wi w3 (6щ — Зш3)]

будет удовлетворять условию k' ~ k'H. Следовательно, произведе­

ние k'x инвариантно по отношению к различным решениям х. Какие бы значения ни принимали эти решения, произведение будет равно

чае из равенства (28) следует, что k'x, как и предполагалось ранее, равно 6.

г) ДРУГОЙ СПОСОБ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ

Изложенный метод вычисления матрицы G требовал предвари­ тельного дописывания в матрице А строк или столбцов, состоящих из нулей. Можно предложить также способ, предполагающий не­ сколько иное определение А- ; тогда отпадает необходимость в по­ вторном определении матриц А и G. Такая вычислительная процедура основана на том, что прямоугольные матрицы можно столь же легко привести к канонической форме с помощью эквивалентного преобра­ зования, как и квадратные матрицы. Однако в этом случае матрицы Р и Q имеют различный порядок. Поясним с помощью примера по­ рядок вычисления матрицы G.

Все последующие действия почти полностью совпадают с рассмотрен­ ной вычислительной процедурой.

199