книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

описываемая в этом разделе техника вычислений основана на резуль­ татах недавних исследований в области матричной алгебры.

На протяжении всей главы мы будем рассматривать только линей­ ные уравнения (например, типа За + b —2с =17). Поэтому под «урав­ нениями» мы всегда будем подразумевать линейные уравнения. Неиз­ вестные скалярные величины в Ах = у, т. е. элементы вектора х, будут обозначаться буквами а, Ь, с, что же касается буквы х с различными индексами, то ею мы будем обозначать отдельные векторы. Поэтому обозначения теперь будут иметь следующий вид:

х\ = \аг Ьг cj и Х2 = [а2 Ь2Г с2].

1. УРАВНЕНИЯ, ИМЕЮЩИЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ

Уравнение Ах = у может иметь одно решение, множество решений или вообще не иметь решения. Это зависит от того, каков вид матрицы А и вектора у. Например, уравнения

а + b = 7

и

2а + b = 10

имеют одно решение: a = 3 и J = 4, а уравнения

а + b = 5

будут иметь бесконечное множество решений, в каждом из которых b — = 5 — а. Можно утверждать, что уравнение 2а + 2Ь = 10 совершенно эквивалентно уравнению а + b = 5, и поэтому в действительности нам дано только одно уравнение, а не два. Рассмотрим еще один при­ мер системы уравнений:

Подставив в левые части уравнений (1) следующие величины: а = 4, Ь = 2 и с = 0, мы сможем убедиться в том, что они удовлетворяют ус­ ловиям (1). Числа а = 6, Ъ = \ и с = — 1 также будут удовлетворять нашим уравнениям, это же относится и к значениям а = 1,2; b — 3,4 и с = 1,4. Следовательно, все три набора чисел могут служить реше­ нием уравнений (1); можно привести и многие другие решения. Таким образом, соотношения (1) представляют собой еще один пример урав­ нений, имеющих не одно, а множество решений. Этот факт может уди­ вить, если сталкиваешься с ним впервые; и все же такая ситуация весьма часто встречается при применении математических методов в

170

предпринимательской деятельности и при решении задач, относящих­ ся к области экономики.

Прежде чем продолжить изложение, отметим характерную особен­ ность уравнений (1): если первое уравнение умножить на два и вычесть из произведения второе уравнение, в результате мы получим третье. Таким образом, третье уравнение представляет собой линейную ком­ бинацию двух других; поэтому нам даны только два независимых урав­ нения с тремя неизвестными.

2. СОВМЕСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

а) ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Рассмотрим два уравнения:

а + b = 5

и

2а + 26 = 1 1 .

Если одно из них верно, то другое не может быть верным, второе урав­ нение несовместно с первым. Такую систему линейных уравнений называют несовместной. Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Умножив первое из этих уравнений на два, вычтем из него второе:

2(2а + ЗЬ +с) — (а + b + с) = 2 (14) — 6,

т. е.

За + ЪЬ + с = 22.

Полученное уравнение прямо вытекает из первых двух уравнений сис­ темы (2), однако если оно верно, тогда неверно третье из уравнений системы (2). Из-за этого систему уравнений (2) называют несовместной. В приведенном примере отмечалось, что, умножив первое из уравнений (1) на два и вычтя из произведения второе, мы можем получить третье уравнение. Записав уравнения в матричной форме

мы можем видеть, что тем же самым соотношениям в равной мере удов­ летворяют как строки матрицы А, так и соответствующие элементы вектора у. Последняя строка матрицы А (последний элемент векто­

171

ра у) равна удвоенной первой строке (удвоенному первому элементу) за вычетом второй строки (второго элемента). Уравнения такого ро­ да называют совместными, т. е. по определению, линейные уравне­ ния Ах = у совместны в тех случаях, когда любое линейное соотно­ шение, которому удовлетворяют строки матрицы А, справедливо также для соответствующих элементов вектора у.

Определение совместности не требует того, чтобы между строками матрицы А существовала линейная зависимость, однако, если она все же существует, то для соответствующих элементов вектора у должны быть справедливы те же соотношения. Если А представляет собой квад­ ратную матрицу полного ранга, уравнения Ах = у всегда совместны, поскольку между строками матрицы А не существует линейной зави­ симости и, следовательно, отсутствуют соотношения, которым должны удовлетворять элементы вектора у. Однако всякий раз, когда ранг А оказывается меньше числа ее строк (независимо от того, является ли А квадратной или прямоугольной матрицей), мы должны задаваться вопросом о том, будут ли элементы вектора у удовлетворять линейным соотношениям, существующим между строками матрицы А. Если они действительно удовлетворяют этим соотношениям, тогда уравнения Ах = у совместны; в противном случае эти уравнения несовместны.

б) СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ

Ответ на вопрос о совместности уравнений чрезвычайно важен: дело в том, что совместные уравнения могут быть решены, а несовместные — нет. Но прежде чем изложить два полезных способа проверки, яв­ ляются ли уравнения совместными, мы покажем, что совместные урав­ нения всегда имеют по крайней мере одно решение.

Вернемся к системе уравнений

Ар X Q x q X 1 ~ У Р Х Ь

где ранг А равен г. Тогда г из р строк матрицы А линейно-независимы. Предположим, мы записали наши уравнения в таком порядке, что линейно-независимы первые г строк А; они образуют матрицу, кото­ рую мы назовем А*. Оставшиеся строки матрицы А представляют собой линейные комбинации из первых независимых строк, входящих в мат­ рицу А*, поэтому оставшиеся строки можно записать в форме СА *, где С — матрица коэффициентов соответствующих линейных комбинаций.

Следовательно, в расчлененной форме матрица А может быть выражена

- А*

как А СА* . Предположим, что уравнения совместны, в таком

случае вектор у, элементами которого служат правые части уравнении, можно расчленить аналогичным образом, представив его в виде у =

Q/iУ1_ , причем вектор ух содержит г элементов, а вектор

172

Поскольку любое решение (4) удовлетворяет также соотношению (5), задача сводится к решению системы (4).

Матрица Л* в (4) содержит г линейно-независимых строк. Столбцы матрицы Л* и соответствующие элементы вектора х переставим таким образом, чтобы первые г столбцов Л* также были линейно-независимы. Тогда Л* можно расчленить следующим образом: А* = [А1 Л2], где Аг — невырожденная квадратная матрица порядка г и Л2 — матрица, размеры которой — rX(q—г). В соответствии с расчленением

любом векторе х2 мы будем пользоваться формулой (8) для определе­ ния Xi, то вектор

в этих рассуждениях принималось существенное предположение от­ носительно (3) о том, что уравнения Ах = у совместны. Таким обра­ зом, мы показали, что совместные уравнения имеют решение; в прило­ жении к данной главе будет доказано обратное утверждение: любые уравнения, имеющие решение, совместны.

Пример. Для того чтобы решить систему уравнений (1), опираясь на формулу (9), воспользуемся вначале матричной формой, приведен-

173

ной в разделе а параграфа 2. Расчленив матрицу в соответствии с (3), мы получим

поэтому уравнение (6) будет выглядеть так:

с

Применяя формулу (8), мы приходим к выводу:

или после преобразований:

В этом примере х2 равен просто скалярной величине с. Подставляя зна­ чения (10) в формулу (9), мы получим следующее решение1:

Отсюда видно, что уравнения (1) имеют множество решений, по­ скольку при любом значении с выражение (11) будет удовлетворять

становки. В результате мы приходим к следующему выводу:

1Ч е р е з х мы б удем обозн ач ать р еш ен и е , тем самым отли ч ая его от х — вектора

н еизвестн ы х величин.

174

независимо от того, какие значения принимает с. Следовательно, сис­ тема уравнений (1) имеет бесчисленное множество решений.

При выводе (9) мы принимали предположение о том, что г меньше любого из двух чисел р и q. Заметим, однако, что эти результаты будут справедливы и в том случае, когда г равно любому из этих чисел или обоим сразу*. Тогда одна из подматриц расчлененной матрицы будет просто отсутствовать, и либо подматрица СА*, либо подматрица Л 2, либо обе они не будут содержать ни одного элемента. Если подматрицы

Л2 не существует, то не существует и вектора х2.

Вобщем случае совместная система уравнений Ах = у будет иметь

ху может быть вычислен на основе соотношений (8) при любом х2. Та­ ким образом, формула (9) дает не только метод решения уравнений Ах — у\ на ней основан также вывод о том, что может существовать множество решений. В зависимости от того, существует или не суще­ ствует х 2, уравнения могут иметь бесконечное множество решений или единственное решение. Если ранг матрицы г равен q — числу не­ известных, вектора х2 не существует. Матрица А* совпадает с А ъ и ре­ шение (9) принимает вид х = А ~ ху, причем это решение оказывается единственным. Если к тому же р — г = q, матрицы Л, А* и Аг совпа­ дают между собой, и решение остается тем же: х = А~1у. Если г <lq, тогда х2 существует, а уравнение имеет бесконечное множество реше­ ний.

Примеры. В уравнении

единственное решение имеет следующий вид:

Ранг матрицы в нашем примере равен числу неизвестных (г = q= 2) и уравнение имеет только одно решение. Что же касается уравнения

*В последнем случае очевидно, что p—q, и речь идет о квадратной матрице.—

Прим, перев.

175

Для применения этого способа проверки требуется определить ранг матриц [А у\ и А. Если ранги этих матриц равны между собой, урав­ нения совместны; в противном случае они несовместны.

Пример. Пусть даны уравнения Ах — у, в которых

Тогда, прибегнув к элементарным операциям со строками (см. параграф 7 главы VI), можно определить ранг матрицы А:

С помощью тех же элементарных операций эту матрицу можно приве­ сти к следующему виду:

Таким образом, г [А у] = 2 = г (А), из чего можно заключить: урав­ нения Ах = у совместны.

В последующих параграфах этой главы будут изложены методы решения уравнений, предполагающие приведение матрицы Л к диаго­ нальному виду, поэтому мы приведем сейчас еще один способ проверки совместности уравнений, который может быть применен в сочетании с этими методами: допустим, что А представляет собой матрицу ранга г, в ней содержится р строк; через PAQ обозначим диагональную форму А, в таком случае уравнения Ах = у будут совместны тогда

итолько тогда, когда последние р—г элементов Ру равны нулю1.

1По предположению, PAQ представляет собой диагональную форму мат­ рицы А, тогда РА можно записать следующим образом: РА = J“y4rJ , где Аг — мат­

рица, содержащая г линейно-независимых строк, а Р — произведение элемен­ тарных операторов соответствующего вида. Поэтому, если уравнения А $ = у совместны, то совместны уравнения РАх = Ру, а следовательно, совместной окажется и система j"^4глгj = Ру. Из этого непосредственно вытекает, что послед­

— Ру совместны, а так как Я - 1 существует, то совместными окажутся и уравне­ ния Р ~ г j'Hj.j х = у, из этого следует, что Ах = у представляет собой систему

совместных уравнений.

177

С помощью такого подхода мы можем установить совместность тех или иных уравнений. Приведя матрицу А к диагональному виду PAQ, определяем г, т. е. ранг А; он равен числу ненулевых элементов в мат­ рице PAQ. Затем, зная р н г, мы можем исследовать последние р ~ г элементов Ру: если они равны нулю, то наши уравнения совместны, если, однако, хотя бы один из этих элементов отличен от нуля, уравне­ ния несовместны.

Пример. Выпишем диагональную форму матрицы PAQ уравнения

Ранг матрицы А равен 2, поэтому для того, чтобы уравнения оказались совместными, последние р — г = 3—2 = 1 элементы Ру должны рав­ няться нулю. Поскольку же Ру имеет следующий вид:

можно утверждать, что уравнения Ах = у несовместны,

г) выводы

Мы показали, как решать совместные уравнения Ах = у с помощью формул (8) и (9). Требуется выбрать г линейно-независимых строк мат­ рицы А и представить их в виде [Лх Л 2], где Лх — квадратная невыро­ жденная матрица г-го порядка. В таком случае будет существовать и Л7 1, следовательно, могут быть использованы выражения (8) и (9). Такой путь решения предполагает, что мы можем выписать соответст­ вующую матрицу Лх. Для того чтобы отыскать Лх, необходимо, во-пер­ вых, найти г, т. е. ранг матрицы Л, во-вторых, выделить г линейно-не­ зависимых строк, а среди элементов этих строк — г линейно-незави­ симых столбцов, и, наконец, в-третьих, переставить (если это необхо­ димо) строки и столбцы матрицы Л и элементы векторов х и у таким образом, чтобы придать матрице удобную для расчленения форму.

Нетрудно проделать все это, если система состоит из небольшого числа уравнений; однако в тех случаях, когда число уравнений велико, любая из перечисленных операций может оказаться чрезвычайно тру­ доемкой. К счастью, существует метод, который позволяет избежать всех этих затруднений, он не требует ни вычисления ранга Л, ни

178

отыскания невырожденной подматрицы. Кроме того, этот метод может применяться и тогда, когда число уравнений оказывается больше или меньше числа неизвестных (матрица Л прямоугольна), в этом случае он будет лишь незначительно отличаться от способа, применяемого при равенстве числа уравнений числу неизвестных (матрица А квадратна). Такой метод предполагает использование матриц, называемых обоб­ щенными обратными матрицами.

3. ОБОБЩЕННЫЕ ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

а) ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Пенроуз [6] показал, что для любой матрицы А существует некая единственная матрица К, удовлетворяющая следующим четырем условиям:

Такую матрицу К Пенроуз назвал обобщенной обратной к А матрицей; он показал, что обобщенная обратная матрица всегда существует и однозначно определена при любой форме исходной матрицы А, кото­ рая может быть квадратной (вырожденной или невырожденной) или прямоугольной.

Пример. Пусть дана матрица А:

Г 1 О 2 П

1 2 О

Тогда матрица К, удовлетворяющая условиям 1—4, имеет следующий вид:

Пенроуз не только доказал существование и единственность матрицы, удовлетворяющей условиям 1—4, он показал также, как можно ею пользоваться при решении линейных уравнений1. Однако, если порядок матрицы А достаточно высок, построение обобщенной обратной матри­ цы К требует громоздких вычислений; между тем существуют различ­ ные модификации К, которые оказываются столь же полезными при

1 Этот вопрос рассматривался также в работах Мура [5] и Бьеммэра [1], об­ зор исследований в данной области содержится в работе Мэлика [4].

179