книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

(Далее мы покажем, как подсчитать Л -1.) После умножения это урав­ нение примет вид:

или

и' 4 200

Взятая для получения данного результата матрица Л ^1 была так скон­ струирована, что ее произведение о исходной матрицей равно единичной матрице, т. е.

Перепишем теперь уравнение, приняв для обозначения компонен­ тов задачи символы

В матричной алгебре матрица / служит единицей, поэтому матрица Л -1 называется обратной к Л. Определим ее теперь (см., например, урав­ нение (5)) как матрицу, которая в результате умножения справа на Л равна единичной матрице /.

Заметим, что это решение было получено из уравнения (3) без деле­ ния обеих частей выражения (3) на Л; иначе говоря, в процессе решения

100

отсутствовал этап деления на Л, поскольку в матричной алгебре деле­ ние не определяемо и не имеет смысла. Вместо этого решение было по­ лучено умножением слева обеих частей (3) на матрицу Л ~\ что дало (4). Затем, воспользовавшись определением А _1, содержащимся в (5), можно упростить уравнение (4) и получить решение (6).

Оставшиеся разделы этой главы посвящены прежде всего уточнению определения матрицы Л -1, заданной уравнением А*1А = I, и детализа­ ции процесса построения Л -1 на основе Л. Когда матрица Л -1 известна, то любая совместная система линейных уравнений, имеющая единст­ венное решение, может быть представлена в виде Ах = b и решена как х = А ^ Ь вне зависимости от того, сколь велико число уравнений. Иногда могут возникнуть затруднения вычислительного порядка, однако форма решения и процедура его получения остаются теми же самыми.

2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ, РАВНЫЕ /

Понятие обратной матрицы было введено нами при изучении реше­ ния системы линейных уравнений. Однако до сих пор мы не ответили на основной вопрос: существует ли такая матрица R, что RA = /? На этот вопрос можно получить три ответа, зависящие от характеристи­ ки Л:

дет показано, Rx определяется единственным образом для заданной матрицы Л.

нечное множество матриц R, для которых R A 2 — /; например,

то не существует матрицы R, такой, что R A 3 = /, поскольку первый элемент RA 3 всегда будет равен нулю и, таким образом, произведение матриц не может быть равным /.

Можно отметить еще следующие свойства произведения обратных матриц:

101

обладает этими двумя свойствами, а именно: она определяется единст­ венным образом для данной матрицы Л и умножение ее на Л как справа, так и слева дает единичную матрицу. Будучи аналогами свойств знако­ мых нам обратных величин в скалярной алгебре, эти свойства пригод­ ны и для характеристики обратных матриц. В соответствии с этим выве­ дем для Л матрицу, которая обладает этими свойствами. Полученная матрица будет обратной к матрице Л, и вместо того, чтобы удовлетво­

раграфе 5 главы II, это может быть только когда и Л и Л л — квадрат­ ные матрицы одного и того же порядка. Это означает, что матрица Л -1, удовлетворяющая условию (а), существует, если Л — квадратная мат­ рица. Речь здесь идет о следующем: из сказанного вытекает, что обрат­ ная матрица может существовать в том случае, если исходная матрица квадратная (обратная матрица также будет квадратной и того же по­ рядка). В противоположность этому прямоугольные матрицы не имеют обратных матриц, хотя для некоторых из них можно получить более узкий класс обратных матриц; такие матрицы рассматриваются нами при изучении случая (б) (см. приложение к данной главе).

Ранее было установлено, что обратная матрица Л *1 может су­ ществовать только тогда, когда Л — квадратная матрица; определи­ тель Л также существует только в том случае, если матрица Л квадрат­ ная. Следовательно, обратная матрица может существовать только тог­ да, когда Л имеет определитель. Теперь введем такое определение об­ ратной матрицы, которое использует этот определитель. Такой способ определения матрицы избран в связи с тем, что так легче представить процесс определения элементов обратной матрицы непосредственно из элементов самой матрицы (хотя подобный способ вычисления обратной матрицы и является трудоемким). В практических ситуациях обратную матрицу редко определяйэт таким путем. Тем не менее этот метод поз­ воляет ясно представить общую взаимосвязь между элементами обрат­ ной матрицы. Кроме того, с его помощью легко проверить только что рассмотренные свойства (а) и (б).

102

3. В Ы В О Д В Ы Р А Ж Е Н И Я Д Л Я О Б Р А Т Н О Й М А Т Р И Ц Ы

Уравнение (1) главы IV показывает, как можно разложить опреде­

где | Л4jj | представляет собой минор элемента а^,'т. е. определитель, полученный из | Л | путем вычеркивания i-й строки и /-го столбца. Про­ изведение (— называют алгебраическим дополнением аи .

Оно является минором элемента atj, взятым с соответствующим зна­ ком, поэтому алгебраическое дополнение часто называют знаковым ми­

Этот результат служит двум целям. Во-первых, он очень быстро приводит к получению обратной матрицы. Так, умножая обе части вы-

103

ражения (9) на скаляр 1/| А | (обратную величину определителя А), мы получим единичную матрицу:

Таким образом, на основе предварительного определения Л -1, а имен­ но А - 1А = /, получим

обратна к матрице А, заданной выражением (7). Она получена путем замены каждого элемента А на соответствующее алгебраическое до­ полнение, транспонированием полученной матрицы и умножением на обратную величину определителя. Таким образом, мы получим фор­ мальное определение матрицы, обратной к квадратной матрице (если обратная матрица существует): матрица алгебраических дополнений, транспонированная и умноженная на обратную величину определителя.

Соотношение (9) содержит общий результат, согласно которому оп­ ределитель | А | представляет собой сумму произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

П

аи цк}^-0 при i^=h

/= 1

и

104

Общую технику определения Л -1 можно более четко показать на матрицах размером 3x3. Возьмем матрицу

Для нахождения обратной к ней матрицы необходимы алгебраические дополнения всех элементов этой матрицы. Начнем с первого столбца. Алгебраические дополнения его элементов составят соответственно

Аналогично для второго столбца алгебраические дополнения элементов равны:

Рассмотрим теперь матрицу алгебраических дополнений

~2 ■2_ —3

полученную путем замены в матрице А каждого элемента на его алгеб­ раическое дополнение, как это было сделано в (8); таким образом, столбцы новой матрицы состоят из величин, полученных в результате операций (14), (15) и (16). Транспонируем новую матрицу и умножим

1=1

иметь две одинаковые строки и, следовательно, будет равно нулю. Анало­ гичным образом можно показать, что второе выражение в (12) представляет собой детерминант, содержащий два одинаковых столбца и поэтому также рав­ ный нулю. Таким образом, соотношения (12) справедливы, что и требовалось доказать.

105

ее на скаляр, равный обратной величине определителя. Как и в (10), результирующая матрица представляет собой матрицу, обратную к А:

гональная матрица выражения (18) содержит в качестве ненулевых элементов определитель | А | (в данном примере | А | равен —3). Зна­ чения 0 и —3 были получены из (11) и (12). Например, суммируя про­

Умножая алгебраические дополнения (14) на элементы второго и треть­ его столбцов Л и суммируя результаты, получим в соответствии с (12)

Полученные суммы произведений (19) и (20) являются элементами пер­ вой строки матрицы-произведения (18). Взяв алгебраические дополне­ ния элементов других столбцов Л, как показано в (15) и (16), получим сходные результаты для второй и третьей строк матрицы-произведения

(18).

Как показано в (18), матрица Л -1 (см. (17)) такова, что А - 1А = /. До сих пор мы исследовали лишь одно свойство матрицы Л-1. Не было показано, ни что ЛЛ-1 также равно /, ни что Л -1 — единственная матрица, для которой А~1А = АА~1= /. Мы уже упоминали эти свой­ ства (свойства (а) и (б)). Далее мы немного остановимся на них, однако сейчас пересмотрим метод получения Л -1.

Начиная изложение, мы рассматривали матрицу Л:

106

затем сформировали новую матрицу, заменив каждый элемент А его алгебраическим дополнением:

После транспонирования она равна

Умножив на нее скаляр ^ , получили матрицу, обратную к А:

. Умножение А слева на эту матрицу дает единичную матрицу, посколь­ ку в матричном произведении каждый диагональный элемент равен сумме произведений элементов столбца А на их алгебраические допол­ нения и, следовательно, равен | А | (см. соотношение (11)). Умножение

на скалярную величину т-^-. делает результат равным единице. Кроме

того, недиагональные элементы матричного произведения представляют собой суммы произведений элементов столбцов А на алгебраические дополнения элементов других столбцов, приводимые в определителе | Л |, и поэтому равны нулю (см. соотношение (12)). Отсюда Л _1Л == / (произведение А А ~1 будет рассмотрено далее).

Матрица (21), а именно матрица Л, в которой элементы замещены их алгебраическими дополнениями, а затем произведено транспонирова­ ние, называется присоединенной или иногда взаимной с Л матрицей. Таким образом, обратная матрица Л^1 может быть представлена как

Таким образом, обратная к Л матрица равна:

107

4.УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Впредыдущем параграфе матрица Л -1, удовлетворяющая условию

А"1А = /, была получена путем умножения присоединенной к А мат­

двум условиям:

1) Л-1 может существовать только тогда, когда Л — квадратная матрица (см. параграф 2 главы V);

2) Л -1 существует только в том случае, если определитель | Л | не равен нулю. (Если | Л | равен нулю, то скалярный множитель | Л | в вы­ ражении для Л -1 не определен и Л -1 не существует. Следовательно, для того чтобы существовала обратная матрица Л -1, определитель | Л | не должен быть равен нулю.)

Квадратную матрицу называют вырожденной, когда ее определи­ тель равен нулю, и невырожденной, когда ее определитель отличен от нуля. Вырожденность, таким образом, может быть присуща только квадратной матрице, но не может относиться к прямоугольной; кроме того, только невырожденные матрицы имеют обратные к ним матрицы. Так же как для существования произведения матриц необходимо их соответствие, так и для существования обратной матрицы необходимое условие —- ее невырожденность. В обоих случаях необходимое условие не всегда записывается, однако оно всегда должно быть удовлетворено.

5. СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Если Л есть квадратная невырожденная матрица, то обратная к ней матрица Л -1 обладает следующими свойствами.

Свойства

1. Обратная матрица перестановочна с Л; оба произведения дают единичную матрицу Л _1Л = А А - 1 = I.

2. Обратная к Л матрица является единственной. 5Л = AS = I тогда и только тогда, когда S = Л -1.

3.Определитель обратной к Л матрицы равен обратной величине определителя матрицы Л: ( Л_1| = j-^-j.

4.Обратная матрица является невырожденной.

5. Обратной матрицей к Л 1 будет матрица Л: (Л 'Щ 1 = Л.

6. Обратная к транспонированной матрица равна транспонирован­ ной обратной матрице:

(Л')-1 = (Л-1)'.

7. Если матрица Л симметрическая, то такой же будет обратная матрица: Л' = Л, (Л-1)' = Л^1.

8. Матрица, обратная к произведению матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке при условии, что обрат­ ные матрицы существуют. Если существуют Л ”1 и В ' 1, то

(.АВ)~1 = В-1А-1.

108

о

9.Если А такова, что обратная к ней матрица равна транспони­

Это свойство объясняется тем, что элементы матричного произведения А - 1А представляют собой суммы произведений элементов столбцов А на алгебраические дополнения элементов тех же самых и других столб­

(АВ)-1 - В 1А - 1,

поэтому правило инверсии применяется не только при транспониро­ вании произведений, но и при их обращении.

109

I