книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

ипроизведение CD.

ипроизведение EFG.

10.Допустим, что случайные величины хх, х2 и х3 имеют следующие характеристики:

1)средние соответственно равны 5, 10 и 8 ;

2)дисперсии равны 6 , 14 и 1;

зования перейти от переменных х к переменным у.

в) С помощью полученной матрицы Т напишите вектор средних и ковариа­ ционную матрицу переменных у.

г) Получите корреляционную матрицу переменных х, используя линейное преобразование, с помощью которого можно нормализовать значения х. (При ответе на этот вопрос воспользуйтесь материалом, помещенным в приложении

кэтой главе.)

11.Дано

(А В)' = В’А'.

Докажите, что

(АВС)' = С'В'А'.

12. Гасс [5] приводит следующий пример. Фирма состоит из двух отделений. Первое выпускает продукцию хх, второе — ух и у 2. Функция дохода фирмы имеет следующий вид:

л = (4 — хх) хх + (3 — 0,5ух) ух + (0,5*! + 3 — 2у2) у 2.

а) Пусть

г’ = [хх ух у 2].

Найдите такие вектор-строку р' и симметрическую матрицу А, для которых

л = р'г — z'Az.

б) Раскрыв квадратичную форму и дополнив это выражение до полного квадрата, покажите, что матрица А является положительно определенной.

13. Допустим, что элементы векторов w, х, у и г представляют собой соот­ ветственно различные виды сырья, деталей, узлов и готовых изделий. Пусть матрицы А, В и С описывают технологический спрос, предъявляемый

7 0

т. е. потребность в деталях (х) для сборки узлов (у) составит

х = By.

а) Напишите уравнение, характеризующее w как функцию г; иначе говоря, определите потребности в сырье в виде функций от количества готовой продук­ ции;

бумаг эффективен, если никакой другой набор не может обеспечить больший ожидаемый доход при той же либо меньшей дисперсии, или тот же либо больший ожидаемый доход при меньшей дисперсии. С помощью результатов, полученных при выполнении упражнения 15, определите, какие из четырех альтернативных наборов не являются эффективными.

17. Шарп [7] изучал проблему выбора ценных бумаг, исходя из того, что доход от различного вида бумаг связан с индексом рыночной конъюнктуры, а не из того, что ковариации между доходами по всем парам ценных бумаг известны, как это полагал Марковиц (см. упражнения 14— 16). Для того чтобы сохранить

71

общие обозначения, принятые в этой книге, мы при описании модели Шарпа выбрали обозначения, которые несколько отличаются от обозначений Шарпа. Между этими обозначениями существуют следующие соотношения:

Это вектор взаимно независимых случайных переменных, имеющих средние, равные нулю, и диагональную ковариационную матрицу Q, порядок которой равен га + 1'.

<7п+1_

В таком случае можно показать, что

Е (р) = х а и Var (р) = x'Qx.

Приняв эти предположения, рассмотрим следующий случай: имеются три вида ценных бумаг (га = 3) со следующими характеристиками:

72

IV

ГЛАВА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Рассмотрим теперь операцию, применимую к квадратным матрицам, которая дает возможность получить скалярную величину, называемую определителем (детерминантом) матрицы. Знакомство с ней необходимо при обсуждении в главе V операции, заменяющей деление, и окажется полезным в последующих главах.

Литература, посвященная определителям, весьма обширна; в на­ стоящей книге приводится относительно сжатое изложение проблемы, оно затрагивает тол ько элементарные методы расчета определителей.

1. ВВЕДЕНИЕ

Определитель это скаляр, который представляет собой сумму ряда произведений элементов матрицы, причем каждое произведение умно­ жается на + 1 или —1 в соответствии с ясно сформулированным прави­ лом. Далее описывается процедура получения этих произведений, а фор­ мальное, строгое определение приводится в приложении к главе.

Определители можно построить только для квадратных матриц, так как определителей для неквадратных матриц не существует. Опре­ делитель квадратной матрицы порядка п называется определителем п-го порядка и обычно обозначается как | А |, где А —■квадратная мат­ рица. В некоторых работах приняты обозначения || А |], [Л] или det (Л), однако наиболее распространенное обозначение — | А |, оно и приме­ няется на протяжении всей книги. Определение величины | А | путем суммирования соответствующих произведений элементов А (с коэффи­ циентами + 1 и —1 , включаемыми в произведения) называется по-раз­ ному: вычисление, разложение или раскрытие определителя. Прежде всего проиллюстрируем процедуру вычисления определителя с помощью ряда числовых примеров.

Определитель матрицы размером 1 X 1 равен значению ее единст­ венного элемента. Значение определителя второго порядка равно про­ изведению диагональных элементов минус произведение недиагональ­ ных элементов. Например, определитель матрицы

записанный как

\А

7 3

4 6 ’

7 4

вычисляется таким путем:

| А | = 7-6 — 3-4 = 30.

Этот пример иллюстрирует общий порядок разложения определителя второго порядка: произведение диагональных членов, умноженное на -|-1 плюс произведение недиагональных членов, умноженное на —1 . Отсюда в общем виде можно записать:

Слово «определитель» (или символ «| А |») для краткости часто употребляется для обозначения определителя в развернутой записи, а также скалярной величины, к которой он сводится. Таким образом, если

9 3'

А

7 2 ’

то символ | А | может относиться к развернутой записи

9 3

7 2

и к вычисленному значению

\А I = 9-2 — 7-3 = —3.

Двоякое употребление термина общепринято, оно редко приводит к недоразумению. Этот термин применяется вне зависимости от порядка определителя.

Определитель третьего порядка можно представить в виде линейной функции трех определителей второго порядка.В качестве коэффициен­ тов функции берутся элементы строки (или столбца) основного опреде­ лителя; каждое произведение умножается на +1 или —1. Например, разложение

2 3

5 6

8 10

по элементам первой строки (1 , 2 и 3) дает

= 1 (50 —48) —2 (40 —42) + 3 (32 —35) = —3.

Определитель вычисляется путем суммирования произведений (с со­ ответствующими знаками) каждого элемента выбранной строки (в дан­ ном случае первой) с определителем, полученным из \А \ путем вычер-

75

столбца, а элемент 2 умножается (помимо коэффициента —1) на опреде­ литель, полученный из | А ) путем удаления строки и столбца, содер­ жащих этот элемент, т. е. первой строки и второго столбца. При этом

элемента аХ2 и его минора умножается на (—1)1+2, т. е. на —1 .

Минор элемента квадратной матрицы порядка п обязательно явля­ ется определителем порядка п — 1. Однако не все миноры имеют по­ рядок п — 1. При устранении из квадратной матрицы n-го порядка г строк и г столбцов остается подматрица порядка п — г. Определитель этой подматрицы есть минор порядка п — г.

2. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МИНОРЫ

Обозначим минор элемента ахх как |Л4и [, где М хх — подматрица матрицы Л, полученная вычеркиванием первой строки и первого столб­

Такой метод разложения определителя известен как разложение по эле­ ментам строки (или столбца) или как разложение на миноры. Он был продемонстрирован при использовании элементов первой строки, одна­ ко его также можно применить, беря любую строку (или столбец). На­ пример, разложение только что рассмотренного определителя | Л | при использовании элементов второй строки дает

t

Ответ такой же, что и ранее; наконец, эту же величину получаем, взяв первый столбец:

— 1 (2) — 4 ( — 4 ) Ч - 7 ( — 3) - - 3 .

Миноры в'данном разложении получают точно таким же путем. Напри­ мер, минор элемента 4 равен | А | без второй строки и первого столбца, а поскольку 4 есть элемент я21, то его произведение с минором умножает­ ся на (—1)2+1 = —1. Таким же путем получены и остальные члены разложения.

Следующий пример иллюстрирует разложение определителя третье­ го порядка в общем случае. Пусть определитель |Л| имеет вид:

Разложение по элементам первой строки дает

Читатель должен удовлетвориться утверждением о том, что разложение по элементам любой другой строки или столбца приводит к тому же самому результату.

Значение определителя остается одним и тем же вне зависимости от того, по какой строке или столбцу ведется разложение. Заметим, что коль скоро строка или столбец выбраны и определен знак для про­ изведения первого ее элемента с минором, знаки следующих произве­ дений изменяются с плюса на минус и с минуса на плюс.

Разложение этим методом определителя я-го порядка представляет собой обобщение только что продемонстрированного разложения оп­ ределителя третьего порядка. Так, определитель матрицы А = {atj} размером я X я получают следующим образом: берут элементы любой одной строки (столбца), умножают каждый элемент ац на соответст­ вующий минор |M i7|, получаемый вычеркиванием строки и столбца,

каждый минор | M tj | разлагается, при этом процедура та же.

7 7

Пример. Разложение по элементам первой строки определителя

дает

\А I = 1 (-1 )21М п ! + 2(—I)3 1Mla I + 3 ( - 1 )41М 131+ 0 ( - 1 )51М и

Необходимо найти следующие миноры:

Следовательно,

\А | = 1 (1)0 + 2 (—1)9 + 3 (1)36 + 0 (— 1) |AfM| = 90.

Разложение, аналогичное данному, по элементам другой строки или столбца дает тот же самый результат. Заметим, что в этом случае | М и | не определяется, поскольку аи равно нулю. Разумно выбирая строку или столбец, по которой будет разложен определитель, можно свести к минимуму затраты сил на арифметические операции. Методы, приво­ дящие к дальнейшему сокращению вычислительной работы, рассматри­ ваются в следующем параграфе. В общем при разложении определите­ ля по элементам строки можно написать

78

Таким образом, как показано в предыдущем примере, определитель четвертого порядка имеет четыре произведения, каждое из которых со­ держит минор третьего порядка, а каждый из этих миноров есть сумма трех произведений, содержащих определители второго порядка. Сле­ довательно, определитель четвертого порядка в итоге содержит 4 X 3 X X 2 = 24 произведения его элементов, а каждое произведение содер­ жит четыре элемента. Это приводит нас к общему заключению о том, что определитель квадратной матрицы порядка п есть сумма п\ произве­ дений с соответствующими знаками. Такой определитель называется определителем n-го порядка. Можно показать, применяя метод, при­ веденный в работе Эйткена [1], что каждое произведение включает п элементов матрицы, содержит только по одному элементу из каждого столбца и строки и встречается не более одного раза.

Рассмотренный метод вычисления требует выполнения трудоемких расчетов для определителя выше третьего порядка. К счастью, сущест­ вуют более простые методы. В связи с тем, что рассмотренный метод представляет собой основу для упрощенных подходов, он и был деталь­ но освещен здесь. Кроме того, он полезен при изучении некоторых дру­ гих свойств определителей.

3. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

а) ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРАНСПОНИРОВАННОЙ МАТРИЦЫ

Как будет показано в приложении, определитель транспонирован­ ной матрицы равен определителю исходной матрицы: | А' | = \А\.

Пример.

Таким образом, операция транспонирования матрицы не влияет на величину результирующего определителя; иными словами, опреде­ литель не изменяется, если все его строки будут заменены столбцами. В связи с этим три свойства, относящиеся к строкам, которые сейчас будут рассмотрены, справедливы также и для столбцов, однако для простоты они представлены лишь для строк.

6) ПЕРЕСТАНОВКА ДВУХ СТРОК

Взаимная перемена мест двух строк (соседних или любых других) определителя изменяет его знак. Доказательство приведено в прило­ жении.

79