книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

смотрены причины, в силу которых свойства алгебраических операций

с делением будет введено обращение матриц. А до тех пор следует пре­ дупредить читателя, что операция умножения в матричной алгебре не всегда приводит к тем же результатам, что и в обычной алгебре.

6.ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ

Вэтом параграфе содержится формальный анализ следующего вопроса: насколько применимы к операциям сложения и умножения матриц ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный законы алгебры?

а) Сложение матриц ассоциативно -в том случае, если матрицы согласованы для сложения. Известно, что если матрицы Л, В и С одного и того же порядка, тогда

{А + В) + С = {аи + bi}} + {Cij} =

= {агj + bi} + Cjj} = А + В -f- С.

Точно таким же образом можно показать, что

(ао + Ьи + си } = {аи } + {Ьи + си } =

А + (В + С).

Следовательно, на сложение таких матриц распространяется ассоциа­ тивный закон сложения, требующий, чтобы

(А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С.

б) Операция умножения матриц также удовлетворяет требованиям ассоциативного закона, если только матрицы согласованы для умно­ жения. Если Л представляет собой матрицу размером рХд, В —матри­ цу размером q X г, а С — матрицу размером г X s, то

(ЛВ)С - j х ( ьлV )„<:„„} = [ з щД,Ь,„С„ } =

- J i a o ( i 6л ам )}-/Н 8 С ),

тем самым подтверждается справедливость ассоциативного закона умножения, в соответствии с которым

{АВ) С = Л (ВС) = АВС.

в) Операции с матрицами удовлетворяют также требованиям ди­ стрибутивного закона, согласно которым

Л (В + С) = АВ + АС

4 0

в тех случаях, когда матрицы В и С согласованы для сложения (т. е. у них обязательно должны быть одинаковые размеры) и матрицы А я В (а следовательно, также А и С) согласованы для умножения. Предпо­ ложим, что А представляет собой матрицу размером р X q, а размер обеих матриц В и С — q X г, тогда

г) Сложение матриц коммутативно в том случае, когда матрицы согласованы для сложения. Если размер матриц А я В одинаков, тогда

А + В = {аи + Ьи } = {bti + аи } = В + А.

д) Умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, другими словами, АВ не всегда равно ВА. Мы уже видели, что, перемножая матрицы А я В, можно получить два произведения АВ я ВА, я если размеры матрицы А равны г X с, то оба произведения существуют только в том случае, когда размеры матрицы В равны с X г. Тогда про­ изведение АВ образует квадратную матрицу порядка г, а произведение ВА — квадратную матрицу порядка с. Поэтому размеры АВ могут быть равны В А в том случае, когда г — с, другими словами, когда обе мат­ рицы А и В квадратные и имеют один и тот же порядок, равный г. Тогда соответствующие произведения будут составлять

При этом указанные произведения матриц могут не иметь ни одного одинакового ij-то элемента, полученного в результате суммирования произведений соответствующих элементов исходных матриц. Поэтому, если даже существуют оба произведения АВ я ВА я оба они имеют оди­ наковый порядок, вообще говоря, они не обязательно должны быть рав­ ны между собой. ;v4 ,, ^

Из этого, понятно, отнюдь не'следует, что АВ и ВА всегда должны различаться между собой, в отдельных случаях они могут быть равны. Например,

Вместе с тем несоблюдение закона коммутативности при умножении матриц можно продемонстрировать с помощью следующего примера:

41

В двух случаях, имеющих особо важное значение, умножение мат­ риц обладает свойством коммутативности:

1) в случае умножения на нулевую матрицу: если А р представляет собой квадратную матрицу р-го порядка, а Ор — аналогичную матри­ цу, все элементы которой составляют нули, тогда

0 рА р — А р0 р — 0 Р\

2) в случае умножения на диагональную матрицу, все диагональные элементы которой равны единице; такая матрица называется тождест­ венной или в ряде случаев единичной матрицей и обычно обозначается буквой /; иногда это обозначение снабжается индексом, указывающим порядок матрицы, таким образом,

В общем случае, если порядок матрицы А р равен р, то точно так же, как нулевая матрица выполняет роль нуля, единичная матрица того же порядка служит «единицей» в матричной алгебре. Например,

матрицу соответствующего размера, дает нулевую матрицу. Поэтому,

Существует еще один случай, когда при умножении матриц спра­ ведлив коммутативный закон: случай умножения матрицы на скаляр­ ную величину, скажем, на Я:

ЯА = {Яп^} = {<%Я} — ЛЯ.

4 2

7.ВЫВОДЫ

Врезультате рассмотрения законов матричной алгебры становится понятным, насколько важно перед выполнением операции сложения, вычитания и умножения выяснить, согласованы ли матрицы для этих операций.На практике всегда следует так поступать — сначала должен исследоваться вопрос о согласованности матриц, даже в тех случаях, когда это не оговаривается особо. Упоминая произведение АВ, мы в ред­ ких случаях специально оговариваем: «АВ, если А я В согласованы для умножения», однако такая согласованность предполагается, и в каждом случае нужно суметь показать согласованность матриц, умно­ жаемых друг на друга.

Упражнения

1. Приведем данные о продажах фирмы, владеющей несколькими магази­ нами, причем в строках будем указывать суммы, вырученные на протяжении раз­ личных сезонов (весна, лето, осень, зима), а в столбцах — выручку от продажи различных видов товаров (платья, костюмы, ботинки).

П2 3 4 '

8 3 4 по магазину 3.

10 3 6

. 4 3 7.

а) Покажите, что в каждый сезон 1-й и 3-й магазины, вместе взятые, прода ли больше каждого вида товаров, чем магазин 2 .

б) Покажите, что общие продажи всех трех магазинов составили:

‘49 12 26' 24 12 32

4112 22

,1_2 1 . 12 23.

2.Данные о продукции добывающей промышленности по определенным видам минерального сырья группируются обычно также по странам, являющим­ ся основными поставщиками этого сырья. Пусть по строкам группируются дан­

43

покажите, что матрица, характеризующая средние размеры добычи, должна иметь следующий вид:

' 485 845 215' 1 065 410 190 . _ 1480 475 595_

3. Покажите, что

против природы, используются так называемые платежные матрицы; в заголов­ ках строк такой матрицы указываются возможные действия человека, а в заго­ ловках столбцов —возможные результаты этих действий (степень успеха или не­ успеха), тогда элементы матрицы будут характеризовать размеры соответствую­ щих платежей. При исследовании результатов подобных игр пользуются мини­ максным критерием возможных потерь; такие потери описываются с помощью особой матрицы, исчисляемой на основе платежной. Сначала составляется мат­ рица, в которой каждый элемент /-го столбца равен наибольшему элементу со­ ответствующего столбца платежной матрицы. Затем из этой матрицы вычитается платежная матрица, полученную разность называют матрицей возможных по­

которая содержит наименьшее из максимальных значений потерь по каждой строке. Такую стратегию называют минимаксной, так как задача состоит в том, чтобы минимизировать наибольшую сумму возможных потерь.

а) Определите матрицу возможных потерь на основе приведенной платеж­ ной матрицы.

б) Найдите минимаксную стратегию.

5.В другом разделе теории игр исследуются игры двух лиц, в этом случае

рассматривают две платежные матрицы — по одной для каждого участка игры. В заголовках-строк обеих матриц перечисляются возможные действия пер­

а) Как с помощью совместных действий обоих участников игры добиться наибольшего выигрыша, выплачиваемого первому игроку?

б) Как с помощью совместных действий обоих участников добиться наи­ большего выигрыша для второго игрока?

44

в) Допустим, что участники игры вступают в коалицию, как с помощью совместных действий можно максимизировать сумму их общего выигрыша? Как выглядит в этом случае их общая платежная матрица?

6 . Рассмотрим данные о расходах на перевозку товара, отгружаемого на тех или иных заводах в различные места назначения. Пусть размер нашей матрицы

45

покажите, что АХ = ВХ, хотя A=f=B.

11. Пусть А = {aij} при г, / = 1, 2, ... , г,

в соответствии с принятыми допущениями вероятные изменения процентных ставок заданы, например, такой матрицей вероятностей перехода:

в заголовках строк и столбцов указываются процентные ставки соответственно

5, 6 , 7%.

а) Текущий вектор вероятностей состояния для каждой из процентных

ющих соотношений:

х'а=х'2Р = х(Р2.

в) Приведенная матрица вероятностей перехода обладает специфическим свойством: сумма элементов каждой ее строки и каждого столбца равна единице. Матрицу такого вида называют двоякостохастической матрицей. Произведе­ ние, полученное путем умножения х\ справа на всевозможные матрицы такого

вида, при неограниченно возрастающем п будет стремиться к пределу — вектору

46

Д) ST = TS = Т2 и е) S2 = — (7+6Т + 9Р). 16

14. Воспользовавшись данными, приведенными в упражнении 7 главы I, допустим, что предполагаемый спрос на билеты характеризуется следующим распределением вероятностей:

Для того чтобы вычислить ожидаемый уровень издержек при каждом из воз­ можных решений, умножьте эту матрицу на вектор вероятностей. Будут ли раз­ личаться между собой результаты в зависимости от того, как мы будем умножать матрицу на вектор: справа или слева?

15. Рассматривается проект вложения капитала сроком на три года, кото­

Допустим, что проект будет принят в том случае, если совокупный доход от капи­ таловложений (в пересчете на сегодняшний доход) будет превышать требую­ щиеся затраты, составляющие 5000 долларов, причем дисконтирование ожидае­ мого дохода проводится по годовой ставке 10%. При такой ставке дисконтирова­ ния доход, который будет получен на протяжении первого года, должен быть ум­ ножен на 0,9091, на протяжении второго года — на 0,8264 и на протяжении третьего — на 0,7513. Запишите денежную выручку и дисконтирующие множи­ тели в векторной форме; перемножив их между собой, определите, чему равен дисконтированный совокупный доход от капиталовложений. Будет ли принят рассматриваемый проект?

16. а) Рассмотрим линейную производственную функцию

Qt —Ьххц +Ь2х2(,

где хи и X2t обозначают соответствующие затраты за период 7; bt и Ь2 — техно­ логические коэффициенты; qt — выпуск продукции на протяжении периода t. Допустим, что вектор-строка q' = {qt} характеризует выпуск продукции на про­

47

1.ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Впредыдущей главе мы уже видели, что произведение матрицы

Аи вектора х само является вектором. Обозначим этот вектор-произве­ дение через у. Тогда у —Ах. Из самого определения процесса умноже­ ния следует, что каждый элемент произведения есть сумма элементов вектора х, каждый из которых умножен на соответствующий элемент Л. Например,

У2 — Я21Х1 "Ь &22х2 “Ь <223X3-

Таким образом, если не все члены ап , а12 и а13 равны нулю, то элемент ух равен взвешенной сумме элементов х с весами, равными элементам первой строки матрицы А. Такая взвешенная сумма называется' ли­ нейной комбинацией элементов х\ она линейна, поскольку элементы х не имеют иной степени, кроме первой, и нет членов, содержащих более одного элемента вектора х. Следовательно, в произведении у = Ах элементы у являются линейными комбинациями х-ов; иными словами, вектор х был преобразован в вектор у с помощью умножения. Говорят, что в такой ситуации матрица А представляет собой линейное преоб­ разование х в у. Она и есть то операционное средство, с помощью ко­ торого элементы х преобразуются в элементы у.

Необходимость в линейном преобразовании одного ряда перемен­ ных в другой (или одного вектора в другой) возникает в различных обстоятельствах. В качестве иллюстрации воспользуемся задачей оп­ ределения производственных потребностей.

49