книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

миноры второго порядка в [ А' | и А имеют одну и ту же величину. По­ скольку все знаки и все элементы, которые определяют коэффициенты

где | M Pj | есть минор элемента apj определителя | А \ . Рассмотрим те­ перь перестановку р-й строки со строкой р + 1. Обозначим новую мат­ рицу В.

Элементы строки р + 1 определителя | В | есть apj, где / — 1, ..., п. Однако они входят в (р + 1)-ю строку \В\, поэтому в разложении мы должны получить знаки (—1)<р+и+/. Кроме того, можно показать, что если строка и столбец, содержащие apj, удаляются из \ В\, то тем самым

i= i

Таким образом, перестановка двух смежных строк определителя изме­ няет его знак.

Мы должны теперь рассмотреть перестановку двух несмежных строк, чьи номера, допустим, равны р и р + q. Перенос строки р на место р + q может быть достигнут путем перестановки смежных строк. То, что было строкой р + q, станет строкой p-\-q — Т, сдвиг к месту стро­ ки р может быть достигнут за q — 1 перестановок смежных строк. Об­ щее число таких перестановок составляет 2q—1 и, следовательно, опре­ делитель умножается на (—1)2<?- 1 = —1 , т. е. знак определителя из­ меняется. Таким образом, перестановка двух любых (смежных или иных) строк определителя изменяет его знак.

а) ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Как было отмечено в конце параграфа 2, определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов матрицы с соответствую­ щим знаком, причем каждое произведение содержит один и только один элемент из каждой строки и столбца матрицы. Кроме того, разложение по минорам, подобное (1) и (2), дает произведения с правильно простав­ ленными знаками тогда, когда миноры на каждом шаге последователь-

90

но получены с помощью одной и той же процедуры. Теперь мы дадим формальное определение определителя, заимствованное у Феррара [2]. Оно эквивалентно разложению на миноры, доказательство которо­ му приведено у Сирла [3].

из каждой строки и столбца Л и б) знак произведения определяется как

П

(—1)р при р = 2|П;. Напишем это произведение так, что i получат зна-

ной значок j запишем с индексом: ]\ (i= 1,2, ..., п — первые п целых чисел). Тогда tit определяется как число значений /, меньших, чем jit среди следующих за ним чисел.

Пример. При разложении

ряд чисел /ъ /2, /з, относящийся к произведению а12а23а31, будет равен:

и, следовательно, знак произведения «12^23^31 в \А \ будет

( - I f = +1 .

г) РАЗЛОЖЕНИЕ ЛАПЛАСА

При разложении определителя | А |

минор элемента ап есть | а22 а33 аи | *. Обобщение, которое легко про­ верить, заключается в том, что коэффициентом при | ап а221является + зз й441, а именно: в разложении | А | коэффициент при

* Напомним, что это сокращенная запись минора, введенная автором на с. 86. — Прим, перев.

91

есть

Аналогично коэффициент при ] ап а24 | есть | а 32 а431; коэффициент при

«и

дополнительным минором в | А \ к данному минору; он получен путем вычеркивания из определителя всех строк и столбцов, которые отно­ сятся к этому минору. Эта процедура — простое обобщение рассмот­ ренной ранее процедуры определения коэффициента при отдельном эле­ менте | А | при разложении определителя по элементам строки или столбца. В этом случае данный минор является одним элементом и его коэффициент в | А | есть | А | , в котором вычеркнуты строка и столбец, содержащие этот элемент. Для коэффициента при элементе atj в | А \ имеется множитель, определяющий его знак, который равен (—1)!'+;'. При разложении определителя множитель, определяющий знак коэф­ фициентов минора, представляет собой —1 в степени, равной сумме подписных индексов диагональных элементов выбранного минора. На­ пример, знаковый множитель коэффициента при |а 32 a43j будет равен, как только что было сказано, (—1)3+2+4+3 = -f-1. Дополнительный минор, умноженный на знаковый множитель, может рассматриваться как коэффициент при данном миноре. Кроме того, поскольку значение определителя равно сумме произведений элементов строки (или столб­ ца ) на их коэффициенты, то оно также равно сумме произведений всех миноров порядка т, которые могут быть получены из любого набора, содержащего т строк, причем каждый минор умножен на его коэффи­ циент, как это только что было определено. Это развитие метода раз­ ложения определителя по элементам строки до разложения его по ми­ норам нескольких строк впервые было открыто математиком XVIII в. Лапласом и поэтому носит его имя. Эйткеном [1] и Ферраром [2] были написаны работы, где приводятся доказательства справедливости дан­ ной процедуры; мы же здесь удовлетворимся общим изложением ме­ тода и примером, иллюстрирующим его применение. Разложение Лап­ ласа, примененное к определителю j А | порядка п, может быть осу­ ществлено следующим путем.

1. Возьмем любые т строк | А ]. Они содержат п\Цт\(п — /п)П миноров порядка т.

92

2. Выделив ряд миноров \ М\ , умножим каждый из них на допол­ нительные миноры и на знаковый множитель. Примем, что: а) дополни­ тельный минор минора | М | имеет порядок я — яг; этот минор получен вычеркиванием из j А \ т строк и столбцов, в которых стоит минор \М\, и б) знаковый множитель равен (—1)и, где р. — сумма подписных индексов диагональных элементов М; матрица А определена как А =

строки содержат десять миноров второго порядка. Однако семь из них равны нулю, поскольку они связаны со столбцами, состоящими из ну­

93

Следовательно, |Л | = —16. Разложение другим методом приводит к такому же результату.

Общепринято применять разложение Лапласа тогда, когда А может быть разбита на подматрицы, одна из которых является нулевой. При­ мер такого разложения показан в следующем разделе.

Ряд других методов нахождения определителя базируется на обоб­ щении разложения Лапласа. При этом последнее применяется не толь­ ко для разложения определителя на миноры и их дополнительные ми­ норы, но и для разложения самих этих миноров методом Лапласа. Мно­ гие из этих обобщенных методов разложения носят имена их создате­ лей, например, Коши, Вине—Коши, Якоби. Описание данных методов можно найти у Эйткена Ш и Феррара [2].

д) УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Здесь приводятся доказательства результатов (7) и (8), приведенных в параграфе 5 данной главы. Оба они основываются на разложении Лапласа, которое только что было рассмотрено.

Пусть А и В — квадратные матрицы я-го порядка. Тогда разложе­ ние Лапласа дает

где р — сумма подписных индексов диагональных элементов при усло­ вии, что D — {du }, i, j = 1,2, ..., 2я. Тогда

р — (1 + л + 1) + (2 + л + 2) + ... -f (л + n Т л) =

= 2(1 + 2 + ... + я) + л (я),

поскольку при разложении Лапласа первые я строк левой части этого выражения равны его правой части. Следовательно, доказано и (8).

9 4

У п р а ж н е н и я

—1 - 2 — 1 - А

рассмотренных в данной главе. Всюду, где возможно, используйте найденный результат для получения следующих выводов (например, матрица г есть транс­ понированная матрица б). Когда не требуется разлагать определитель на миноры (а в большинстве случаев дело обстоит именно так), объясните, с чем это связано-

96

7. В ы ч и с л и т е

8 . Объясните, почему определитель диагональной матрицы равен произ­ ведению ее диагональных элементов. Справедливо ли это утверждение для тре­ угольной матрицы? Приведите примеры.

9. Не прибегая к разложению определителей, подберите значения х, которые удовлетворяли бы следующим уравнениям:

10. Типичная транспортная задача заключается в определении схемы от­ грузки товаров с заводов-изготовителей на склады, причем каждый склад снаб­ жается более чем одним заводом. Предположим, что два завода, имеющие соот­ ветственно 10 и 25 единиц продукции, снабжают три склада, на которые следует отправить соответственно 15, 15 и 5 единиц. Обозначим через х;у число единиц продукции, отправляемой с предприятия i на склад /, тогда сумма отгружаемой

скаждого завода продукции описывается уравнениями:

+*12 + *1з = Ю;

*21 "1 *22 *23 — 25.

Кроме того, условия поставок на склады требуют, чтобы были удовлетворены следующие уравнения:

Тогда приведенные пять уравнений могут быть записаны как Ах -- у. При такой формулировке задачи:

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.A i t k е п А. С. (1948). Determinants and Matrices. Fifth Edition; Oliver and Boyd, Edinburgh.

4 Зак 425

Мы уже имели дело с такими арифметическими действиями, как сложение, вычитание и умножение; однако о делении ничего не было сказано. В матричной алгебре деления в обычном смысле этого слова не существует. Операция деления на матрицу А заменяется операцией умножения на матрицу, обратную к матрице А.

1. ВВЕДЕНИЕ

Матрица, которая в результате умножения на матрицу А, равна единичной матрице, называется обратной к А. Она обычно обозначает­ ся символом А~1, который читается как «А в степени минус единица», или «обратная к А матрица», или, наконец, как «А обратная». Проил­ люстрируем важность обратных матриц, рассмотрев решение линей­ ных уравнений.

Пример, Предположим, экономист определил, что издержки про­ изводства на выпуск 300 единиц продукции должны составить 186 долларов. Тогда затраты на единицу продукции будут равны 186 : 300 — = 0,62 доллара. При таком расчете экономист фактически решает про­ стое уравнение: 300 х = 186, где х — скаляр. Один из путей решения

заключается в умножении обеих частей уравнения на щ . Отсюда сле­ дует - g ^ -ЗООх = щ -186, т. е. * = щ = 0,62. В общем случае для

скаляров а, b их, где а и Ъ— известные величины и а не равно нулю, уравнение

Обобщение этой задачи предполагает решение не единичного урав­ нения, а нескольких уравнений, т. е. решение системы совместных (ли­ нейных) уравнений.

Пример. В экономике и хозяйственной деятельности важную роль играет предположение, что механизм рыночной конкуренции сдвигает

9 8

цену на продукт до уровня, при котором спрос и предложения стано­ вятся равными друг другу. Предположим, что кривая спроса на автомо­ били для некоторого периода времени может быть записана в виде

хх = 12 000 — 0,2х2,

где х1— цена автомобиля, а х2 — соответствующее их количество. Предположим также, что кривая предложения имеет вид:

х1 = 300 + 0,1x2-

Перепишем эти уравнения:

Xi “I- 0,2х2 — 12 000;

Теперь они могут быть решены способом подстановки:

10 (12 000 — 0,2х2) — х2 = 3 000.

Отсюда х2 = 39 000, хх = 4200. Таким образом, цена равновесия со­ ставляет 4200 долларов. При такой цене спрос равен предложению, а именно 39 000 автомобилей.

Такой метод приемлем при решении простых, как в данном случае, уравнений. Однако тогда, когда имеют дело со многими уравнениями и неизвестными (скажем, с 8 или 10 уравнениями) получить решение таким путем будет невозможно. Между тем с помощью матриц решение можно представить в виде, аналогичном выражению (1), причем такой подход применим вне зависимости от того, сколь велико число урав­ нений и неизвестных. Если представить выражение (1) в матричной форме, тогда с помощью х в нем обозначается вектор-столбец решения, от1 представляет собой то, что мы называем обратной матрицей (для обозначения обратной матрицы применяют символ Л '1) и b — векторстолбец. Уравнение первоначально записывается как Ах = Ь, затем оно решается относительно х: х = А - гЬ, где А ' 1— матрица, обратная к А. Данная форма решения применима вне зависимости от того, ре­ шаем ли мы два уравнения с двумя неизвестными или сто уравнений со ста неизвестными.

Продолжим пример. Система уравнений (2) может быть записана в матричной форме как

Умножим слева обе стороны этого уравнения на