книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

так как, если из второго столбца вычесть элементы первого столбца, умноженные на 1,5, в результате получится столбец нулей. Однако векторы иъ иг, и 3, фигурировавшие .в соотношении (6), независимы и, следовательно, образованный из них определитель не равен нулю:

0 1 0

1 0 0 — 1 .

0 0 1

Мы пришли здесь к самому важному выводу: в тех случаях, когда строки (или столбцы) квадратной матрицы зависимы, ее определитель равен нулю и обратной матрицы не существует; и напротив, если строки (или столбцы) квадратной матрицы независимы, определитель не равен нулю и обратная матрица существует.

Для того чтобы существовала линейная зависимость строк (или столбцов) матрицы, достаточно, чтобы по крайней мере одна строка (или столбец) представляла собой линейную комбинацию остальных. Иногда бывает очень трудно непосредственно проверить это, особенно

втех случаях, когда имеешь дело с матрицами большого порядка.

Ксчастью, существуют и другие способы выявления линейной зави­

симости.

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНО-НЕЗАВИСИМЫХ ВЕКТОРОВ

Попытаемся ответить на следующий вопрос: сколько независимы х векторов может содержаться в системе векторов? Следующая теорема показывает, что эта величина ограничена.

Теорема 1. Система линейно-независимых векторов порядка п не может содержать более п таких векторов1.

Следствие. Система из г векторов n-го порядка может быть ли­ нейно-независимой только в том случае, если г. <1 п.

Нулевые векторы (векторы, все элементы которых равны нулю) при этом автоматически исключаются, потому что любая система векторов оказывается зависимой, если только она содержит нулевой вектор. Допустим, например, что иг и и2 — ненулевые векторы, а и 3 — нуле­ вой вектор; тогда

О (%) + О (и2) -f- k 3u3 = О

при любых значениях k3. Поэтому, когда речь идет о линейно-неза­ висимых векторах, излишне упоминать о том, что все эти векторы нену­ левые: они должны'быть ненулевыми для того, чтобы быть линейно­ независимыми.

Заметим, что приведенная теорема носит общий характер. В ней не говорится о том, что существует некая единственная система из п независимых /г-мерных векторов, а лишь о том,'что любая система

Доказательство теоремы приведено в приложении к данной главе (см. раз­ дел а параграфа 12).

14 0

я-мерных векторов не может содержать более я векторов, если при этом предполагается, что они линейно-независимы. В действительности су­ ществует бесконечное множество таких систем, но ни одна из них не может состоять более чем из я векторов, оставаясь при этом системой независимых векторов.

висимых двумерных векторов, однако если мы включим в систему любой

гя другой двумерный вектор, например вектор ° , это сделает новую си-

о

стему векторов зависимой. Третий вектор можно будет представить в виде линейной комбинации первых двух, например,

стему; то же самое можно сказать и о системе трех трехмерных векторов. Во всех этих случаях векторы, образующие независимую систему, дол­ жны удовлетворять ранее приведенному определению. Но если три трехмерных вектора действительно независимы, тогда любой другой трехмерный вектор можно представить цак линейную комбинацию этих

Это выражение остается справедливым независимо от того, какие зна­ чения принимают а, b и с; другими словами, каждый трехмерный век­ тор может быть выражен в виде линейной комбинации независимых векторов, образующих эту систему. Вообще говоря, каждый я-мерный вектор можно представить в виде линейной комбинации из я любых я-мерных векторов, образующих независимую систему. Таким обра­ зом, максимальное число векторов, образующих независимую систе­ му, равно я, т. е. равно размеру векторов; это следует из теоремы 1 .

141

а

Пример. Вектор b можно выразить в виде линейной комбинации

где Я,х и Я2 представляют собой скалярные величины. Данную систему можно представить в следующем виде:

Поскольку же столбцы матрицы представляют собой независимые векторы, ее определитель не равен нулю, и, следовательно, имеют место следующие соотношения:

4. РАНГ МАТРИЦЫ

а) НЕЗАВИСИМЫЕ СТРОКИ И СТОЛБЦЫ МАТРИЦЫ

Теперь понятно, что определитель равен нулю в тех случаях, когда любая строка (столбец) матрицы представляет собой линейную комби­ нацию других строк (столбцов). Другими словами, определитель тогда равен нулю, когда строки (или столбцы) не образуют системы незави­ симых векторов. .Отсюда следует, что в тех случаях, когда строки зави­ симы между собой, столбцы не могут образовать систему независимых векторов. Теперь следует установить (для любой матрицы) соотноше­ ние между количеством независимых строк и независимых столбцов.

Теорема 2. Число независимых строк в матрице равно числу неза­ висимых столбцов, и наоборот1.

1Доказательство теоремы приведено в приложении к данной главе (см. раз­ дел а параграфа 12).

142

ставляют собой линейные комбинации первых двух:

Таким образом, в матрице А только два столбца независимы между собой, и, следовательно, в соответствии с приведенной теоремой мат­ рица имеет лишь две независимые строки. Действительно,

А равен г, т. е. что число независимых строк (столбцов) в матрице рав­ но г. Отметим некоторые следствия, проистекающие из данного опре­ деления ранга матрицы.

1.Ранг матрицы равен нулю только тогда, когда рассматривается нулевая матрица; во всех остальных случаях ранг матрицы представля­ ет собой положительное число.

2.Ранг прямоугольной матрицы Apxq не превосходит меньшее из двух чисел — р и q.

3.Ранг квадратной матрицы равен ее порядку или меньше его.

4.Если г (Л) == г, тогда матрица А содержит по крайней мере один

ненулевой минор порядка г, а все миноры более высокого порядка, чем г, равны нулю.

5. Если г (Л„) < п, то не существует A -1, a j А | равен нулю. Первые три вывода вытекают из определения ранга как числа не­

зависимых строк (столбцов) матрицы. Утверждение 4 также справедли­ во: действительно, из г (А) = г следует, что А содержит г независимых строк и г независимых столбцов; поэтому, вычеркивая все остальные строки и столбцы, мы получаем матрицу, определитель которой не равен нулю, а все миноры более высокого порядка, чем г, равны нулю, потому что по меньшей мере одну из строк минора можно представить в виде линейной комбинации г других строк. Утверждение 5 верно, по­ тому что из вывода 4 следует: при г<Сп \ А ]—0, а Л -1 не существует.

143

в) РА Н Г М А Т Р И Ц Ы И ЕЕ О Б Р А Щ Е Н И Е

Понятие ранга матрицы помогает ответить на вопрос о том, можно ли решить систему Ах = у, получая х = А~гу. Такое решение возмож­ но лишь в том случае, когда существует Л -1, а это может быть лишь при | А | Ф 0; последнее условие справедливо только тогда, когда строки (и столбцы) матрицы линейно-независимы, или, другими словами, когда ранг матрицы А равен ее порядку. Введя понятие ранга, мы тем самым несколько меняем постановку задачи: вместо того, чтобы устанавли­ вать, равен ли нулю определитель квадратной матрицы, мы сопостав­ ляем теперь ранг матрицы с ее порядком. Если ранг матрицы меньше, чем ее порядок, то определитель матрицы равен нулю, а если ранг ма­ трицы равен ее порядку, тогда определитель не равен нулю. Посколь­ ку отношение между рангом матрицы и ее порядком легче исследовать, чем вычислять величину определителя, мы будем сопоставлять ранг матрицы с ее порядком для того, чтобы установить, существует ли об­

В последнем случае матрица Л не является вырожденной. Ранг обрат­ ной матрицы также равен п\ если бы ее ранг был меньше п, тогда опре­ делитель 1Л -1 | был бы равен нулю, но это противоречит нашему предположению о том, что существует Л -1.

Таким образом, для того чтобы ответить на вопрос, существует ли та или иная обратная матрица, нужно выяснить, равен ли ранг исход­ ной квадратной матрицы ее порядку. Но мы можем столкнуться с более общим случаем, когда требуется точно определить ранг как квадратных, так и прямоугольных матриц. Если ранг матрицы равен г, из этого следует, что г ее строк линейно-независимы, однако не всегда удается легко отыскать в матрице г независимых строк. С другой стороны, на практике нетрудно в каждом случае рассчитать значение г. Для этого широко используются матрицы, получившие название элементарных операторов, более подробно они рассматриваются в параграфе 5 дан­ ной главы.

г) МАТРИЦЫ ПОЛНОГО РАНГА

Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, ее называ­ ют матрицей полного ранга. Таким образом, если о"квадратной матрице А говорят, что она полного ранга, это означает, что эта матрица не вырождена, | А \ Ф 0 и А~х существует.

Если ранг прямоугольной матрицы равен числу ее строк, ее назы­ вают матрицей полного строчного ранга, а если ранг равен числу столбцов — матрицей полного столбцового ранга.

Пример.

144

ранг этой матрицы равен трем, в таком случае перед нами матрица пол­ ного строчного ранга. Любая расчлененная матрица вида [/ К.] пред­ ставляет собой матрицу полного строчного ранга — среди I строк нет таких, которые можно представить в виде линейной комбинации, со­ ставленной из других строк, следовательно, это верно и для всей матрицы [I Ю.

5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

а) ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В матричной алгебре важную роль играют три вида матриц, полу­ чивших название элементарных операторов. Все они представляют со­ бой квадратные матрицы, построенные на основе единичной матрицы. Если любую из них умножить на какую-либо другую матрицу, то в ре­ зультате соответствующих операций со строками (или столбцами) мы получим преобразования, аналогичные тем, которые применялись при упрощении определителя (см. параграф 3 главы IV). При этом произ­ ведение матриц имеет тот же ранг, что и исходная матрица. Указан­ ные два свойства элементарных операторов позволяют нам определить ранг любой матрицы. Рассмотрим следующие элементарные операторы.

1 . Ец — единичная матрица I, в которой лишь переставле­ ны строки i и /. Например,

В результате умножения матрицы А слева на Ец t-я и /-я строки матри­ цы А меняются местами. Например,

2. Ra (X) — единичная диагональная матрица I, у которой i-й диаго нальный элемент равен не единице, а А,. В результате умножения матрицы А слева на Ru (A) i-я строка матрицы А оказывается умно­ женной на А:

3. Рц (А) — это единичная матрица /, в которой вместо нуля в t-й строке и /-м столбце (при i ф /) записана А. Если умножить А слева

145

на Рц (X), то в результате /-я строка матрицы А оказывается прибав­ ленной Я раз к 1-й строке той же матрицы:

Таким образом, мы рассмотрели, что дает умножение матрицы сле­ ва на элементарные операторы. Умножение на элементарные операторы справа приводит к тем же результатам, что и умножение слева, только изменения происходят со столбцами матрицы А; теперь АРд (Я) бу­ дет предполагать те же действия над элементами столбцов матрицы А, что и Рц (к)А применительно к строкам матрицы А.

в) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Записав элементарные операторы в общей форме, читатель может убедиться в том, что

\Еи \= - 1, |Ян(Ь)| = Ь и |Я„(Я)| = 1.

Определитель произведения матриц равен произведению определите­ лей соответствующих матриц, поэтому в тех случаях, когда матрица Л квадратна, умножение на элементарные операторы приводит к сле­ дующим результатам:

Таким образом, при транспонировании элементарные операторы со­ храняют свой вид; и, действительно, транспонирование не может изме­ нить вид Е- и /^-операторов, поскольку они симметричны. Р-оператор несимметричен, однако в результате его транспонирования вновь полу­ чается оператор того же типа.

д) ОБРАЩЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Можно убедиться в том, что

V Л л [ R i i W r ^ R i i ^ ) и [ P u M r ^ P u i - b ) .

146

Таким образом, при обращении ^-оператора мы получаем оператор прежнего вида, обращение R- и Д-операторов приводит лишь к изме­ нению соответствующих постоянных множителей, в частности, к за­

мене X на -j- в /^-операторе и к замене X на — X в Р-операторе. Все

это, а также результаты, приводившиеся в предшествующем абзаце, могут свидетельствовать о том, что общая форма любого из рассмат­ ривавшихся элементарных операторов не меняется при их транс­ понировании или обращении.

6. РАНГ МАТРИЦЫ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

При умножении матрицы на элементарные операторы ее ранг не меняется; другими словами, если матрицу Л умножить на оператор лю­ бого типа, произведение будет сохранять ранг матрицы Л. В справедли­ вости этого утверждения мы можем убедиться, рассматривая умноже­ ние матрицы на каждый из операторов. Так, при умножении на Л сле­ ва ^-оператора произведение ЕА представляет собой матрицу Л, в ко­ торой поменялись местами две строки. Следовательно, произведение ЕА — это та же самая матрица Л, только содержащиеся в ней строки теперь расположены в иной последовательности. Количество линейно­ независимых строк при этом не изменилось. Поэтому г (ЕА) = г (А). При умножении Л на ^-оператор каждый элемент некоторой строки (или столбца) Л умножается на постоянную величину, а в результате умножения матрицы Л на Д-оператор получаем матрицу, которая отли­ чается от Л лишь тем, что элементы одной из строк (столбцов) после ум­ ножения на некоторое число складываются с соответствующими эле­

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ

Мы видели, что ранг произведения, получаемого в результате умно­ жения матрицы на элементарный оператор, равен рангу исходной мат­ рицы; следовательно, и при последовательном умножении матрицы на несколько элементарных операторов ранг произведения окажется рав­ ным рангу исходной матрицы. Предположим, что в матрице любого вида А гх с диагональными элементами мы считаем элементы аи , а22, ••., a-dd, причем d равно меньшему из чисел г вс (когда А представ­ ляет собой квадратную матрицу, d = г = с, в таком случае указанные элементы действительно образуют диагональ матрицы). Все действия, связанные с умножением матрицы А на элементарные операторы, на­ правлены (как и при упрощении вида определителей) на то, чтобы обра­ щать некоторые элементы матрицы в нули. Элементарными оператора­ ми можно, в частности, пользоваться для того, чтобы обратить в нуль

147

элементы, лежащие ниже диагонали а1Ъ а22, ..., add, тогда число нену­ левых элементов, остающихся при этом на диагонали, характеризует порядок наибольшего ненулевого минора, а следовательно, и ранг мат­ рицы.

Пример. Допустим, что

Матрица, образующая произведение Р*РА, содержит два диагональ­ ных ненулевых элемента. Поэтому порядок наибольших невырожден­ ных миноров равен 2 X 2, и, следовательно, ранг матрицы Р*РА ра­ вен 2. Но отсюда вытекает, что и ранг матрицы А тоже равен 2, посколь­ ку матрица Р*РА получена в результате умножения слева матрицы А на элементарные операторы, т. е. в результате действий, которые не могли изменить исходного ранга матрицы.

Приведенный пример показывает, как умножение на операторы Р и Р* меняет вид матрицы А и как можно с помощью таких действий определить ранг А. Для того чтобы установить ранг матрицы, на прак­ тике не всегда требуется записывать соответствующие элементарные операторы. Во многих случаях мы просто осуществляем элементарные операции с матрицей, памятуя, что ее ранг при этом не меняется. А в тех случаях, когда оказываются нужны сами операторы, их нетрудно подо­ брать (см. параграф 9 данной главы).

Таким образом, для того чтобы определить ранг матрицы, элементы отдельных строк, умноженные на скалярные величины, складываются с соответствующими элементами других строк; основная цель этой операции—обратить в нуль элементы, расположенные под диагональю (диагональными мы по-прежнему называем элементы аи , а22, .., add). Сначала элементы первой строки нужны для того, чтобы обратить в нуль элементы первого столбца, расположенные под диагональю; ос­ новную роль в этих вычислениях играет первый элемент первой стро­ ки. На следующем этапе с помощью элементов второй строки обра­ щают в нуль лежащие под диагональю элементы второго столбца, при­ чем основную роль в этих вычислениях играет диагональный элемент второй строки. Поскольку расположенные ниже диагонали элементы

148

первого столбца уже были обращены в нуль на предшествовавшем эта­ пе наших вычислений, второй шаг не меняет их значения. Далее шаг за шагом берут элементы каждой из следующих строк; этот процесс продолжается до тех пор, пока все элементы оставшихся строк не обра­ тятся в нули или пока не будут использованы элементы последней строки. После этого число диагональных элементов матрицы, не равных нулю, будет определять ранг матрицы.

Эти вычисления предполагают последовательное умножение на элементарные операторы; матрицы, получаемые в результате таких действий, называют эквивалентными. Таким образом, матрица А экви­ валентна матрице В в том случае, если В может быть получена из А пу­ тем умножения А на элементарные операторы. Для того чтобы запи­ сать, что А эквивалентна В, мы будем применять следующее обозна­ чение: А ^ В.

Пример. Предположим, что мы хотим найти ранг следующей ма­

Умножим элементы первой строки на 4 и вычтем их из соответствен­ ных элементов второй строки, а затем, умножив первую строку на 7, сложим ее с третьей. В результате мы получим

1 4 6

0 — 17 -—22

0 34 44

Теперь, умножив вторую строку новой матрицы на 2, сложим ее с треть­ ей строкой, тогда

4 6"

17—22 •

О0 .

Число ненулевых диагональных элементов этой матрицы равно 2,

таков, и ранг матрицы В.

Процедура вычислений считается завершенной тогда, когда все элементы, расположенные ниже диагонали и справа от первого нуле­ вого диагонального элемента, равны нулю. В некоторых случаях для этого необходимо переставить между собой строки и (или) столбцы. Рассмотрим, например, следующую матрицу:

149