книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

Она получена из прежней матрицы В: дописана еще одна строка. Те­ перь проделаем с С все операции, которые ранее были проделаны с В, а затем, умножив первую строку на 2, вычтем ее из четвертой. В ре­ зультате этих вычислений получаем:

Теперь поменяем местами третью и четвертую строки:

Однако в этом случае наши вычисления еще не закончены, поскольку, хотя элемент (3,3) и равен нулю, но элемент (3, 4) отличен от нуля. Если же поменять местами третий и четвертый столбцы, тогда ненуле­ вым оказывается элемент (3,3):

Эта матрица содержит три ненулевых диагональных элемента, и мы можем сделать вывод о том, что г (D) = 3.

Сформулируем теперь в общем виде правила подобных вычислений, предпринимаемых для того, чтобы определить ранг матрицы: над каж­ дым (г, г)-м элементом матрицы (при i — 1 , 2, .... d, где d равно мень­ шему из чисел г и с) нужно проделать следующие действия.

1 5 0

Первый шаг. В тех случаях, когда элемент отличен от нуля, следует сразу перейти ко второму шагу. Если же данный элемент равен нулю, тогда нужно обратить его в ненулевой, поменяв местами i-ю и k-ю строки (при этом k может принимать любое из следующих значений: i + 1 , i + 2, и (или) переставив i-й и /-й столбцы (при этом / может принимать любое из следующих значений: i + 1 , i + 2...... с).

Второй шаг. К элементам строк i + 1, i + 2, ..., г следует прибав­ лять такие произведения соответствующих элементов i-й строки на скалярные величины, которые могут обратить в нуль все элементы г'-го столбца, находящиеся ниже диагонали.

Третий шаг. Операции, выполняемые на первых двух шагах вы­ числений, повторять до тех пор, пока дальнейшее осуществление пер­ вого шага окажется невозможным.

Тогда число ненулевых диагональных элементов будет определять ранг исходной матрицы.

8. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МАТРИЦ

Ранее говорилось что матрица А считается эквивалентной матрице В в том случае, когда В можно получить из А путем последовательно­ го умножения А на элементарные операторы. Таким образом, матрица А эквивалентна матрице В, если

РХР%... PsAQxQ2... Qt = В,

где Ри ..., Ps и Q*,..., Qt представляют собой любые элементарные опе­ раторы, причем с помощью P -операторов можно преобразовать строки, а с помощью Q-операторов — столбцы.

Покажем теперь, что эквивалентность матриц рефлексивна, т. е. если матрица А эквивалентна матрице В, то и В эквивалентна А. Предположим, что А представляет собой матрицу размером г X с; тогда каждый из P -операторов представляет собой квадратную матри­ цу порядка г, а каждый из Q-операторов — квадратную матрицу по­ рядка с, поэтому размеры совпадают с размерами А, они равны г X с. Обозначим произведение P -операторов буквой Р, а произведение Q-операторов —буквой Q. Тогда Р и Q будут представлять собой квад­ ратные матрицы; существуют и их обратные матрицы. Поскольку PAQ = В, из этого следует, что

Однако матрица, полученная в результате обращения элементарного оператора, сама будет элементарным оператором, откуда следует, что Р -1 и Q-1 представляют собой произведения элементарных операторов. Поэтому уравнение (9) может свидетельствовать о том, что, умножая

151

В на элементарные операторы, можно получить А. Следовательно, В эквивалентна А, тем самым доказано, что эквивалентность матриц рефлексивна, или, другими словами, если матрица А эквивалентна матрице В, то вместе с тем и матрица В эквивалентна матрице А.

9. ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К ЭКВИВАЛЕНТНОЙ КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Любая матрица А ранга г эквивалентна матрице С, имеющей вид

Qr q , где С представляет собой матрицу тех же размеров, что и А,

I т— единичную матрицу порядка г, а нули обозначают нулевые матрицы соответствующих размеров.

Пример. Матрица

“2 6 4 2

А = 4 15 14 7

2 9 10 5

имеет ранг 2 (вторая ее строка равна сумме двух других). Для того что­ бы от матрицы А перейти к матрице С, проделаем над А следующие операции:

Операции

где DT— диагональная матрица, содержащая г ненулевых элементов. Такую матрицу часто называют диагональной формой матрицы А. Матрицу А можно привести и к виду матрицы С. Для этого перейдем к действиям над столбцами:

152

поскольку ранг матрицы А равен 2.

Аналогичные операции с матрицей размером т X я и ранга г при­ водят к следующим результатам:

1г Огхп—г -

АтХп

От— гХ г От—г Х п —г

где нули обозначают нулевые матрицы, размеры которых указаны со­

г= т = п, то матрица приводится к виду 1п.

Внашем примере предполагалось, что существуют такие матрицы

Ри Q, при которых PAQ = С, где Р и Q представляют собой произве­

Матрицу С обычно называют эквивалентной канонической формой мат­ рицы А, или канонической формой, полученной с помощью эквивалент­ ного преобразования*. Процедуру перехода от матрицы А к матрице С часто называют приведением к эквивалентной канонической форме.

Если требуется найти только общий вид С, можно поступить так, как было сделано выше, т. е. выполнить необходимые элементарные

раторы, можно воспользоваться следующим соотношением: PAQ = = (PI)A (1Q). Поэтому, преобразовав единичную матрицу с помощью тех же действий, которые проделывались над матрицей А для того, чтобы привести ее к канонической форме, мы получим матрицы Р и Q, при этом Р объединяет все операции со строками, a Q — все операции

*В нашей литературе в таких случаях обычно употребляются термины «ка­ ноническая матрица» или «каноническая диагональная матрица» (см. например, Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1967). — Прим, перев.

153

со столбцами. Так, в нашем примере можно получить Р, проделав с / 3 операции 1 и 2. В этом случае:

Кроме того, проделав с /4 операции 3, 4 и 5, мы получим Q:

Проверим этот результат, проведя следующие вычисления:

что и требовалось доказать.

В вычислениях такого рода матрицы Р и Q определяются неодно­

154

Конечный вид операторов Р и Q зависит от того, в каком порядке проводятся отдельные элементарные операции, однако матрица С всегда будет иметь один и тот же вид независимо от того, как выглядит исходная матрица. У нее те же размеры, что и у матрицы А, и все мат­

(нули здесь обозначают нулевые матрицы соответствующих размеров).

10. КОНГРУЭНТНОЕ ПРИВЕДЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ МАТРИЦ

Процесс приведения симметрических матриц к каноническому виду более прост; этим обстоятельством часто пользуются в тех слу­ чаях, когда особенно удобна каноническая форма матриц, и прежде всего при упрощении вида квадратичных форм.

В уравнении (10) матрица приведена к так называемой диагональ­ ной форме:

где Dr — диагональная матрица, содержащая г отличных от нуля элементов. Рассмотрим процесс приведения симметрической матрицы к форме А. В симметрической матрице элементы каждого столбца сов­ падают с элементами соответствующей строки; поэтому, если осущест­ вить с соответствующими столбцами те операции, которые необходимо проделать со строками матрицы Л для того, чтобы обратить в нуль эле­ менты, расположенные ниже диагонали, то при этом обратятся в нуль также и те элементы, которые расположены выше диагонали. Следо­ вательно, если матрица А симметрична, проводя со столбцами и стро­ ками одни и те же операции, можно привести А к диагональной форме Д. Но это означает, что в произведении PAQ матрица Q равна транс­ понированной матрице Р, т. е. Q — Р '. Следовательно, для симметри­ ческой матрицы РАР' = А.

Предположим, что все диагональные элементы Dг положительны; тогда можно построить диагональную матрицу RT, элементы которой будут представлять собой квадратные корни из единицы, деленной на соответствующий диагональный элемент матрицы D, т. е. Rf =■■D p \ Допустим, что порядок матрицы А равен п и что

155

этого нужно умножить А слева на матрицу FP и справа на ее транспо­ нированную матрицу P'F. Такие вычисления называются конгруэнт­ ным приведением симметрической матрицы, а С называется канони­ ческой формой, полученной с помощью конгруэнтного приведения.

Теперь предположим, что не все диагональные элементы матрицы Dr положительны, пусть q из них отрицательны. Тогда произведе­ ние РАР' умножим слева и справа на такой элементарный ^-оператор, чтобы первые r—q диагональных элементов матрицы Dr оказались по­ ложительными, а последние q элементов — отрицательными. Новое произведение будем обозначать Р*АР*'. Под F меч будем понимать ту же матрицу, что и раньше, только R T теперь образуют элементы, равные квадратному корню из единицы, деленной на соответствующие элементы матрицы Dr, независимо от того, какой у них знак. В резуль­ тате умножения получаем

Мы рассмотрели общую методику конгруэнтного приведения симмет­ рической матрицы А к канонической форме. Если q = 0, тогда канони­ ческая форма сводится к С. Разность между порядками Ir_q и I q назы­ вается сигнатурой Л; другими словами, сигнатура равна г—2q. На­ личие на диагонали символов со знаком минус означает, что для при­ ведения матрицы к этой форме необходимы только действительные чис­ ла. Если читатель настолько подготовлен, что может оперировать и с

мнимыми числами, включающими i = \А—1 , тогда в процессе приведе­ ния матрицы к форме С можно воспользоваться сомножителем F, со­ держащим мнимые числа.

Пример. С помощью следующих операций можно привести симмет­

156

что и требовалось доказать.

Пример. Когда приходится сталкиваться с квадратичными форма­ ми (см. параграф 3 главы III), во многих случаях полезно выяснить, можно ли представить х'Ах в виде суммы квадратов линейных комби­ наций из элементов вектора х; есди это возможно, тогда форма х'Ах положительно полуопределена. Пусть даны, например,

Тогда (см. равенство (10) из параграфа 3 главы III)

х'Ах — 4х\ + 45x1 + 136x1 + 24x^2 + 40x^3 +

+1 5 6 х 2х 3.

Далее, можно показать, что если Р имеет вид

Допустим, что мы теперь можем прибегнуть к линейному преобразо­ ванию у = Р'-Н или (что равносильно приведенному выражению)

157

х = Р'у. Тогда квадратичная форма х'Ах приобретает следующий вид:

то квадратичная форма тогда может быть выражена следующим обра­ зом:

х'Ах = у\ + у\ = (2хх + 6х2 + 10х3)2 + + (Зх2+ 6х3)2.

Заметим, что ранг матрицы А, т. е. число отличных от нуля элементов в матрице РАР' , совпадает с числом возводимых в квадрат сумм в по­ лученном в конечном счете выражении х'Ах.

11. РАНГ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ

Приводимые далее теоремы устанавливают соотношения между ран­ гом произведения АВ и рангами исходных матриц А я В.

Теорема 3. Ранг произведения A mXq Bqxn не может быть больше,

и

РАВ = 1Г О Q~XB.

Оо

Это выражение равно, скажем,

~G‘

О ’

158

где G означает матрицу порядка г X п. Следовательно, г (РАВ) не мо­ жет превосходить г; поскольку же через Р обозначается произведе­ ние элементарных операторов, г (РАВ) = г (АВ), так что г (АВ) не может превосходить ранг матрицы А. Аналогичным образом можно показать, что ранг АВ не может превосходить ранг матрицы В. Следо­ вательно, г (АВ) не может превосходить ни ранга матрицы .А, ни ранга матрицы В.

12. ПРИЛОЖЕНИЕ

а) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДВУХ ТЕОРЕМ

Теорема 1. Система линейно-независимых n-мерных векторов не может содержать более п таких векторов.

Доказательство. Допустим, что их, и2, ..., ип образуют систему, состоящую из п независимых n-мерных векторов. Тогда можно пока­ зать, что любой другой ненулевой ?г-мерный вектор, скажем ип+\, не является независимым от них.

Рассмотрим следующие уравнения:

единственное решение относительно вектора q. Поэтому в уравнении (11 ), которое можно переписать в следующем виде:

9 l u l + <72W2 + + 9 п и п + Ы/1 + 1 = О, ( 12)

не все множители q будут равны нулю.

Нетрудно заметить, однако, что соотношение (12) представляет со­ бой частный случай уравнения, общая форма которого должна иметь следующий вид:

k xl l x + k 2U 2 + + k n Un + k a + x Щг-|-1 = 0. (13)

Показав, что не все множители k в этом уравнении равны нулю, мы тем самым доказали, что векторы их, и2, ..., ип, ип+1 линейно-зависимы между собой.

Теорема 2. Число независимых строк в матрице равно числу содер­ жащихся в ней независимых столбцов.

Доказательство. Пусть "А представляет собой матрицу размером pXq\ предположим, что она содержит k независимых строк и т неза­ висимых столбцов. Тогда каждая из строк представляет собой вектор порядка q. Из теоремы 1 следует, что k ^ q; аналогичным образом при-

159