книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

Доход от розничных продаж уже был вычислен ранее: 58x1 + 26 X

а итоговые данные, приведенные в табл. 4, — в виде вектора 204 . 34

Взглянув на табл. 4, можно убедиться в том, что элементы этого векто­ ра получаются точно так же, как описанное ранее произведение а х , причем в качестве вектора а' в каждом случае взята последующая стро­ ка матрицы А. Полученный результат представляет собой произведе­ ние Ах; другими словами, Ах образовано из соответствующих произве­ дений а’х, но в качестве а' теперь следует брать последовательно строки матрицы А, в результате мы получаем вектор-столбец. Следовательно,

В общем виде этот пример можно записать так:

30

Таким образом, первый элемент произведения Ах представляет собой сумму произведений atj, взятых из первой строки А, на соответствую­ щие элементы вектора х; аналогичным путем рассчитываются осталь­ ные элементы Ах. В общем случае произведение Ах, получаемое при умножении матрицы А на вектор-столбец х, это вектор-столбец, i-й член которого представляет собой сумму произведений каждого из элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы векто­ ра-столбца х.

Пример.

Из этого примера и из приведенного определения следует, что про­ изведение Ах существует только в том случае, когда число элементов в строках матрицы А (другими словами, число столбцов) равно числу элементов, составляющих вектор-столбец х. Если же это равенство со­ блюдается, тогда произведение Ах образует вектор-столбец, содержа­ щий столько же элементов, сколько строк насчитывается в матрице А. Следовательно, если в матрице А содержится г строк и с столбцов и по­ рядок вектора-столбца х равен с, тогда произведение Ах представляет собой вектор-столбец порядка г, причем i-й элемент этого вектора равен

С

2 a-ihXh при i = 1, 2, ..., г.

Й=1

Аналогичным образом определяется произведение х'Р. Оно сущест­ вует лишь в том случае, если число элементов вектора-строки х' равно количеству элементов в столбцах матрицы Р (т. е. равно числу строк этой матрицы), в таком случае произведение х'Р образует вектор-стро­ ку, содержащую столько же элементов, сколько столбцов насчиты­ вается в матрице Р. При этом произведение х'Р не равно Рх, по сущест­ ву, произведение Рх может и не существовать, несмотря на то, что су­ ществует произведение х’Р, и наоборот.

Пример. Анализируя продолжительность подписки на различные газеты, Диминг и Глэссер [2] охарактеризовали вероятности перехода подписчика от одной газеты к другой в зависимости от продолжитель­ ности подписки с помощью соответствующей матрицы. Приведем здесь упрощенный вариант ее:

31

В этой матрице вероятностей перехода данные сгруппированы по стро­ кам и столбцам в соответствии с продолжительностью подписки: до одного года, от одного года до двух лет, более двух лет и, наконец, ан­ нулирование подписки.

Предположим, что известно распределение 1000 подписчиков по этим категориям: 500 принадлежит к категории 1, 200—■ к катего­ рии 2 и 300 — к категории 3. Тогда вся группа, состоящая из 1000 подписчиков, может быть описана вектором-строкой

х' = [500 200 300 0].

Для того чтобы определить вероятное количество подписчиков в каж­ дой из этих категорий через год, умножим вектор-строку х' на матрицу вероятностей перехода Р:

Вектор, полученный в результате умножения, показывает, что из пер­ воначальной тысячи подписчиков через год 350, вероятно, будут при­ надлежать к категории 2, 430— к категории 3 и 220 — к категории 4.

о) УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ

Операцию умножения двух матриц можно представить просто как многократное умножение матрицы на векторы. Если мы хотим пере­ множить между собой две матрицы А и В, будем рассматривать матри­ цу В как набор векторов-столбцов. Тогда произведение АВ предста­ вит матрицу, составленную следующим образом: мы последовательно записываем друг за другом произведения матрицы А на каждый век­ тор-столбец, образующий В.

Пример. Если

мы можем полагать, что матрица В состоит из двух векторов-столбцов

32

Тогда, умножив матрицу А на каждый из векторов-столбцов, образую­ щих В, мы можем записать

Располагая эти векторы один за другим, получим произведение матриц

АВ:

полностью вся операция запишется следующим образом:

Указанный результат можно получить также путем перемножения эле­ ментов матриц А и В, двигаясь при этом по горизонтали — вдоль i-й строки матрицы А и одновременно — вниз по /-му столбцу матрицы В, а затем сложив между собой все эти произведения. Сумма произве­ дений соответствующих элементов образует ij-й элемент матрицы-про­ изведения АВ. Допустим, например, что, продвигаясь таким образом, мы последовательно умножаем элементы второй строки матрицы А на элементы второго столбца В\ сумма этих произведений будет составлять

3 X 2 + 1 х 1 + 1 X (—1) = 6 + 1 — 1 = 6.

Тогда элемент, стоящий во второй строке и во втором столбце матрицы, образующей произведение АВ, равен 6. Следовательно, легко видеть, что i-я элемент первого столбца в произведении АВ равен сумме про­ изведений, полученных в результате умножения элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы первого столбца матрицы В, а i-й элемент второго столбца АВ равен сумме произведений элемен­ тов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы второго столб­ ца Б.

После всего сказанного можно дать в общем виде строгое описание операции умножения матрицы на матрицу: ij-й элемент (т. е. элемент, стоящий на пересечении г-й строки и /-го столбца) произведения А В двух матриц А и В равен сумме произведений, получаемых в резуль­ тате умножения каждого элемента i-й строки матрицы А на соответст­ вующий элемент /-го столбца матрицы В. Из этого следует, что если

Тогда элемент, стоящий в произведении АВ на пересечении первой строки и первого столбца, можно получить путем перемножения соот­ ветствующих элементов первой строки А и первого столбца В и сложе­ ния полученных величин:'

1 X 0 + О X 1 + 2 x 2 = 4;

элемент, стоящий на пересечении первой строки и второго столбца АВ, равен

1 X 6 + 0 X 1 + 2 X 4 = 1 4 ;

элемент, стоящий на пересечении второй строки и третьего столбца А В, составляет

—1 X 1 + 4 X 2 + 3 X 4 = 1 9 .

Определив таким образом каждый из элементов, находим матрицу АВ:

Г 4 14 9 111

Определение произведения матриц АВ может иметь смысл только в том случае, когда выполнены некоторые условия, в частности, когда /-й столбец матрицы В (а следовательно, и все остальные ее столбцы) насчитывает то же число элементов, что и i-я строка матрицы Л (а сле­ довательно, и все остальные ее строки). Поскольку количество элемен­

34

тов в столбце м атрицы равно числу строк в ней (а количество элементов в строке равно количеству столбцов), это означает, что в матрице В должно быть столько же строк, сколько столбцов содержит матрица Л. Таким образом, произведение матриц АВ определено только в том слу­ чае, когда число столбцов в А равно числу строк в В. Можно отметить также (это явствует и из ранее приведенного примера), что произведе­ ние АВ содержит то же количество строк, что и матрица Л, и то же ко­ личество столбцов, что и матрица В.

Если число столбцов в А равно числу строк в В, матрицы назы­ ваются согласованными для умножения А на В, и ЛБ содержит столько же строк, сколько их насчитывается в матрице Л, и такое же количест­

то произведение АВ представляет собой матрицу размером г X s, а ее

С

i/'-й элемент равен 2 aikbhj. Следовательно, мы можем записать k=\

Подобное выражение означает, что ij-й элемент АВ равен сумме про­ изведений элементов i-й строки матрицы Л на соответствующие эле­ менты /-го столбца матрицы В, ij-й элемент АВ называется также скалярным (внутренним) произведением i-й строки матрицы Л на /-й столбец матрицы В. Следовательно, произведение матриц АВ можно получить, вычислив скалярные произведения каждой строки матрицы Л на каждый столбец матрицы В, причем скалярное произведение i-й строки Л на /-й столбец В образует i/'-й элемент произведения АВ.

Пример. Если

существует произведение АВ, потому что Л содержит два столбца и В— две строки:

Порядок произведения АВ равен 2x3. Заметим, однако, что произве­ дения ВЛ не существует, так как В содержит три столбца, в то время как в Л — только две строки.

г) С У Щ Е С Т В О В А Н И Е П Р О И З В Е Д Е Н И Я М А Т Р И Ц

Как уже отмечалось в параграфе 6 главы I, для обозначения порядка матрицы можно пользоваться индексами, в таких случаях А тХс озна­ чает матрицу размером г на с (в ней содержится г строк и с столбцов). В этих обозначениях произведение АВ может быть записано следую­ щим образом:

Агхс B cxs = Ргxs>

такая форма удобна:, она позволяет не только проверить, согласованы ли Л и В для умножения друг на друга, но и определить порядок их произведения.

Умножение друг на друга более чем двух матриц выводится по пря­ мой аналогии из правил умножения двух матриц. Из этого следует, что произведение АВС существует в том случае, если матрицы согласованы для умножения АВ на С. Это условие выполняется тогда, когда в АВ содержится столько же столбцов, сколько в С строк. Но в А В имеется то же число столбцов, что и в В. Следовательно, для того, чтобы су­ ществовало произведение АВС , матрицы должны быть согласованы для умножения В на С. И в общем случае: произведение ABCD ... сущест­ вует, если каждая пара смежных матриц согласована для умножения предыдущей на последующую. Снова применяя указанные индексные обозначения размера матриц, можно определить порядок их произве­ дения более -просто. Смежные индексы (если выполняется условие со­ гласованности, они должны быть равны между собой) сокращаются, и остаются лишь первый и последний индексы, которые и определяют порядок произведения. Например, произведение A 2X3B3x5C5xl0D10yi будет представлять собой матрицу размером 2x4. В общем случае про­ изведение A rXcBcXSCsxtDtxk образует матрицу порядка г X k\ этот результат можно распространить и на тот случай, когда производится умножение более 4 матриц.

Как уже отмечалось, ВА может не существовать даже в том случае,

Следовательно, при умножении двух матриц А я В могут наблюдаться три ситуации. Пусть А представляет матрицу размером г X с, тогда:

1) АВ существует только в том случае, если матрица В содержит с строк;

2) ВА существует только тогда, когда В содержит г столбцов; 3) АВ и ВА существуют одновременно, только если размер В равен

с X г.

Из правила 3 следует, что произведение А А = А 2 существует толь­ ко в том случае, если матрица А квадратна. Другое следствие из при­ веденных правил: произведения А В и ВА существуют во всех тех слу­ чаях, когда А иВ представляют собой квадратные матрицы одинакового порядка. Однако, как будет показано впоследствии, эти произведения не обязательно должны быть равны между собой. Для того чтобы их

36

различать, АВ называют произведением Л на В (или В умножена на А справа), а ВА — произведением В на Л (или В умножена на Л слева).

Пример. Вновь рассмотрим работу оборудования, упоминавшегося в предшествующем примере (параграф 6 главы I). Это оборудование работает удовлетворительно или нуждается в налаживании, причем матрица вероятностей перехода, характеризующих эти изменения, будет иметь следующий вид:

Будем считать, что в первый период оборудование нуждается в налажи­ вании. Предположим, что состояние оборудования в этот период сле­ дующим образом записывается с помощью вектора-строки х[\

х,' = [1 0].

(Индекс «1» при х' здесь указывает период времени, он не является ин­ дексом при элементах матрицы.) Тогда при тех же обозначениях можно определить состояние оборудования во второй период Хг, если умно­ жить вектор состояния, относящийся к первому периоду, на матрицу вероятностей перехода:

Состояние оборудования в третий период можно определить следующим

Таким образом, состояние оборудования в п-й период равно вектору состояния в первый период, умноженному на матрицу вероятностей перехода в степени (п — 1) или, другими словами, на Р я~ 1.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы, причем эта операция осуществляется путем многократного применения правила умножения матриц. Например:

Аналогичным образом матрицы возводятся и в более высокую степень.

37

остается в силе прежнее предположение о том, что а' представляет со­ бой вектор-строку; для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, укажем порядок а' с помощью индексов 1Хс, умножая ai'Xc на 6сХ1, мы получим

0 \ Х С Ьсх 1 = P lx b

произведение этих векторов образует скалярную величину—эквива­ лент матрицы размера l x l . С другой стороны,

ЬсХ1 0\хс~ Рсхс-

В результате перемножения тех же векторов в противоположном по­ рядке получаем квадратную матрицу. В разделе б данного параграфа рассматривалось умножение матрицы на вектор-столбец:

Агхс Ьсх 1 =- prx 1>

в результате такой операции мы получали вектор-столбец. Аналогич­ ным образдм в результате умножения вектора-строки на матрицу

0 [ Х с В с х г — Р \ Х Г

мы получали вектор-строку.

Не прибегая к специальным обозначениям, можно следующим об­ разом описать результаты всех этих операций:

1) в результате умножения справа вектора-строки на векторстолбец получаем скалярную величину;

2) в результате умножения справа вектора-столбца на векторстроку получаем матрицу;

3)в результате умножения справа матрицы на вектор-столбец получаем вектор-столбец;

4)в результате умножения справа вектора-строки на матрицу по­ лучаем вектор-строку.

Кэтим выводам можно непосредственно прийти, сохраняя при по­ элементном умножении один и тот же принцип движения: у одного

множителя — по горизонтали вдоль строки, а у другого —соответствен­ но вниз по столбцу.

38

е) У М Н О Ж Е Н И Е Н А Д И А Г О Н А Л Ь Н У Ю М А Т Р И Ц У

В параграфе 6 главы I диагональная матрица была определена как квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне диа­ гонали, равны нулю. (Некоторые элементы, лежащие на диагонали, тоже могут быть равны нулю.)

Вспомнив правила умножения матриц, обнаружим, что с диагональ­ ными матрицами эта операция выполняется совсем просто: умножая слева матрицу А на диагональную матрицу D, получаем матрицу, строки которой представляют собой элементы соответствующей строки матрицы А, помноженные на элементы, стоящие в той же строке диа­ гональной матрицы D. Так, если

Умножение справа на диагональную матрицу приводит к аналогичным результатам: элементы, расположенные по столбцам, теперь умножают­ ся на элементы, стоящие в соответствующем столбце диагональной матрицы D, например,

ж) НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ

Когда а, Ь, с и d представляют собой скалярные величины, правила обычной алгебры гласят, что если а2 = 0, тогда и а = 0, или если cd = = 2с, тогда d = 2*. Однако в матричной алгебре аналогичные вы­ воды не всегда правомерны. Например, если

что £> = 2. Столь же мало оснований полагать, что приведенное прави­ ло относится и к произведению DC. Например, если

3 9