книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

9. Если А - 1 = А', то АА' = А'А — /. Читатель может ограни­ читься проверкой этого свойства на примере следующей матрицы:

6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ

Применение обратных матриц столь многочисленно и разнообразно, что здесь мы можем привести только отдельные примеры. Для иллю­ страции мы выбрали четыре примера.

а) СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Мы уже пользовались обратными матрицами при решении уравне­ ний. Дополнительным примером может служить задача на загрузку производственных мощностей.

Пример. Предположим, что производственные мощности для из­ готовления п различных видов продукции установлены в п цехах. Пусть bi представляет собой суммарную мощность цеха i и atj — часть производственного аппарата цеха i, которая необходима для производ­ ства единицы продукции вида /. Тогда, обозначив через Xj количество выпущенной продукции, получим следующие уравнения, показыва­ ющие, как можно использовать имеющиеся мощности без перегрузки и недогрузки:

Следовательно, если А означает матрицу потребностей в мощностях, х — вектор выпуска продукции, а b — вектор мощностей, то Ах = Ь. Решая это уравнение относительно х и пользуясь обратной к А матри­ цей, получим объемы продукции, которые удовлетворяют данному соотношению, т. е. х = А~ХЪ.

б) МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС ПРОИЗВОДСТВА И ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ

Межотраслевой баланс (система «затраты — выпуск продукции») был разработан Леонтьевым [6] как средство анализа взаимозависимости различных секторов экономики. В 1949 г. министерство торговли США официально опубликовало первую составленную им таблицу межотрас­ левого баланса (таблицу «затраты — выпуск» продукции для 1947 г.). Таблицы для 1958 г. появились недавно; в настоящее время разраба­

110

тываются новые таблицы*. Далее мы покажем основные действия с мат­ рицами, связанные с применением межотраслевого баланса.

Рассмотрим экономику, состоящую из п секторов; в каждом секторе производится один вид товаров. Пусть х* — валовой выпуск товара £, atj — количество продукции £, используемое при производстве единицы продукции /, y t — конечный спрос на продукцию i.

Валовой выпуск каждого вида продукции должен быть равен сумме продукции, использованной при производстве всех видов продукции, плюс конечный спрос на эту же продукцию; иначе говоря,

П

Xt = 2 аи Xj -1- yt, i “ 1, 2, ... , п.

i=~-1

Вматричном обозначении

х — Ах у,

где векторы х, у и матрица А определены следующим образом:

х = {*;}, У = {Ui} и А = {ai;} г, / = 1, 2, ..., п.

Матрица А называется матрицей технологических коэффициентов (коэффициентов прямых затрат). Все ее элементы, по определению, не­ отрицательны, такими же будут элементы х, если элементы у также не­ отрицательны.

Предположим, что в течение., некоторого периода времени коэффи­ циенты а.ц остаются постоянными, тогда, решая приведенное уравнение относительно х, мы можем определить валовой выпуск всех секторов

(x), необходимый для обеспечения любого уровня конечного спроса

(y). Произведем перестановку членов уравнения

(/ — А)х = у

и, умножая на (/ — Л)^1, полагая, что матрица (/ — Л) является не­ вырожденной, получим

Пример. Рассмотрим крайне упрощенное четырехсекторное описа­ ние экономики, в котором выделены две отрасли (сельское хозяйство и промышленность), один первичный фактор производства (труд) и го­ сударственный сектор, который потребляет продукцию обеих отраслей и использует труд. В этом простом примере государственный сектор ничего не производит для экономики и его потребление представляет собой конечный спрос на товары, производимые в этих секторах. В процессе производства каждая отрасль потребляет некоторое коли­ чество продукции другой отрасли, а также труд; рабочая сила нуж­ дается в продукции обеих отраслей и, наряду с этим в затратах труда для своего воспроизводства. Трудовые ресурсы могут быть свободно

*В 1969 г. опубликованы таблицы межотраслевого баланса США за 1963 г. (см. Survey of Current Business, v. 49, № 11, November, 1969). — Прим, nepee.

импортированы и экспортированы, таким образом, никогда не может быть безработицы или излишнего спроса на труд. Основной капитал и запасы продукции поддерживаются на одном и том же уровне в те­ чение всего периода. Допустим, что мы наблюдали натуральные по­ токи продукции между четырьмя секторами экономики на протя­ жении некоторого периода и составили таблицу «затраты—выпуск» (см. табл. 1). Суммирование показателей вдоль каждой строки дает общий выпуск каждой отрасли и суммарное число занятых. По­ скольку выпуск был измерен в натуральных единицах, то суммирование по столбцам лишено смысла. Однако любой столбец, взятый в целом, имеет определенное содержание — он показывает затраты данного сек­ тора, необходимые для производства всего объема продукции. По су­ ществу, он описывает производственную функцию данного сектора. Например, второй столбец характеризует основной производственный процесс, который в текущем периоде применяется в промышленности. Для изготовления 4000 машин промышленности требуется 400 т сельскохозяйственной продукции, 800 машин и 4800 работников.

Т а б л и ц а 1

Таблица «затраты—выпуск»

Следовало бы ожидать, что процесс производства, отражаемый таб­ лицей «затраты—выпуск», изменится, если данная гипотетическая эко­ номика применит усовершенствованную технологию или изменятся относительные цены трех факторов производства. Однако, допустим, что цены относительно стабильны и что технология меняется медленно. Кроме того, предположим, что государственный сектор теперь пред­ полагает потребить 1000 т продукции сельского хозяйства, 1200 машин и ему потребуется нанять 800 человек в следующем периоде. Положив, что эти потребности государства представляют собой конечный спрос, определим, каковы должны быть трудовые ресурсы и уровни выпуска в каждом производственном секторе. Иначе говоря, определим, каково будет соответствующее значение х, если новое значение у будет равно:

1 000

1200 .

800

112

определим величину х для нового значения у:

Таким образом, для удовлетворения новых показателей спроса необхо­ димо будет произвести примерно 4288 т сельскохозяйственной продук­ ции и 5364 машины, для чего потребуется 9470 работников.

Относительно анализа межотраслевых связей можно сделать три общих замечания. Во-первых, в большинстве межотраслевых балансов потоки выражаются не в натуральных, а в стоимостных величинах. Такой подход снимает проблему определения единиц измерения и де­ лает показатели сопоставимыми. В табл. 1 мы приводили данные о промышленном производстве машин, однако нет никаких оснований предполагать, что все машины, используемые сельскохозяйственным и промышленным секторами, рабочей силой и государством, одина­ ковы. Один из способов объединения данных о различных товарах за­ ключается во взвешивании этих товаров по их ценам. Публикуемые таблицы межотраслевых балансов обычно выражены в стоимостных показателях. В конце этой главы в упражнении 15 читателю предла­ гается вернуться к этой задаче и решить ее, исходя из данных табл. 1 , выраженных, однако, в денежных единицах.

Во-вторых, по-видимому, было бы неправильно трактовать спрос на товары и услуги, идущие на личное потребление, точно так же, как спрос промышленного сектора. В таблицах межотраслевых балансов, публикуемых в последнее время, личное потребление рассматривается как компонент конечного спроса (у), а не как промежуточный спрос (Ах). Таким образом, устраняется предположение о том, что для трудо­ вых ресурсов строится «производственная функция», как это подразу­ мевается в третьем столбце табл. 1 .

В-третьих, определенное экономическое содержание имеют элементы матрицы (/ — Л)-1. Пусть В = (/ — А)~1 и Ьи (i'/'-й элемент В) пред­ ставляет собой количество продукта i, в котором нуждается экономика для того, чтобы обеспечить поставку единицы товара в качестве конеч­ ного продукта. Например, в приведенном случае для производства од­ ной машины в качестве конечного продукта сельскохозяйственный сек-

ся такая величина, если для производства одной машины требуется только 0,1 единицы сельскохозяйственной продукции (а12)? Дело в том, что помимо сельскохозяйственной продукции для производства машин требуются также затраты труда и машин; для производства каждого из них в свою очередь требуется продукция сельского хозяйства. Та­ ким образом, для получения одной машины из общей потребности 1,25 т только 0,1 m требуется непосредственно, потребность в остальных 1,15т является опосредствованной.

114

Уравнение (22) можно также применить в случае, когда конечный спрос задан не в абсолютных величинах, а в виде приращений (измене­ ний). Так, если у* — вектор таких изменений, то х* — (/ — А)~1у* представляет собой вектор изменений в валовом выпуске. Эти изменения необходимы для удовлетворения изменившегося спроса. Следователь­ но, если в приведенном примере

Здесь у* характеризует изменения значений элементов у\ соответствен­ но х* равен изменению вектора х. В качестве элементов у* могут быть взяты любые величины, положительные или отрицательные. Более того, не всегда желательно получить полный вектор х*, а иногда необходимо иметь отдельные элементы его. В этом случае нужны только соответст­ вующие строки матрицы (I — Л)-1. Так, если бы потребовалось опреде­ лить влияние изменений у* на затраты труда, то следовало бы для рас­ чета хз взять последнюю строку (/ — Л)-1:

Как и ранее, для того чтобы экономика могла удовлетворить изме­ нившийся спрос, необходимо увеличить число занятых на 2470 человек.

Рассматривая различные ситуации, складывающиеся во внутренней

имировой экономике, эксперты часто могут предсказывать изменения

ввекторе конечного спроса для своей страны. Подробная и точная ин­ формация, оформленная в матрицу (/ — Л)-1, в этом случае дает возможность учесть последствия изменения спроса. Представим, на­ пример, насколько полезной была бы подобная матрица для Совета экономических консультантов и Совета управляющих федеральной резервной системы при определении налоговой и денежной политики, которая отвечала бы таким предполагаемым изменениям и в то же са­ мое время поддерживала бы полную занятость и стабильные цены**.

**Такое утверждение выглядит достаточно наивным. Опыт послевоенного экономического развития США свидетельствует о том, что все рекламные обеща­ ния «полной занятости» и «стабильности цен» неизменно оказываются невыпол­ ненными. Переходя к затрагиваемым автором специальным вопросам, следует заметить, что оценка вектора конечного продукта на будущее и использование

матриц коэффициентов для расчета поотраслевого выпуска продукции и занятос­ ти — не столь элементарная операция, как это можно заключить на основании данного текста. — Прим. ред.

в) АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УПРОЩЕНИЯ

Часто приходится иметь дело с такими ситуациями, когда обратные матрицы в матричной алгебре используются для операции, которая в некотором смысле аналогична делению в скалярной алгебре. Рассмот­ рим один из таких случаев. Выражение

где х представляет собой скалярную величину, отличную от единицы, в матричной алгебре имеет следующий аналог:

где конкретный вид подматриц б и С определяется тем, что они описы­ вают шесть состояний, а подматрица / характеризует поглощающие состояния —• «ловушки» («ловушкой» называется состояние, в котором данный объект будет оставаться и в последующий период с вероят­ ностью, равной единице). Матрица вероятностей после двух переходов будет равна

Поскольку б и С, по определению, согласованы для умножения, то после п переходов получим

С помощью результата, полученного ранее*, можно записать следу­ ющее соотношение:

I О

Рп = ( б -- /) - 1 (б'г —1)С В'1 ■

Полученное выражение для Рп более удобно для вычислений, чем не­ посредственный подсчет Рп, при больших значениях п. Кроме того, оно показывает взаимосвязь Рп с матрицами б и С и дает представление о предельном значении Рп при бесконечно большом п.

*Т. е. значение суммы 1 + X + X 2 Ь ... + Х п 1. — Прим, перев.

116

) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ РАСЧЛЕНЕННОЙ МАТРИЦЫ

В некоторых случаях наличие обратной матрицы помогает получить определитель расчлененной матрицы. Пусть квадратная матрица М расчленена следующим образом:

Поскольку этот результат справедлив для любой матрицы X, то он справедлив и для X = — D -1 С. Следовательно,

/О

-1)-'С I '•

Воспользуемся этим свойством. Умножив | М | на единицу, получим

117

7. ПОЛУЧЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ С ПОМОЩЬЮ РАСЧЛЕНЕНИЯ НА ПОДМАТРИЦЫ

Вычисление обратной матрицы часто может быть упрощено с по­ мощью расчленения ее на четыре подматрицы, причем верхняя левая

инижняя правая подматрицы должны быть квадратными:

'А В

(25)

С D

где А и D — квадратные подматрицы. Если соответствующим образом расчлененная матрица М*1 имеет вид

118

Допустим на минуту, что А и D — невырожденные матрицы, тог­ да из (29) следует

В соответствии с этим результатом необходимо получить четыре обрат­ ные матрицы. Однако могут быть выведены более удобные для рас­ чета выражения. Прежде всего заметим, что тождество Л4-1 М = / справедливо; поэтому из соотношений (25), (26) следует, что

Г - — XBD-1,

а из (38)

W = D-' — ZBD-K

По результатам и значениям X и Z, приведенным в (32) и (31), получим выражения, согласно которым необходимо определить только две об­ ратные матрицы:

X = (Л — BD~1C)~1', Y = —XBD~\

Z = — D-'CX\

W = D -1 — ZBD-K

Для того чтобы провести расчеты по этим формулам, можно придер­ живаться следующей последовательности.

Процедура а

119