книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

представляет собой вектор-столбец четвертого порядка. Аналогичным образом матрица, состоящая из одной строки, называется векторомстрокой. Для обозначения вектора-строки мы будем пользоваться х со штрихом:

ными величинами. Элементами матрицы обычно служат скалярные ве­ личины, хотя иногда она может состоять из матриц меньшего порядка. В некоторых случаях удобно представлять скалярную величину мат­ рицей порядка 1x1.

3.ОБЩИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Вэтой книге матрицы обозначаются прописными буквами, а их элементы — теми же строчными буквами с соответствующими индекса­ ми. Векторы будут обозначаться строчными буквами (обычно послед­ ними буквами алфавита), при этом знак «штрих» будет служить для того, чтобы отличать вектор-строку от вектора-столбца. Так, х означает

вектор-столбец, а х ' — вектор-строку.

В этой книге всюду закрывать матрицы будут квадратные скобки:

В редких случаях, при записи определителя (см. гл. IV), мы будем при­ бегать к единичной вертикальной линии.

Кроме того, мы уже пользовались таким удобным средством обо­ значения матриц, как фигурные скобки:

А = {аи ) при i = 1, 2, ..., г и / = 1, 2, ..., с.

Фигурные скобки показывают, что ац — типовой элемент матри­ цы А, в котором индексы i и / последовательно принимают все значе­ ния от 1 до указываемых конечных величин (в нашем случае до г и с). Другими словами, А представляет собой матрицу, состоящую из г строк и с столбцов. Эти обозначения отнюдь не единственно возмож­ ные, и в литературе можно встретить немало других вариантов. Для обозначения матрицы не обязательно пользоваться буквой А, можно прибегнуть к любой другой букве. Векторы часто обозначают строч­ ными буквами, однако и это не является обязательным. Нет твер­ дого правила и в употреблении штриха (применяемого в этой книге для того, чтобы отличать вектор-строку от вектора-столбца). В неко­

0

торых работах для того, чтобы отличать матрицы и векторы от ска­ лярных величин, обозначаемых теми же буквами, их набирают жир­ ным шрифтом. Мы не будем вводить подобные обозначения, поскольку большая часть книги посвящена именно матрицам и векторам, так что вряд ли может возникнуть какая-либо путаница. Всюду, где ска­ лярная величина обозначается буквой, этот факт особо оговаривает­ ся, если только это не вытекает из самого контекста.

Упражнения

21

6.Рассмотрим процесс покупки, когда имеются только два товара. До­ пустим, что покупатель, ранее купивший товар 1, в следующий период купит его снова с вероятностью 0,7. Предположим также, что покупатель, ранее купивший товар 2, в последующий период вновь приобретет его с вероятностью 0,6. Одна­ ко в том случае, если на рекламу товара 1 будет истрачено 1 200 000 долларов, эти вероятности изменятся и будут составлять соответственно 0,8 и 0,4. Напиши­ те матрицу вероятностей перехода для двух ситуаций: до того, как предприняты расходы на рекламу, и после этого. Изменит ли реклама рыночные условия в на­ правлении, благоприятном для продажи товара 1?

7.Продавец билетов на театральное представление, проводимое за городом, решает вопрос о том, сколько билетов ему следует закупить. К покупке билетов он может прибегнуть лишь один раз. Каждый билет стоит 5 долларов и может быть продан за 8 долларов. Билеты, оставшиеся нераспроданными, никакой сто­

имости не представляют. Известно, что количество билетов, которое он сможет продать, колеблется от 1 до 5. Составьте матрицу денежных сумм, выручаемых в зависимости от его решения и от результатов продажи; пусть при этом по стро­ кам будут расположены результаты того или иного решения продавца билетов, а по столбцам — возможный исход продаж.

и левой частей каждого равенства (значения чисел приведены в упражнении 1).

пп

в) у 2 : аи anh= а г. a h .

=> > ? • + £

ii — \ h = \

h i

m n

i — 1 j — 1

22

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.C h o w G. С. (1960). Statistical demand functions for automobiles and their use for forecasting. In The Demand for Durable Goods, A. C. Harberger (ed). University of Chicago Press.

2.D e r m a n C. (1963). Optimal replacement and maintenance under Markovian deterioration with probability bounds on failure. Management Science,

9, 478—481.

ОСНОВНЫЕ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ

ГЛАВА ДЕЙСТВИЯ

СМАТРИЦАМИ

Вэтой главе речь идет об арифметических действиях с матрицами:

осложении, вычитании и умножении. Кроме того, здесь рассматри­ ваются участвующие в операциях с матрицами аналоги нуля и единицы.

1.СЛОЖЕНИЕ

Начнем с операции сложения, но прежде всего поясним ее с помощью примера.

Пример. Некоторая компания в обрабатывающей промышленности располагает данными о своих продажах на протяжении года, сгруппи­ рованными по видам изготовляемой продукции и районам сбыта. В табл. 1 представлено распределение трех видов продукции по трем районам.

Перепишем содержание таблицы в форме матрицы порядка 3x3:

98 24 42 А = 39 15 22 .

22 15 17

В таком случае аналогичные данные, относящиеся к следующему году, можно записать в том же порядке с помощью матрицы:

55 19 44 В = 43 53 38 .

11 40 20

24

Тогда общее число единиц продукции вида I, проданной в районе I на протяжении рассматриваемых двух лет, равно сумме элементов, расположенных в каждой матрице на пересечении первой строки и пер­ вого столбца: 98 + 55 = 153, а общее число единиц продукции вида III, проданной в районе 2 за тот же период, равно: 15 + 40 = 55. Мат­ рица, составленная путем сложения всех указанных величин, будет тогда иметь вид:

Элементы этой матрицы характеризуют объем продаж различных видов продукции в каждой области на протяжении двух лет. Такая матрица представляет собой сумму матриц А я В, полученную путем

каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов мат­ риц-слагаемых.

Очевидно, сложение матриц возможно только в том случае, когда у них один и тот же порядок; другими словами, две матрицы можно складывать, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов. Поэтому бессмысленно пытаться сложить

Матрицы, которые имеют одинаковый порядок и которые поэтому мож­ но складывать, считаются согласованными для сложения. Например, матрицы

согласованы для сложения, и их сумма равна

' —2 3 12

8 0 II ’

2. УМНОЖЕНИЕ НА СКАЛЯРНУЮ ВЕЛИЧИНУ

Мы уже изложили правила сложения матриц. Простое применение указанных правил приводит к следующему выводу:

Л + А = {atj} + {о+} = {2аи } = 2А.

25

Обобщим полученные результаты, рассмотрев случай, когда X — целое положительное число. Тогда

ХА = А + А + А + ... + А,

где вся сумма, стоящая справа, обозначена с помощью ХА. По правилу сложения матриц получаем

ХА — {Хаи } при i = 1, 2, ..., г и / = 1, 2, ..., с.

Распространяя этот принцип на любые скалярные величины, приходим к определению операции умножения матрицы на скалярную величину. Таким образом, произведение матрицы А и скалярной величины X представляет собой матрицу, в которой каждый элемент умножен на X. Например,

3. ВЫЧИТАНИЕ

Пример. В табл. 2 приведены данные о совокупных продажах не­ которой компании с 1 января по 31 марта определенного года.

и предположим, что совокупные продажи указанных изделий (рассчи­ тываемые нарастающим итогом) на 30 июня того же года составили

Тогда продажи того или иного вида товаров в каждом районе, рассчи­ тываемые нарастающим итогом, за период с 31 марта по 30 июня будут равны разности между суммами продаж за соответствующие периоды времени; так, продажи продукции вида I в районе 1 составят 2050 —

— 91 0= 1140. Аналогичным образом продажи продукции вида II

26

в районе 4 равны 1189 — 1048 = 141. Следовательно, полученная таким путем матрица

характеризует продажи обоих товаров с 31 марта по 30 июня во всех четырех районах. Перед нами пример вычитания матриц. Отсюда мож­ но сделать следующие выводы.

Другими словами, разность между двумя матрицами представляет собой матрицу, образованную разностями соответствующих элементов1. Пример.

Как и при операции сложения, можно вычитать друг из друга только те матрицы, которые имеют одинаковый порядок. Таким образом, мат­ рицы, согласованные для сложения, согласованы и для вычитания,

инаоборот.

4.РАВЕНСТВО МАТРИЦ И НУЛЕВАЯ МАТРИЦА

Две матрицы называются равными в том случае, если каждый эле­ мент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матри­ цы. Следовательно, А = В, если {аи } = {bi}), или другими словами,

то матрица А равна В, но не равна С. Утверждение о равенстве двух матриц не имеет смысла, если у них разные порядки.

хМы можем доказать это более строго, воспользовавшись правилами сложе­ ния и умножения на скалярную величину. Так как — В = (—1) В,

А - В = А + ( - 1 ) В = { a i j } + ( - 1) Ь ц } = { а и } + { - Ь ц ) = { а и ~ Ь и } .

27

Сочетая между собой определения вычитания и равенства матриц, можно прийти к определению нуля в матричной алгебре. Пусть, на­ пример,

А — В = {аи — Ьи ) = 0.

Матрица справа состоит лишь из нулей, так как каждый элемент этой матрицы равен нулю. Такая матрица называется нулевой, она играет роль нуля в матричной алгебре. Нулевая матрица не единственна, так как для матриц любого порядка всегда будет существовать нульматрица того же порядка. Например, нулевые матрицы порядка 2X4 и 3X3 будут иметь следующий вид:

Прежде чем определить умножение матриц, коротко рассмотрим две более простые операции, связанные с умножением векторов.'И на этот раз для пояснения общего метода воспользуемся числовым при­ мером.

а) ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Пример. Предположим, что объем розничных продаж в течение дан­ ного года составил соответственно 58, 26 и 8 единиц и что цены этих то­ варов были равны соответственно 1, 2 и 3 долларам. Следовательно, общий доход от продажи всех трех товаров за год равен 58 X 1 +26 X 2+ + 8 X 3 = 134 долларам. Представим данные о продажах с по­ мощью вектора-строки

а' = [58 26 8],

а соответствующие цены с помощью вектора-столбца

1

х2

3

Тогда общий доход от продажи трех товаров, равный 134 долларам, представляет собой сумму произведений элементов вектора-строки а' (количество проданных товаров) на соответствующие элементы х (цены указанных товаров). Так определяется а'х — произведение век­

28

тора-строки на вектор-столбец. Оно записывается следующим образом:

при этом какого-либо особого символа умножения векторов нет. Про­ изведение указанных векторов равно:

а'х = 58 X 1 + 26X2 + 8 x 3 = 134.

Приведенный пример помогает уяснить общую методику вычисле­ ния а'х: для этого каждый элемент вектора-строки а’ следует умно­ жить на соответствующий элемент вектора-столбца х и сложить полу­ ченные произведения. Полученная сумма равна а'х.

Таким образом, если

и л: содержат одинаковое количество элементов; в противном случае произведение а'х не может быть определено, оно не существует.

6) УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ВЕКТОР

Пример. В предыдущем примере говорилось о различных продажах товаров на внутреннем рынке. Но предположим, что указанная компа­ ния, кроме того, имеет отделения, занимающиеся продажей товаров другим фирмам и сбытом товаров за рубежом. В табл. 3 приведены дан­ ные о продажах товаров по каждому из отделений.

Т а б л и ц а 3

Группировка продаж по различным отделениям компании и видам продукции

29