книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике
.pdfПрежде чем дать формальное определение матрицы, введем неко торые математические обозначения, получившие широкое распрост ранение в матричной алгебре. (Читатели, знакомые с системой индексов и обозначений при сокращенной записи суммирования, могут опустить три следующих параграфа.)
3. ИНДЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
При описании арифметических действий в алгебре вместо чисел пользуются буквами. Так, первые две строки ранее приведенной матри цы, а именно
4 |
881 |
2 120 |
2 445' |
1 512 1 676 1825
можно записать в следующем виде:
аb e "
d е f ’
где а, b и с представляют собой соответственно числа 1881, 2120 и 2445. Эту матрицу, т. е. массив, рассматриваемый как самостоятельное еди ное целое, можно назвать А. Тогда мы можем записать:
а b с
4 =
d е f
Если мы будем таким образом обозначать элементы различными буквами, то, исчерпав все буквы от а до г, мы сможем обозначить только 26 элементов*. Поэтому необходима более гибкая система обозначений. Вместо того чтобы обозначать каждое число особой буквой, мы с по мощью одной буквы обозначим целый ряд чисел; для этого мы можем приписать к каждой букве снизу цифры, чтобы каждый элемент имел отличительные признаки. Тогда матрицу можно записать следующим образом:
ах |
а2 |
а3 |
bi |
ь2 |
ь3 \ ' |
Цифры 1,2 и 3 называются индексами, |
а элементы первой строки, на |
|
пример, читаются как «а один», «а два», «а три»**. В этом случае индек
сы обозначают столбец, |
к которому |
относится каждый элемент, тогда |
||
все элементы |
одного столбца будут |
иметь |
общий индекс, например, |
|
у элементов |
второго |
столбца — индекс |
2. |
|
На практике обычно одной буквой алфавита обозначают все элемен ты матрицы. Каждому элементу соответствуют два индекса, записывае-
* В латинском алфавите, как известно, насчитывается 26 букв. — Прим,
перев.
** По-английски они могут читаться не только «а, one», «а, two», «а, three»,
но и «а, sub one», «а, sub two», «а, sub three». — Прим, перев.
10
мые рядом; первый из них обозначает строку, а второй — столбец, которым принадлежит данный элемент матрицы. Следовательно, А можно записать в следующем виде:
Д |
__ Й 11 |
а 12 |
й 13 |
|
^ 2 1 |
^ 2 2 |
^ 2 3 |
Элементы такой матрицы |
читаются: |
«а один, один», «а один, два» |
|
и т. д. Таким образом, индексы элементов однозначно определяют место, занимаемое ими в матрице.
Точно так же, как мы буквой а обозначали численную величину, представленную элементом матрицы, мы можем другими буквами обо значать другие величины, например, обозначим ту или иную строку как «строку г», и если i равно 2, строка i будет означать вторую строку матрицы. Аналогичным образом буквой у мы можем обозначить номер столбца; тогда «столбец /», или «/-й столбец», при у = 3 будет означать третий столбец. Благодаря этому можно обозначить элемент, находя щийся в i-й строке и /-м столбце матрицы, как ац, взяв i и у в качестве индексов при букве а. Эти индексы характеризуют строку и столбец матрицы, которым принадлежит данный элемент; а12, например, распо ложен в первой строке и втором столбце. Тогда в общем случае ац оказывается расположенным на пересечении г'-й строки и у'-го столбца; следовательно, ац при i = 2 и у = 3 — это а23, элемент второй строки и третьего столбца. Запятая между индексами ставится только тогда, когда она необходима для того, чтобы избежать путаницы. Например, если в матрице двенадцать столбцов, элемент, относящийся к первой строке и двенадцатому столбцу, можно записать как а1Д2, отличая его тем самым от ап л —элемента одиннадцатой строки и второго столбца.
Такие обозначения позволяют в весьма компактной форме записать не только элементы строк и столбцов, но и целых матриц. Поэтому пер вая строка А
а1Ъ а12г а1з
может быть записана как
ац при у = 1, 2, 3.
Подобная запись означает, что элементами первой строки являются ац, причем у принимает по очереди значения 1,2 и 3. Таким же образом могут быть записаны столбцы. Для обозначения всей матрицы ац заключают в фигурные скобки, тогда запись выглядит следующим об разом:
А = {flyy} при i = 1, 2 и у = 1, 2, 3.
Такое обозначение полностью характеризует элементы матрицы, ее наименование и размеры. В общем случае в форме
А = {а,Д при i = 1,2, ..., г и у = 1, 2, ..., с
записывается матрица, имеющая г строк и с столбцов; многоточие означает, что i принимает все целые значения от 1 до г и у — все целые значения от 1 до с.
И
4. ОБОЗНАЧЕНИЕ ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ
Из всех арифметических действий наиболее часто выполняется сло жение чисел. С помощью индексных обозначений эту операцию легко записать в очень краткой форме. Предположим, мы хотим сложить пять чисел, обозначенных через аг, а2, а 3, ai и а5. Их сумма представит собой
ai + й2 + а3 + а4 + а5.
Это выражение можно прочесть следующим образом: «сумма всех зна чений flj при i = 1, 2, ..., 5». Выражение «сумма всех значений» обо значается прописной греческой буквой «сигма» —2. Соответствующая сумма значений а записывается как
2 а г при i = 1, 2, ..., 5.
Можно прибегнуть и к дальнейшим сокращениям. Вместо фразы «при i — 1, 2, ..., 5» можно приписать i = 1 и i = 5 под знаком 2 и над
г = 5
ним: 2 аг. Такая запись означает, что при суммировании i принимает
г=1
значения всех целых чисел от 1 до 5. Таким образом,
I — 5
Z аг п, а, \ a3 + a4-f а3.
г= 1
Существуют несколько различных обозначений операции суммиро вания. Так, над знаком 2 часто пишут не i = 5, а просто 5, поэто му наиболее распространенная форма записи выглядит следующим образом:
5
V аг = а]+ а:2 + Сз + а4 + а5. i= 1
Точно так же
з
V X; = хх + х2+ х3 1
/= 1Xi —Х]_ f-х2 [■Х3Т* ... Ь-^п—2 ГЛ'п—1 '
представляют собой сумму п чисел. Иногда выражения, записываемые под знаком 2 и над ним, опускаются, если их значения ясны из контек ста, а в некоторых случаях их записывают рядом со знаком 2 как верхний и нижний индексы:
1ХУьУ1+ Уг + Уч + У*-
12
Наименьшее значение i не обязательно равно 1: если под знаком 2 за писано i = 3, то
2 Hi — Уз +У&+Уь +Ув +Ут
Кроме того, хотя индексы, обозначающие операции суммирования, обычно представляют собой последовательность целых чисел, можно записать и пропуск в этой последовательности, например,
7
2 Уг = Уз +Уь +Ув +Ут
1= 3
iт 4
До сих пор все ранее приведенные символы употреблялись только для суммирования простых чисел, однако они могут обозначать и сум мы квадратов или произведений ряда чисел; в самом деле, суммирова ние выражений любого вида может быть записано с помощью индексных показателей. Так, сумму квадратов с\ + с\ + с\ + с\ можно записать как
4
i = 1
Аналогичным образом, если мы имеем дело с двумя наборами чисел Pi. р2 >Рз и <7ъ <7г. <?з> сумму их почленных произведений pxqx, p2q2, p 3q3 можно записать следующим образом:
з
2 Р1Я1=-Р1Я1+Р2Яг1-РаЯа-
i= 1
Указанные обозначения столь же удобны и в том случае, когда сум мируемые величины имеют два индекса: при суммировании по одному из них другой остается без изменения. Например, рассмотрим операцию
сложения величин ац по / при i — 1: |
|
|
|||||
|
з |
ai j ~ au + at2 + al3; |
|
||||
|
2 |
|
|||||
|
/= i |
|
|
|
|
|
|
или суммирование atj |
по i |
при / = |
2: |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
2 |
Oj2= <^12 |
®22> |
|
||
|
1= |
1 |
|
|
|
||
или в более общем виде: |
|
|
|
|
|
||
з |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
G l7 + a 2J- |
|
/= 1а И ~ а п |
“ 1“' a |
i2 |
+ a i3 |
и |
i= 1 |
||
|
|||||||
13
Если к тому же нужно просуммировать первое из этих выражений по i, возникает необходимость в «двойном сложении»:
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
2- |
аи \= |
2Z (fliirOi2 + fli3) = |
||||||||
;= 1 |
|||||||||||
/ = 1 |
/ |
|
i — |
1 |
|
|
|
|
|||
“ A/Al |
! - «12, |
I" ^1з) ' Ь(<^21 |
|
|
t ®22 ‘ Ь^2з)' |
||||||
Аналогичным образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
/ |
2 |
|
\ |
|
3 |
{ai r {-a2j)-= |
||||
— ( 2£ % ) = |
/= 1 |
||||||||||
/=1 \г=1 |
/ |
|
|
|
|
|
|||||
= (^ Т 1 |
|
^ 2 l ) |
“Г ( ^1 2 |
4 ' ^ 22) |
"1“ (®13 ~Ь ^2з)> |
||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ясно, что эта сумма равна 2 |
(2 аг;-). |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(=1 |
/=i |
скобок, |
|
|
приходим к важному ре |
|||
Записывая эти выражения |
без |
|
|
||||||||
зультату: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
з |
|
|
3 |
|
|
2 |
||
|
V |
у |
|
|
V |
V |
а |
||||
|
|
|
|
|
|
j . |
^ |
|
|||
|
г = 1 / = 1 |
|
/= 1г'= 1 |
||||||||
При двойном суммировании порядок записи слагаемых несуществен. В общем случае
т |
п |
т |
v |
V |
V |
г = 1 |
/ “ |
1 |
Допустим, что это выражение относится к матрице, имеющей т строк и п столбцов; в таком случае левая часть равенства характеризует сумму всех элементов матрицы, рассчитанную по строкам, а правая часть — сумму этих же элементов, рассчитанную по столбцам; обе ве личины равны полной сумме всех элементов.
Аналогичным образом можно записать и сумму квадратов и сумму произведений:
4
У afj = a a -f a h + а% + а?4,
/=1
з
— ац Ьи = аи Ьи + aOJ b2j -}-a3j b3j i — 1
^ aXj bjx — an bn -f- al2 62i 4- 0,13 b3l.
/= 1
Некоторые читатели могут усомниться: правильно ли в последнем вы ражении стоит / при bjly поскольку до сих пор в качестве первого ин декса мы все время брали г? Но не^ существует никаких жестких пра вил, предписывающих тот или иной порядок выбора индексов i и /; в качестве индекса может служить любая буква алфавита. И в этой кни
14
ге, |
и во многих других работах |
в |
качестве индексов приняты буквы |
|||||
i и |
/', однако это никоим образом не означает, |
что только эти буквы |
||||||
могут быть индексами, например, |
|
|
|
|||||
|
2 |
3 |
_ |
2 |
3 |
n _ |
2 |
3 |
|
V |
2 |
V |
V |
V |
V |
||
|
|
а ц! — |
JLJ |
|
apq |
SLi |
— |
|
|
= i /= i |
|
P=1 |
<?= 1 |
k= \ <= 1 |
|||
«114' «12+ «13 + аг1 + я22 + а23-
3
Приведенная сумма 2 может служить примером более об-
/'= 1
щего выражения:
2 «г/ = «а Ь1к+ ai2 b2h+ ai3 b3k + ...+ a in bnh, i= i
которое широко применяется при умножении матриц. Более подробно вопрос об умножении матриц рассматривается в следующей главе (па раграф 5), однако, предваряя последующее изложение, заметим, что если А и В представляют собой следующие матрицы
|
«11 |
«12 |
«13_ , B = |
bn |
b\2 bi3 |
|
b%i |
Ь22 ^23 |
|||
|
«21 |
«22 |
«23_ |
Ьз1 ^32 Ь3з |
|
2 |
аи bji —Пц Ьц -f- ai2 b2i ~Ба1з £>3i |
||||
/= |
i |
|
|
|
|
равно сумме почленных |
произведений |
элементов первой строки А |
|||
и первого столбца В. |
|
|
|
|
|
Аналогичным образом |
|
|
|
|
|
з |
«;/ bjk = ап blk + al2 bth + ai3 bSk |
||||
2 |
|||||
/= |
i |
|
|
|
|
представляет собой сумму почленных произведений элементов i-й стро ки А и k-то столбца В.
Отметим два других свойства операции сложения. Одно из них, например, характеризует суммирование элементов, не имеющих индек
сов, например:
4
2 х =-- х А~ х + х -\- х = 4 х . i= 1
Другое связано со сложением нескольких величин, каждая из которых умножается на одну и ту же постоянную величину, например,
2 |
kyt = ky1+ ky2+ky3= k ( 2 £/г) . |
t= i |
\/=i / |
15
Обобщая результаты наших вычислений, получаем:
^ х ^ п х и |
kyt - |
к ( ^ |
у;') . |
i= l |
<=1 |
\/=1 |
/ |
Таким образом, складывая от 1 до п одну и ту же постоянную величи ну, мы приходим к результату, равносильному умножению этой вели чины на п\ постоянный множитель может быть вынесен за знак сум мирования.
Существует также способ записи операции умножения с помощью знака, аналогичного 2 . Таким знаком служит прописная греческая буква «пи» — II; она обозначает перемножение всех членов, стоящих справа от нее. Следовательно, точно так же, как сумму элементов Ь, запишем
5
— th г= Ьх+ Ь24 b3-f- 64 -f Ьъ, i= 1
произведение этих же величин составит:
5
П bt .= Ьг Ь2 Ья 64 ьъ. i—1
С точки зрения техники вычислений Г1 эквивалентно 2, только те перь каждый раз нужно вместо сложения прибегать к умножению соответствующих величин.
5. ПРИМЕНЕНИЕ ТОЧКИ В КАЧЕСТВЕ ПОДПИСНОГО ИНДЕКСА
Часто можно встретить следующее сокращение:
т
2 аи — а.].
г= 1
Точка, стоящая вместо i, означает, что выполняется суммирование по индексу i. Поскольку обозначение a.j не указывает, вплоть до какого значения i ведется суммирование, им пользуются только в том случае, когда предел ясен из самого контекста. Наряду с a.j приняты также следующие обозначения:
п
at. = V аи
/= 1
т
>„ «1- = 1
п
Сг н /= 1
У
тп
V VJ i—1/= 1
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ
Матрица представляет собой прямоугольный (или квадратный) массив чисел, образующих строки и столбцы. Все строки и все столбцы имеют одинаковую длину. Пользуясь системой обозначений, описан
16
ных в параграфе 3, обозначим элемент г-й строки и /-го столбца матрицы А через аи-; тогда, если матрица А содержит г строк и с столбцов, ее можно записать таким образом:
Яц Яга «13 |
• • ац • • «ic |
|||
Я21 я22 Я23 |
• ■я2;- . • я2с |
|||
А = |
аг2 Я;3 |
• . аи |
. • |
ягс |
Яд |
||||
_ Яд |
яг2 «гз • . arj |
. • |
ягс |
|
Многоточия, например, в первой строке означают, что за элементами Цц , й12 и а13 последовательно идут аи , аи и т. д. вплоть до а1у- и дальше до а1с\ аналогичным образом в первом столбце за элементами ац , а21 последовательно идут а 31, а41 и т. д. вплоть до ат1. Для обозначения про пущенных элементов всей этой последовательности обычно пользуются стандартным приемом — многоточием. Подобная форма записи дает четкое представление об элементах матрицы, а также о ее размерах, т.е. о числе строк и столбцов. Можно обозначить матрицу и более кратко: А — {яд} при i = 1, 2, ..., г и / = 1, 2, ..., с, фигурные скобки озна чают, что представляет собой типичный элемент матрицы, а преде лами его по i и / соответственно служат г и с.
Будем называть ад- ij-м элементом, где первый из индексов указы вает строку, а второй — столбец, содержащий данный элемент. Таким образом, а23 находится на пересечении второй строки и третьего столб ца. Общие размеры матрицы, т. е. число строк и столбцов, называется ее порядком* (или, что то же самое, ее размерами). Таким образом, матрица А, содержащая г строк и с столбцов, имеет порядок г X с (чи тается: «г на с»). Для того чтобы показать размеры матрицы, ее записы вают в следующем виде: ЛгХс. Первый элемент первой строки матрицы, в данном случае ап , называется ведущим элементом матрицы. При мером матрицы порядка 2x3 может служить следующая матрица:
А2 X 3
4 О
—7 2.73
Заметим, что нуль является вполне законным элементом, что не все элементы должны иметь одинаковые знаки, и что целые числа и десятич ные дроби могут одновременно быть элементами одной и той же матрицы.
Когда г — с, т. е. когда число строк равно числу столбцов, матрица А представляет собой квадрат, и ее называют квадратной матрицей порядка г. В таком случае элементыаи , а22, а33, ..., аТТ называют диаго нальными элементами матрицы, а их сумму — следом матрицы, так
*В нашей литературе термин «порядок матрицы» чаще всего употребля ется, когда речь идет о квадратных матрицах. — Прим■ред.
Гсс. П.-0/..-.ЧН.'.Я |
17 |
|
|
нау чко-т «хн л-.еук-ля |
|
библиотека С<. OF |
|
<м fо г П ПС7ПЗ |
|
что, если А квадратна, след ее равен Нощ. След прямоугольной мат- 1
рицы не определяется.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, такую матрицу называют диагональной. Например,
3 |
0 |
0 |
0 — 17 |
0 |
|
0 |
0 |
99 |
представляет собой диагональную матрицу. Квадратные матрицы могут иметь и такой вид: все элементы над диагональю (или под ней) равны нулю; например,
1 |
5 |
13 |
2 |
0 |
0 |
В = 0 |
- 2 |
9 |
и С - 8 |
3 |
0 |
0 |
0 |
7 |
1 |
— 1 |
2 |
Такие матрицы обычно называются треугольными, причем В называет ся верхней треугольной матрицей, а С — нижней треугольной мат рицей.
Пример. Организация исходных данных в матричной форме может потребоваться в ходе принятия хозяйственных решений. Пример та кого применения матриц можно найти в работе Дермана [2], в которой рассматривается следующий вопрос: в каких случаях нужно сохранять старое оборудование и в каких принять решение о замене его новым. Этапы, характеризующие старение оборудования, Дерман представил как состояния исследуемой системы. Предположим, что эти состояния перечисляются как в первой строке, так и в самом левом столбце табли цы. ij-к элемент матрицы представляет собой вероятность того, что си стема, пребывая в некоторый момент в состоянии i (строка г), в следую щий момент, т. е. через единицу времени, окажется в состоянии / (стол бец /). Матрица, содержащая такие элементы, называется матрицей вероятностей перехода системы*. Численные значения ее элементов (вероятностей) зависят от принятия того или иного решения по поводу функционирования рассматриваемой системы.
Предположим, в частности, что определенная часть оборудования может либо нормально работать, либо нуждаться в налаживании. Если оборудование бесперебойно работает, тогда с вероятностью 0,90 оно будет в следующий период также функционировать нормально, а с вероятностью 0,10 оно будет через единицу времени нуждаться в нала живании. Теперь допустим, что оборудование требует налаживания
и что с вероятностью 0,99 оно и через единицу времени будет нуждаться
вналаживании, а с вероятностью 0,01 оно в следующий момент сможет само по себе прийти в нормальное состояние. Тогда все вероятности перехода можно свести в следующую таблицу.
*См.: |
Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. |
М., «Мир», |
1964, т. 1, с. 365—367. — Прим, перев. |
18
Вероятные состояния |
оборудования |
|
|
Н а конец периода |
|
Н а начало периода |
н ормальное |
т р ебу ется |
|
функционирова |
н ал а ж и в ан и е |
|
ние |
|
|
|
|
Нормальное функционирование . . . |
Верот тности |
|
0,90 |
0,10 |
|
Требуется н ал аж и в ан и е .................... |
0,01 |
0,99 |
Тогда матрица вероятностей перехода будет иметь следующий вид:
'0,90 0,10 '
0,01 0,99
Заметим, что сумма значений вероятности по любой строке равна еди нице. Это справедливо для любой матрицы вероятностей перехода, так как после перехода система должна будет характеризоваться одним из допустимых состояний. В общем виде матрица вероятностей перехода выглядит следующим образом:
|
Рп |
Pl<l |
Pl3 |
••• |
Plm |
|
р |
Р21 |
Р22 |
7*23 |
••• |
Pim |
_ |
_ РтХ |
P m i |
РтЗ |
• • • |
Ртт _ |
|
|
{рц} |
при |
г, у - |
1, |
2, ..., |
т, |
|
где рц — вероятность того, что система, находясь в состоянии г, через какую-то заданную единицу времени перейдет в состояние у. Приняв определенные допущения относительно различных значений р и опи раясь на математическую статистику и матричную алгебру, можно прийти к некоторым выводам относительно достоинств и недостатков той или иной хозяйственной стратегии. Матричную форму записи по лезно применять при решении многих хозяйственных задач, в связи
сэтим в дальнейшем изложении мы неоднократно будем прибегать
кматрицам для того, чтобы оформить, сводя воедино, всю информацию о вероятностях перехода.
7.ВЕКТОРНЫЕ И СКАЛЯРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Матрица, состоящая только из одного столбца, называется векторомстолбцом, например, выражение
3
•2
х =
0
1
19