книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике

Пример. В табл. 1 приводятся данные, характеризующие чис­ ло деталей, необходимых для изготовления трех видов игрушек. Пусть Xi представляет число игрушек вида i (i = 1 , 2, 3), затребованных в за­ казе, a t/j — общее число деталей типа / (/ = 1 , 2, 3), необходимых для сборки игрушек при полном удовлетворении заказа на них. Тогда об­ щее число деталей может быть выражено в виде уравнений следующим образом:

Эти уравнения можно записать в матричном виде:

Таким образом, вектор игрушек преобразован путем умножения на

в вектор у, то линейное преобразование записывается как

у = Ах.

Общее линейное преобразование у = Ах обычно служит для ха­ рактеристики того, что у может быть получен как преобразование х.

50

Предположим, что мы хотим определить потребность в сырьё, нужном для изготовления деталей, чтобы составить соответствующий заказ. Эти потребности могли бы быть определены подстановкой значений уи у 2 и у 3, определяемых уравнениями (1), в уравнения (3). Однако мат­ ричная запись выражений (3)

позволяет выполнить эту подстановку также в матричной форме. Подстановка (2) в (4) дает

Умножение матриц в правой части уравнения приводит к следующему результату.

Трудоемкость такого преобразования меньше, чем трудоемкость пря­ мой алгебраической подстановки уравнений (1) в (3). Но эта разница в трудоемкости была бы еще больше, если бы число переменных бы­ ло больше, чем в данном примере. Основные усилия, связанные с пе­ реходом от выражения (5) к (6), реализуемом с помощью умножения матриц, сводятся к выполнению единственной арифметической опера­ ции,- которая в настоящее время легко выполняется на быстродей­ ствующей ЭВМ даже в тех случаях, когда имеется большое число переменных.

Только что приведенная иллюстрация является примером общего результата, согласно которому, если у — Ах и х = Bw, то у — ABw. Это справедливо для любых векторов х, у, w и любых матриц А и В.

51

2. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

Пример. Когда мы впервые ввели понятие матрицы (см. параграф 2 главы I), был приведен пример, в котором рассматривались средние цены автомобилей при четырех различных сроках службы. Данные об этих ценах, приведенные за три года, были представлены в виде матри­ цы размером 4x3:

"1881 2120 2445"

1512 1676 1825

1261 1397 1484

1054 1144 1218

где строки относятся к сроку службы, а столбцы — к годам. В той ме­ ре, в какой это связано с характеристикой цен на автомобили, такой выбор строк матрицы полностью произволен и мы могли бы сразу же поменять местами строки и столбцы без какой-либо потери информации, получив строки для отдельных лет и столбцы для сроков службы. В этом случае цены были бы расположены следующим образом:

Хотя элементы этой матрицы те же, что и у первой, обе матрицы в соот­ ветствии с определением равенства матриц неодинаковы. В самом деле, у них даже разные размеры. Взаимосвязь между ними проявляется в том, что строки одной матрицы являются столбцами другой. В то время как первая матрица имеет размеры 4x3, размер второй матрицы 3x4. Когда матрицы связаны подобным образом, то говорят, что каж­ дая из них является транспонированной матрицей относительно дру­ гой. Например, В есть транспонированная матрица Л, а Л — транспо­ нированная матрица В.

В общем транспонированная матрица есть матрица, чьи столбцы являются строками А при сохранении их порядка (от первого к послед­ нему). Транспонирование записывается как А'. Строка Л' соответст­ вует столбцу А. Если А имеет размеры г X с, то размеры А' — с X г; если atj —элемент строки i и столбца j матрицы Л, то он может быть

52

понированной матрицей А'гХс могут иметь двоякий смысл: остается неясным, имеет ли матрица А размеры гХ с или это размеры матрицы А '. В последнем случае предполагается, что у матрицы Л размеры сХг. Для ясности, в тех случаях, когда необходимо ввести подписные значки, обозначающие размеры транспонированной матрицы, следует выбрать одну из эквивалентных форм записи: (ЛГХс)' или (Л')сХг.

Теперь рассмотрим свойства и следствия операции транспонирова­ ния.

а) РЕФЛЕКСИВНАЯ ОПЕРАЦИЯ

Транспонирование является рефлексивным. Это значит, что тран­ спонирование транспонированной матрицы есть сама матрица, т. е. (Л')' = Л. Это может быть показано следующим образом:

б) ВЕКТОРЫ

Транспонирование вектора-строки дает вектор-столбец, и наобо­ рот. Например, транспонирование

дает х' = [ 1 6 4].

Это совместимо с уже введенным обозначением, согласно которому вектор-строка обозначается верхним штрихом. Этот значок указывает на то, что вектор-строка есть транспонированный вектор-столбец, содержащий те же элементы, и отличает его от этого вектора-столбца.

в) СУММЫ

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц. Если

Л + В = С = {си } = {аи + Ьи },

тогда

(Л ~Ь В)' = С' = {с,/} = {cji} = {ciji 4~ Ьл} = {ciji} -j- {bji}

и, таким образом,

(Л + ву = А' + В'.

53

г) П Р О И З В Е Д Е Н И Е

Транспонирование произведения матриц равно произведению транс­ понированных матриц, взятых в обратном порядке1, т. е. (АВ)' = В 'А '.

Пример.

Рассмотрение размеров и условий перемножения матриц подтверждает этот результат. Если А есть матрица г X s и В — матрица s X t, то размеры произведения Р = АВ составят г X t. Однако А ' имеет раз­ меры s х г, а В' — t X s, и единственное произведение, которое может быть получено на основе этих матриц, следующее:

Bfxs AsX.r — Q txr•

То, что матрица Q = В 'А ' является транспонированной матрицей Р = АВ, вытекает также из определения произведения матриц: ij-й элемент Q равен скалярному произведению i-й строки В' и /-го столбца А'\ кроме того, этот элемент равен скалярному произведению t'-ro столбца В и /-й строки А, а это, по определению операции умножения, есть ji-й член матрицы Р. Отсюда Q — Р' или В'А ' = (АВ)'.

Прямое обобщение результата, полученного для транспонирования произведения двух матриц, приводит к следующему:

(ABCD)' = D'C'B'A' и т. д.

д) СИММЕТРИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ

Пример. Когда две переменные лу и х 2 находятся в некотором соот­ ветствии друг сдругом, то говорят, что они коррелируют. Степень кор­ реляции между переменными измеряется с помощью коэффициента кор­ реляции. Коэффициенты корреляции имеют величину, находящуюся в пределах от —1,0 до 1,0. Отрицательные значения указывают на об­ ратную зависимость между переменными (если одна растет, то другая имеет тенденцию к уменьшению), а положительные значения указы­ вают на прямую зависимость (если одна растет, то вторая также имеет

(АВ)' = С = {с;,} = {сл) = { | ajk Ц = { I a k}’ Ц = j | b[k а ' у.( = В ' А ' ,

54

тенденцию к росту). Чем больше абсолютное'значение коэффициента корреляции, тем сильнее взаимосвязь между переменными, причем экстремальные его значения —1,0 и 1,0 характеризуют полную линей­ ную зависимость между переменными.

Дарлинг и Ловел [3] в своем исследовании факторов, влияющих на инвестиции в запасы, определили коэффициенты корреляции между всеми парами следующих переменных: изменение общей величины хо­ зяйственных запасов (А/), степень использования производственных мощностей (С) и сумма совокупного оборота с поправкой на сезонность

(S). Коэффициенты корреляции представлены в табл. 3.

Коэффициент корреляции использования мощностей и изменения объема запасов (0,27) совпадает с коэффициентом корреляции объема запасов и использования мощностей; элементы матрицы расположены симметрично относительно диагонали. Так, коэффициент 0,27 выступает как элемент первой строки и второго столбца и как элемент второй строки и первого столбца. Свойствосимметричности относится ко всем элементам, не лежащим на диагонали. В результате этого эле­ менты любой строки совпадают с элементами соответствующего столб­ ца. Следовательно, транспонированная матрица равна самой матрице. Такая матрица называется симметрической; по определению она квад­ ратна.

Квадратная матрица определяется как симметрическая, когда она равна результату транспонирования, т. е. А симметрична, когда Л =

Всвязи с симметрией матриц мы можем сделать три вывода:

1.Произведение двух симметрических матриц существует только тогда, когда матрицы имеют один и тот же порядок; само произведение

не обязательно симметрично. Таким образом, если А — А ' и В = В ’, то А и В симметричны и, следовательно, квадратны. Для того чтобы существовало произведение АВ, они должны иметь один и тот же поря­

5 5

док. Транспонируем произведение матриц, предполагая, что они имеют одинаковый порядок:

(ЛВ)' = В'А ' = ВА.

Произведение АВ не обязательно симметрично. Пример. Пусть

Ясно, что ЛВ не симметрично.

2. Произведение матрицы и результата ее транспонирования сим метрично. Так,

(АА'У = (А')'А' = АА ',

(А'А)' = А' (А')' = А'А.

Хотя оба произведения АА ' и А ’А симметричны, они не обязательно равны друг другу.

Пример. Если

же порядка, дает скаляр и, следовательно, это произведение симметрич­ но, т. е. х'у = (х'у)' = у’х.

Пример. Если х' = [1 2 3] и у' = [4 3 7], то

х'у — 31 = у'х.

56

3. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Пусть имеются векторы

х' = [хх х2 х 3] и у' = [г/х у 2 г/3],

элементы которых суть скаляры. Рассмотрим произведение х'Ау, где Л — некоторая матрица третьего порядка. Например,

= г/i + 4х2 г/х + 2х3г/х + 2хх у2+ 7х2г/2—

—2х3у2+ Зхх //3+ 6х2г/3+ 5х3 г/3.

В результате получим функцию второй степени, в которой каждая из переменных х я у имеет первую степень, а каждый член содержит про­ изведение одного х и одного у. Такая функция называется билинейной формой.

Предположим, что у заменяется вектором х. Тогда

Мы получили квадратичную функцию переменных х, которая назы­ вается квадратичной формой. Приведенное разложение делает очевид­ ными два свойства. Во-первых, из уравнения (7) следует, что х'Ах — сумма произведений всех возможных пар хг, умноженных на элемент матрицы Л; например, второй член уравнения (7) 4х2хх есть произведе­ ние х2хХ) умноженное на элемент Л, находящийся во второй строке и первом столбце. Во-вторых, при упрощении выражения (7) видно (см. уравнение (8)), что, например, коэффициент при ххх2 есть сумма двух элементов матрицы Л — из первого столбца второй строки и вто­ рого столбца первой строки. Эти выводы имеют общий характер.

57

Если х — вектор порядка п с элементами хг (i = 1, 2, п) и если А представляет собой квадратную матрицу того же порядка, содержа­

Возвращаясь к нашему примеру, заметим, что подобно тому, как выражение (9) было получено из уравнения (8), оно так же может быть записано с помощью уравнения (10):

х'Ах = х\ -|- 7х2 5x1 -f- Х]Х2 (1 ~Ь 5) -f- Х]Х3 (1 -j- 4) -Ь х2х3 (0 -Ь 4).

При таком подходе мы видим, что произведение

где В отличается от Л. Заметим, что приведенные квадратичные формы идентичны, хотя соответствующие матрицы и не одинаковы. Действи­ тельно, матрица Л — не единственная матрица, с помощью которой можно представить некую конкретную квадратичную форму в виде х'Ах. Для этого могут быть использованы различные матрицы. Каждая из них должна иметь те же самые диагональные элементы и суммы каж­ дой пары симметричных относительно главной диагонали элементов atj и ад. Например, уравнение (9) может быть также выражено в виде

58

где А теперь симметрическая матрица и как таковая она единственная. Для любой квадратичной формы существует единственная симметри­ ческая матрица А, с помощью которой данная квадратичная форма мо­ жет быть выражена как х'Ах. В каждом частном случае она может быть найдена путем представления квадратичной формы х'Ах (где матрица

Ане является симметрической) в виде

х' Д м - М ') X,

где у {А + А') симметрична.

Например, если А — это матрица уравнения (11), то -^(Л + А') сим­

метрическая матрица уравнения (12).

Пусть А — симметрическая матрица, где ai} — ajt, тогда из урав­ нения (10) следует, что квадратичная форма х'Ах может быть выражена

Например, если А — симметрическая матрица, то

= вц x i -Ь а 22 х 2 + «зз *3 + 2 (а12 Xi х2+ %з хгх3+ а23х2х3).

Пример. Часто нам необходимо определить на основе данных эко­ номического обследования выборочную среднюю и дисперсию. Пред­ положим, вектор х' = [хх х2 х3 ...хп] характеризует п наблюдений. Тогда средняя арифметическая этих наблюдений равна:

П

2 *

х =

п

59