книги из ГПНТБ / Сирл, С. Матричная алгебра в экономике
.pdfВыборочная дисперсия s2 определяется через сумму квадратов откло
нений от средней (SS), а именно s2 = |
где |
|
|
S5 = 2 |
(хг—х)2= |
2 х?—пх2• |
(13) |
i= 1 |
|
<=1 |
|
В матричном виде первый член правой части уравнения (13) можно записать следующим образом:
|
V* |
о |
|
|
|
|
|
|
> |
V" |
[XiХ2• • • хп] |
|
~=Х X, |
||
|
|
Xi : |
|
||||
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
а второй как |
|
|
|
|
|
|
|
|
"2 |
—п ( — |
Y = ( X xi) — с |
м : |
|||
|
ПХ |
||||||
|
|
\ |
п |
; |
п |
|
|
|
|
_ 1 |
1 |
1 |
- |
Ун |
|
|
|
п |
п |
п |
|
А1 |
|
|
|
|
х2 |
—х' £/„ х, |
|||
|
;[*1 х2...х„] |
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
• |
|
|
|
L- п |
п |
п |
- 1 |
|
|
где |
есть квадратная матрица порядка п, |
каждый элемент которой |
|||||
равен X Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
SS = х'х — х' |
Unx = х' (I — Un)x, |
|||||
где (/ — Un) есть симметрическая матрица порядка п, каждый диаго
нальный элемент которой равен (l — ~J, а все недиагональные эле-
1
менты равны ——.
Квадратичная форма х'Ах, принимающая положительные значения при любых х, отличных от х = 0 (нулевой вектор), называется поло жительно определенной квадратичной формой. Если х'Ах принимает
положительные значения или |
равно нулю при всех х', |
отличных от |
|
х = 0 (т. е. х'Ах = 0 при некоторых х ф 0), то |
эту |
квадратичную |
|
форму называют положительно |
полуопределенной. |
Вместо термина по |
|
ложительно полуопределенная иногда применяют термин неотрицатель но определенная. Когда х'Ах является положительно определенной формой, соответствующая матрица А также называется положительно определенной; если х'Ах — это положительно полуопределенная квад ратичная форма, то А есть положительно полуопределенная матрица.
Аналогично сказанному употребляются термины отрицательно опре деленная и отрицательно полуопределенная.
В приведенном примере сумма квадратов S5 может служить при мером положительно полуопределенной квадратичной формы, по
60
скольку она никогда не может быть отрицательной (если все xt имеют одно значение, то сумма квадратов равна 0). Следовательно, х' (/ —
— Un)x есть положительно полуопределенная квадратичная форма, а (/ — Un) — положительно полуопределенная матрица. Эти термины часто встречаются в расширенных курсах математической статистики, в математическом программировании и соответствующих приложениях
кэкономике.
4.РАСЧЛЕНЕНИЕ МАТРИЦ
Пример. Предположим, что для определения потенциального сбыта нового продукта проводятся исследования рынка, охватывающие три района. Продукт выпускается двух сортов (высшего и стандартного); задано четыре возможных набора цен. Пробная продажа предусматри вала сбыт продуктов двух сортов в четырех зонах сбыта в пределах рай она, по одному набору цен на каждую зону. Число единиц продукта, проданных в ходе эксперимента в первом районе при четырех наборах цен, можно записать следующим образом:
180 30 70 90
А =
150 190 190 70 ’
где строки соответствуют сорту, а столбцы относятся к различным набо рам цен. Показатели сбыта для двух других районов, в которых про водились испытания, характеризуются матрицами А /и А 3. Аналогично этому количество проданного продукта при другом исследовании пред ставлено матрицами Вг>В 2 и В 3. Полная запись данных о сбыте может быть сделана с помощью матриц Alt А 2, А 3 и Въ В 2, В 3в виде сводной матрицы
'А1 А
Ав а
со1--- S3J
Таким образом, матрица С, содержащая подробные данные о сбыте, имеет четыре строки и двенадцать столбцов. Однако она представлена как матрица, состоящая из шести матриц меньших размеров, каждая из которых имеет две строки и четыре столбца. В такой записи матрица С называется расчлененной матрицей, а матрицы А и В называются подматрицами С.
Пример. Рассмотрим матрицу
1 |
6 |
8 |
9 |
3 |
8 |
2 |
4 |
1 |
6 |
1 |
1 |
4 |
3 |
6 |
1 |
2 |
1 |
9- |
1 |
4 |
6 |
8 |
7 |
6 |
8 |
1 |
4 |
3 |
2 |
61
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
Введем следующие подматрицы: |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
6 |
8 |
9“ |
|
3 |
8' |
|
|
2 |
4 |
1 |
6 |
, |
^12 — 1 |
1 |
|
|
_4 |
3 |
6 |
1 |
|
2 |
1_ |
В |
|
9 |
1 4 |
|
6 |
И |
'8 |
7 |
21 |
6 |
8 |
1 4 |
В22— |
2 |
|||
|
|
|
3 |
|||||
Матрица В теперь может быть записана в расчлененном виде:
^21 В22
где 5 и , В12, 5 21 и б 22 являются подматрицами 5.
В этом примере Вп и В21 имеют одно и то же число столбцов. Ска занное относится к В12 и 5 22; кроме того, у 5 Х1 и 5 12 одинаковое число строк. Совпадает число строк и у В21 и 5 22. Нами рассмотрен обычный
метод расчленения, |
который в общем случае для матрицы г X с можно |
||
записать следующим образом: |
|
|
|
л |
_ K p X q |
L p x ( c - q ) |
> |
n rXc — |
Л (г—p )x (c - q ) _ |
||
|
М- (r - p )X q |
|
|
где К, L, М и N — это подматрицы, индексы которых указывают на их размеры.
Процесс расчленения не ограничивается делением матрицы только
на четыре подматрицы, она |
может быть расчленена на множество |
||||
строк и столбцов. Так, если в предыдущем примере |
|||||
"1 |
6 |
8 |
9 |
3 |
8' |
в 01— 2 4 |
1 6 » |
Д)2— 1 |
1 |
||
в и = [4 |
3 |
6 |
1] |
и В*12 = [2 |
1 ) |
при заданных ранее В21 и В22, то 5 в расчлененном виде может быть за писана как
В01 |
В02 |
В — B\i |
в \ г |
.В21 |
В22- |
В общем матрица А размером pXq может быть разбита на г строк и с столбцов подматриц
~ А1г А12 • • А1е
А = |
^21 |
А22 •.. А2с |
|
|
|
|
_ Ari |
Ат2 .. • Arc _ |
62
где A i} представляет собой подматрицу, находящуюся в i-й строке и /-м столбце матрицы А. Если г-я строка подматрицы охватывает p t строк элементов и /-й столбец подматрицы содержит qi столбцов, то A имеет размеры pt X q}, причем
ГС
1 ]Р г = Р и V q} = qt г < р и
/=1 /=1
5. УМНОЖЕНИЕ РАСЧЛЕНЕННЫХ МАТРИЦ
Расчленение матриц находит наибольшее применение в матричном умножении. Если две матрицы А и В так разбиты, что их подматрицы пригодны для перемножения, то произведение АВ может быть пред ставлено в расчлененном виде, причем подматрицы этого произведения оказываются функциями подматриц Л и Б.
Например, если
|
|
Л — |
|
^ 1 2 |
И В = 'Я н ' |
|
|
|
|
> 2 1 |
Л22 |
|
_Я21 . |
|
ЛБ = |
Ац |
> 2 |
'Я н ' |
|
Лц Яц + Л12Б21 |
|
|
_Л21 |
^ 22_ |
Я21 |
|
>21 Вп ф ^22 Я21 |
то существуют произведения ЛПВП, |
Л12Б 21, Л 21Вц и Л22Б 21, причем |
|||||
А1гВи и Л12В21 можно суммировать. |
То же можно сказать и о Л 21БИ |
|||||
и Л 22В21. |
Это означает, что Ли |
(и |
Л21) должны иметь столько же |
|||
столбцов, |
сколько |
строк у Вп ] аналогично Л12 (и Л 22) должны иметь |
||||
СТОЛЬКО столбцов, |
СКОЛЬКО строк у В 21- |
|||||
При умножении двух надлежащим образом расчлененных матриц подматрицы каждой из них выступают в качестве элементов обычного произведения матриц. Отдельные элементы этого произведения опре
деляют обычным путем |
через произведения подматриц. Так, если |
||||
матрица |
|
|
|
|
|
х = |
«п |
«12 |
*11 |
*12 |
*13 |
«21 |
«22 |
*21 |
*22 |
*23 |
|
|
|
«12 |
С?11 |
>2 |
^13- |
разбита на подматрицы следующим образом:
'Л |
В" |
с |
DJ |
а матрица |
|
> 11 |
Pl2 |
р21 |
Р22 |
<7и |
Ц\2 |
?21 |
Q22 |
Яз\ |
Q32 |
63
записана как
У - ГР]
Q
то
X Y ._ APYBQ
" LCP + DQ '
Пример. Феллер [4, стр. 355; перевод— стр. 383] приводит спе циальный пример матрицы вероятностей перехода Р = { р ;;}, где рг;-— вероятность перехода из состояния г в состояние /. Матрица Р в этом примере может быть разбита следующим образом:
' А 0 0
р=- 0 в 0
. U г Уг т _
В общем случае можно показать, что
~ Ап 0 0
Р" - 0 Вп 0
V* Vn J'n
где
и п = и гА"-1 + Т и п-1 и V ^ V ^ - ' + T V ^ .
Такое преобразование позволяет подсчитать Рп, возводя в соответст вующую степень ее подматрицы.
6. ПРИЛОЖЕНИЕ
КОВАРИАЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ
Матрицы, элементы которых представляют собой дисперсии и ко вариации ряда случайных переменных, важны для статистического ана лиза. При рассмотрении таких матриц будут затронуты многие вопросы, обсужденные в этой главе.
Предположим, мы имеем дело с двумя случайными переменными хг и х2, чьи средние арифметические равны соответственно рх и р2. Обозначая математическое ожидание символом Е, получим Е (лу) = pt
и Е (х2) = р2-
Пусть
Х\ |
и р = |
|
тогда
Pi’
V =L.ет—1
Е (х) = Е |
Pi = р. |
_*^2 . |
. ^2. |
6 4
Транспонирование результата дает
1Е (х)Г = Е (х) = р '.
Рассмотрим теперь дисперсии, определяемые как
<А = Е (х х — рх)2 и а\ = Е (х 2 — р2)2, |
(14) |
и ковариации, получаемые следующим образом1:
|
а12 = Е {(х х — |
М'х)(ЛГ2 — Рг) }• |
|
||||
Результаты |
могут |
быть представлены в |
виде следующей |
матрицы, |
|||
|
|
|
v = |
el |
сг121 |
’ |
|
|
|
|
|
012 |
°l J |
|
|
которая вданном случае равна |
|
|
|
||||
V- |
\E (Xi — Pi)2 |
|
|
Е {хх |
fXj) (х2 \i2) __ |
|
|
Е (Xi — рх) (х2 |
р2) |
Е ( х 2 — }ч У |
|
||||
|
|
||||||
|
*1— 1*1 |
[Xj |
х2-~-р2] =--£[х —р] [х —р]\ |
||||
|
|
*1 |
|||||
|
* 2 |
Ш |
|
|
|
|
|
Это выражение можно переписать: |
|
|
|
||||
V = |
Е [х — рПх' — \i'\ |
— Е [х —■Е (х)Ях' — Е (х')1. |
(15) |
||||
Окончательный результат может служить матричным аналогом определения дисперсии одной переменной (см. (14)). Он распростра няется на любое число переменных, включенных в вектор х. Предпо ложим, что х1( х2, ..., хп представляют п случайных переменных со
средними рх, |
р2, ..., рп, дисперсиями of, |
...» о2 и ковариациями |
||
а12, а13, ..., а1п, а23, ..., ст2п, |
..., |
an- h п. Если |
случайные переменные |
|
представлены |
вектором х' = |
[хх |
х2 ... хп], а |
их средние — вектором |
р/ == [рх р2 |
pj> то Е (х') = |
р' и Е (х) == |
р. Дисперсии и кова |
|
риации в матричной форме могут быть записаны следующим образом:
^12 • • °1П
сг2 ■е2п
Var (х) --- V =-----
и2 *’
°2п *■■eh ..
Эта матрица симметрическая: V' — V. Ее диагональный член, нахо дящийся в строке г, представляет собой дисперсию переменной хг,
1Фигурные скобки в этом выражении указывают на то, что операция вычис ления математического ожидания относится ко всему произведению целиком. В целях упрощения эти скобки далее будут опускаться.
3 Зак, 425 |
6 5 |
а ее t'/'-й член (г Ф /) характеризует ковариацию хг и Xj. Данная матри ца известна как ковариационная матрица элементов вектора х. Из ос новных определений дисперсии и ковариации, а именно
|
|
|
G? = |
Е (Xi — рг)2 |
|
|
И |
O ^ j |
Е (X j |
Р гН -Т / |
Р у ) |
i ф ^ /', |
|
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = Е (х — р)(х' — р')- |
(16) |
||
Если соответствующие средние равны нулю (р = |
0), то, следовательно, |
|||||
|
|
|
V = |
Е (хх'). |
|
(17) |
К таким формам часто прибегают в многомерном анализе: с их помощью можно наиболее эффективным образом сократить записи. С этой точки зрения удобны и матричные обозначения в тех случаях, когда рассмат ривается некоторое линейное преобразование у = Тх и требуется опре делить ковариационную матрицу элементов вектора у. Вектор средних значений переменных равен:
Е (у) = Е (Тх) = ТЕ (х) = Гр,
причем
Е (у') = (Гр)' = р 'Г .
По аналогии с (15) ковариационная матрица переменных у равна:
Var (у) = Е [у — Е (у)][уг — Е (у')].
Подставляя у — Тх |
и Е (у) = Гр и их транспонированные величины |
в полученное выше |
выражение, находим |
Var (у) = |
Е [Тх — ГрНх'Г — р 'Г ] |
= |
|
= ЕТ [х — рНх' — р ']Г |
= ТЕ [х — р][х' — р']Г', |
||
и на основе (16): |
|
|
|
|
Var (у) = |
T V T . |
|
Полученный результат |
|
|
|
Var (у) |
= Var (Тх) = TVar (х)Г' |
(18) |
|
будет ковариационной матрицей любой системы линейных комбинаций у = Тх. Он применим к любому числу линейных комбинаций с любым числом переменных.
Если у представляет собой одну переменную,,т. е. является простой линейной функцией переменных х, мы имеем дело с частным случаем приведенных рассуждений. Тогда Г соответствует вектору-строке V
66
и var (у) = t'Vt — тоже скалярная величина1. Поскольку var (у) представляет собой дисперсию, то ее значения всегда неотрицательны,
и, следовательно, это |
же относится и к t'Vt, отсюда V—положитель |
но полуопределенная |
симметрическая матрица. Это справедливо для |
любой ковариационной матрицы.
Пример. Полезным примером таких преобразований может служить операция, которую часто называют нормализацией или приведением к стандартной шкале. Рассмотрим следующий случай: даны переменные хг и х2 со средними рх и р2, дисперсиями of и of и ковариацией о12. Прежде всего примем
У1 "*i —H-i "
У=
_У2. *^2 1^2
Тогда
Е(у) = Е (х — р) = О
ис помощью (17) получим:
Var (у) = Е (уу') = Е {х—щ) (х' — р') = Var (х) |
-= V |
of |
°l2 |
||||||||
°12 |
<*a |
||||||||||
Пусть теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
— |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т = |
<ji |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
0 |
|
|
|
(Xi — Hi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Oi |
|
|
* 1 |
P i |
01 |
|
|
|
|
|
|
0 |
— |
|
X 2 — |
2 |
( х 2 — ц 2) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
02 |
|
|
|
02 |
|
|
|
Тогда г представляет |
собой вектор нормализованных переменных х. |
||||||||||
Из выражения (18) следует |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
О |
|
_1_ |
О |
||
|
|
|
|
|
|
О |
|
||||
Var (2) = Т Var (у) V - TVT’ |
|
|
o f |
|
|
||||||
|
|
012 |
О; |
О |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
а2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
о 12 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ох |
02 |
Т |
р! |
|
|
||
|
|
|
|
Ol2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Р |
U ’ |
|
|
||
|
|
|
|
щ а2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1К ром е того , |
есл и х |
— |
с к а л я р н а я |
в еличина , то t т а к ж е ск а л я р н а я |
вели ч и на и |
||||||
var (у) = var (tx) |
= t \ a r |
(x) t |
= /2var |
(x). |
|
|
|
|
|
||
3 |
67 |
причем символ р = ~~~ означает коэффициент корреляции между
и х2; иными словами, ковариационная матрица нормализованных коэффициентов равна корреляционной матрице. Заметим, что пере менные Zi и z2 имеют средние, равные нулю, и дисперсии, равные еди нице. В связи с этим их называют нормализованными или стандарти зированными.
Упражнения
1. Допустим, что х и у — это векторы-столбцы размера п-Х 1, а А и В — матрицы размера п X п. Какие из приведенных выражений являются неопре делимыми? Ограничимся теперь теми выражениями, которые можно определить; к какому виду они относятся (билинейные формы, квадратичные формы или линейные преобразования)?
а) у = Ах, |
|
б) х’ = у’В ', |
|
|
|||
в) ху'= А ’В, |
|
г) х'Ау, |
|
|
|
||
д) х’Вх, |
|
е) у'А'Ву, |
|
|
|
||
ж) у В х , |
|
з) ху' = В', |
|
|
|
||
и) у’В’Ах, |
|
к) |
у + |
| 40 |
|
АВ 'х при п = 2. |
|
2. Пусть в упражнении |
1 |
|
|
|
|
||
А = |
1 |
Г , |
в = |
3 |
6' , |
X — г |
и у = '3' |
|
2 |
1 |
|
4 |
8 |
2 |
4 |
Проверьте справедливость тех уравнений, которые можно определить; подсчитайте величину остальных определимых выражений.
3.Пусть
X = '*Г , у= "уГ х2_ Да.
а матрицы А и В — те же, что и в упражнении 2. Выполнив умножение, выпи шите выражения а, б, г, д, е, и из упражнения 1.
4.Пусть
|
|
|
|
|
|
|
” |
г |
|
г |
|
|
|
3 6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
’ 1 |
. у= |
|
|
|
|
.2 1. , в = 0 — 1 — 1 |
. д: = |
|
—1 |
||||
|
|
|
1_ |
1 ? |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Покажите, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
'3 |
—2 7 |
8 " _ |
|
|
|
|
|
|
А 'В = |
|
13J’ ■ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6 — 1 17 |
|
|
|
|
|
|
||
б) |
|
|
6 8 " |
6 — 8 |
10 |
20" = А В + А 'В : |
|
|||
[ А + А '\ В = 8 2 . В = |
8 — 2 |
22 |
18. |
|
|
|
||||
в) |
влед |
ВВ' |
равен |
следу |
В'В, |
т. е. |
17; |
|
|
|
г) х В'Вх = 5 — (Вх)' Вх\
д) у 'А 'А у = 10 =-■= (Ау)’ Ау.
68
5. |
П о к а ж и т е , что |
п р и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/1/6 |
1/1/3 |
|
1/1/2' |
. </ = |
'//] |
ИЛ' -- -Г2 |
|||
|
В — — 2/1/6 |
1/1/3 |
|
0 |
-1/3. |
|||||
|
. 1/1/6 1/1/3 —1/1/2. |
|
|
_*3„ |
||||||
а) В'В =■-- В В' = /; |
|
|
|
х = х\ |
+ х\ |
г х\ |
(рассчитайте с помощью |
|||
б) х'В 'Вх —- (В*)' |
Вх — х’ {В’В) |
|||||||||
указанных трех способов); |
|
х3у 3. |
|
|
|
|
||||
в) |
х 'В ’Ву == ххуг + х2у2 г |
|
|
|
|
|||||
6 . |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
3 |
0 |
3 |
2 |
|
— 1 |
0 |
8 |
3 |
|
л = |
0 — 1 5 0 |
и В — 0 — 2 —7 —1 |
|||||||
|
— |
1 |
6 |
0 |
8 |
|
— 1 |
3 |
0 |
2 |
найдите А А ', В В ', АВ' и В Л ', кроме того, проверьте справедливость того, что
(А + В ) (Л + В)' = (Л + В) ( Л '+ В ') = Л Л ' + В Л '-|-Л В '-|-В В '= Л Л , +
150 —27 46~ + (Л В ')' + Л В ' + В В '= | —27 • 1 4 —37
46 —37 185
7.Покажите, что сумма следующих матриц
'3 |
8 |
8 " |
" 1 |
—1 |
3 ' |
8 |
7 —1 + |
— 1 |
2 |
4 |
|
_4 |
- 1 |
2 |
3 |
4 |
6 _ |
1редставляет собой симметрическую матрицу.
8 . Пусть
Л |
0 |
3~ |
" |
3 |
Л = 2 |
—1 |
0 |
и 8 = |
—4 |
0 |
4 |
1 |
_— 2 |
|
а) Расчлените Л и В следующим образом:
3 Г
2 — 1
О |
О |
Лц Л12
_Л21 л22
to
_В21
В12
В22
где Л21 и В21 имеют одинаковые размеры — 1 X 2 .
б) Подсчитайте Л В двумя способами (без расчленения на подматрицы и с рас членением), продемонстрировав тем самым правомерность умножения расчле ненных матриц.
в) Подсчитайте А В ', показав, что |
|
£/ _ |
В21 |
В12 В22 .
9.Произведите любым способом расчленение следующих матриц, при ко тором можно получить указанные произведения матриц. Определите эти произ
ведения, используя расчленение матриц и не прибегая к их расчленению; сравните полученные результаты.
Л |
1 |
0" |
, в = |
2 |
Г |
0 |
1 |
1 |
1 3 |
||
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
6 9