|
|
|
|
|
с помощью преобразования подобия, |
то приведение матрицы |
А * В |
к канонической форме осуществляется |
следующим образом: |
|
(.U-1 * V-1) (А * В) (U =1=V) = |
Da * Db. |
|
В тех случаях, когда А * В — квадратная |
матрица, а Л и Б — пря |
моугольные матрицы, о |
характеристических корнях А * В можно |
заранее сказать лишь то, |
что среди всех ее корней г {А)-г (В) |
корней |
будут заведомо отличны от нуля.
Прямые произведения могут широко применяться в факторном эк сперименте при оценке наблюденных различий (контрастов). Например, изолированное влияние каждого из факторов можно выразить с по мощью линейной, квадратичной, кубической функции и степенных функций более высокого порядка; в таких случаях для выражения взаимодействия между факторами пользуются прямыми произведе ниями. Описание таких вычислительных методов приведено в работе Сирла [6].
10. СЛЕД ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ
/~- Определение следа матрицы было приведено в параграфе 6 главы 1.
Таким образом, если дана матрица А = {atj} при г, / = 1, ..., п, то
П
ее след tr (Л) = 2 ап , т. е. след Л представляет собой сумму диагональ-
1= 1
ных элементов этой матрицы. Покажем теперь, что для произведения матриц tr (АВ) = tr (ВА) и, следовательно, tr (АВС) — tr (.ВСА) = = tr (CAB). Предварительно заметим, что tr (АВ) существует только
в тех случаях, когда матрица АВ |
квадратна, для этого требуется, |
чтобы в том случае, когда размер матрицы Л равен г X с, размер мат |
рицы В был бы равен с X г. Тогда, |
если АВ = {(аЬ)и }, |
tr (АВ) = 2 (аЬ)п |
2 ( | |
аи Ь}\ = 2 ( 2 Ьи ап |
= 2 (ba)jr^tr(BA).
Этот результат легко можно распространить на произведение трех и более матриц.
Упражнения
1. Применяя методы, рассмотренные в этой главе, вычислите значения сле дующих определителей:
0
0 — 1 7
2
1 0 3
— 4
— 7 — 3 0
— 6
to |
4 |
6 |
1 |
|
|
0 |
3 |
— 7 |
СО |
0 |
9 |
1 |
|
|
7 |
— 9 |
0 |
0 |
16 |
— 1 |
2 |
— 16 |
0 |
7 |
0 |
1 |
— 7 |
0 |
6 |
— 2 |
0 |
— 6 |
0 |
2. |
а) Дана матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
—а |
ь |
~—С |
|
|
|
|
а |
0 |
—d |
е |
|
|
|
|
—b |
d |
0 |
ч |
|
|
|
|
с |
— е |
/ |
0 |
|
Докажите, что |
|
|
|
|
|
|
|
| / + А | = 1 + (а2 + Ь2 + с2 + d2 + е2 + Р) + \ А |. |
б) |
Вычислите \А\. |
|
рассмотренных в |
параграфе 1 данной главы, п |
3. |
С помощью методов, |
стройте ортогональные матрицы для следующих матриц: |
|
0 |
—1 |
Г |
|
0 |
1 —2 |
|
1 |
0 |
2 |
И |
—1 |
0 |
5 |
|
—1 — 2 |
0 |
|
2 |
—5 |
0 |
Вычислите определители ортогональных матриц, покажите, что их произведе ние ортогонально. Найдите характеристические корни этих матриц и приведите каждую из них к канонической форме.
|
|
|
|
|
4. Преобразуйте матрицу X = |
1 |
2 - |
О —1 |
в симметрическую идемпотентную |
|
|
—1 |
О |
матрицу; |
найдите ранг и характеристические корни этой матрицы (обозначим |
ее через |
М). Покажите, что произведение |
Р 'М Р представляет собой идемпо |
тентную матрицу, где Р — одна из ортогональных матриц, рассчитанных в уп
ражнении 3. |
|
|
|
|
5. |
|
Рассмотрим свойства матриц J, описанных в параграфе 2 данной главы |
Покажите, |
что: |
|
|
|
^ ^ m X 1 |
^ 1 Х п |
^ m X m |
|
в) |
J. |
J |
J |
т Х 1 |
=от2; |
|
’ |
1Хпг |
|
7п |
’ |
|
r) |
Jm{alm + bJm)=(a-\-mb) Jm. |
|
6 . |
Покажите, |
что матрица первых частных производных функций |
|
|
|
Ух = |
6xfx2 + 2хххг + х\ и уг = 2x1 + |
+ 2х1х3 |
по хх и хг совпадает с гессианом функции
у = 2x1 х 2 + х \ хг + xi х\ •
7.Представьте квадратичную форму
1х\ + 4х1х2 — 5 х | — 6х2х3 + 3x1 + &ХхХ3
ввиде х'Ах, где А = А', и покажите, что
—(х' Ах) = 2Ах.
ох
8 . а) Покажите, что произведение X (УХ )~гУ представляет собой идемпотентную матрицу и что оно равно единичной матрице, если X и У — диагональ ные матрицы.
б) Покажите, что симметрическая ортогональная матрица равна своей
обратной матрице. Постройте симметрическую ортогональную матрицу |
вто |
рого порядка. |
W = |
R - 1—R ~ 1Z (Z 'R ~ 1Z + |
D ~1)~1Z' R - 1. Покажите, |
что |
в) |
Дана матрица |
(R + |
ZDZ’) представляет собой ее обратную матрицу. |
|
г) |
Дана матрица |
D = |
X ' (X V ~1X ')~ 1X V ~ 1. |
Покажите, что если матрица |
Vсимметрическая, то:
1)D' = V-'DV-,
2)D — идемпотентная матрица;
3) (/ — D') |
V - 1 (/ — D) = |
(/ — D') |
V - 1 = V - 1 (/ — D). |
д) Докажите, что след матрицы X |
(УХ )~1У равен числу строк в матрице У. |
9. Пусть К — квадратная |
матрица |
я-го порядка. При каких К функция |
еК принимает следующие значения: |
|
|
а) е/; |
б) I — К + еК; |
|
|
в) /; |
г) е^1\ |
|
|
|
д) I + К; |
е) / + к (еп — 1 )/п. |
|
10. Дана матрица |
|
|
|
|
|
R = |
-а |
а |
|
|
Ь |
—Ь |
|
|
|
Покажите, что |
R n = [—(a-j- |
b)\n lR, |
|
и если |
|
|
|
|
|
|
Pi |
1 |
—Pi |
|
|
Рг |
1 |
-~Pi |
то покажите, что функциональная зависимость
R = logeP
предполагает, что
— (1 —Pi) loge (Pl~Pi)
1—P1 + P2
и
a + b = — loge (pj — p2).
Найдите характеристические корни
4 —2_
и В =
5 —3
и покажите, что их произведения являются характеристическими корнями А*В.
12. Даны векторы х и у, матрицы А и В, скалярные величины ц и %. Пока жите, что:
а) (х' * В) (А* у) = Вух'А;
б) (к* у ) ( х ' *\i) = ]iKyx'\
в) (В * В) (х * х) = (В * Вх) х ф В (х * Вх);
г) И ф В ) - 1 существует только тогда, когда существуют А - 1 и В - 1.
13.Даны матрицы А , В и С. Покажите, что
А* ( В ® С ) ф ( А * В ) ®( А * С ) ,
но
( Л ф В ) * С = ( Л * С ) 0 ' ( Я * С ) .
ЛИ Т Е Р А Т У Р А
1.C o r n i s h Е. А. (1957). An application of the Kronecker product of matrices in multiple regression. Biometrics, 13, 19—27.
2. |
G г a у b i 1 1 |
F. |
|
A. |
(1961). An Introduction to Linear Statistical |
Models. |
Vol. I, McGraw-Hill, New York. |
and Q u a n d t |
R. |
E. |
(1958). |
Microeconomic |
3. |
H e n d e r s o n |
J. |
M. |
Theory. |
A Mathematical |
Approach. McGraw— Hill, New York. |
|
Berlin. |
4. |
M a c D u f f e e |
С. |
C. |
(1933). The Theory of, Matrices. Springer, |
(Also, Chelsea Publishing Company, New York, 1946, 1956.) |
Analysis. Har |
5. |
S a m u e 1 s о n |
|
P. |
A. |
(1947). Foundations |
of |
Economic |
vard University Press, Cambridge, Mass. |
the Biological Sciences.'Wiley, |
6 . |
S e a r 1 e |
S. |
R. |
(1966). Matrix Algebra for |
New York. |
M. |
N. |
(1955). On an application of Kronecker product of m at |
7. |
V a r t a k |
rices to statistical |
designs. |
Annals of Mathematical |
Statistics, 26, 420—438. |
6 . Некоторые приложения обратных матриц................................................... |
110 |
7. |
Получение обратной матрицы с помощью расчленения на подматрицы |
118 |
8 . |
Получение обратных матриц с помощью Э В М ........................................... |
121 |
9. |
Приложение. Левая |
и правая |
обратная м атрицы ................................... |
128 |
Г л а в а |
VI. Линейная |
независимость и р а н г ................................................... |
136 |
1. |
Линейная |
независимость векторов ................................................................ |
136 |
2. |
Линейная |
зависимость |
и определители....................................................... |
139 |
3. |
Системы линейно-независимых векторов...................................................... |
140 |
4. |
Ранг |
м атр и ц ы ...................................................................................................... |
|
|
|
|
142 |
5. |
Элементарные операторы ................................................................................... |
|
|
145 |
6 . Ранг матрицы и элементарные операторы ................................................... |
147 |
7. |
Определение ранга матрицы ............................................................................. |
|
|
147 |
8 . |
Эквивалентность матриц...................................................................................... |
|
|
151 |
9. |
Приведение матриц к эквивалентной канонической ф орме..................... |
152 |
10. Конгруэнтное приведение симметрических м атри ц ................................ |
155 |
11. Ранг произведения |
матриц............................................................................... |
|
|
158 |
12. |
П риложение.......................................................................................................... |
|
|
|
|
159 |
Г л а в а |
VII. |
Линейные уравнения и обобщенное обращение матриц . . |
169 |
1. |
Уравнения, |
имеющие множество |
реш ений ................................................ |
170 |
2. |
Совместные |
уравнени я |
....................................................................................... |
|
|
171 |
3. Обобщенные обратные м атрицы ...................................................................... |
|
179 |
4. |
Решение линейных |
уравнений |
с |
помощью обобщенных обратных |
|
|
матриц |
|
|
|
|
183 |
5. |
Прямоугольные м атр и ц ы .................................................................................. |
|
|
193 |
6 . П рилож ение...................................................................... |
|
|
|
|
195 |
Г л а в а VIII. .................................................................................. |
Цепи М аркова |
|
|
204 |
1. |
В ведение................................................................................................................. |
|
|
|
|
204 |
2. |
Стационарные ...............................................................................вероятности |
|
|
206 |
3. |
Неустановившееся, периодическое и эргодическое поведение системы 208 |
4. |
Марковские ..........................................................цепи с вознаграждением |
213 |
5. |
Оптимальные .........................................стратегии |
в марковских ц е п я х |
215 |
Г л а в а |
IX. ......................................................... |
программирование |
224 |
1. |
Проблема ................................................................................. |
максимизации |
|
|
224 |
2. |
Проблема ................................................................................ |
минимизации |
|
|
230 |
3. |
Некоторые .......................................................................................обобщ ения |
|
|
|
234 |
4. |
Приложения ................................................линейного программирования |
239 |
5. |
Модифицированный .............................................................симплекс-метод |
243 |
6 . В ы воды .................................................................................................................... |
|
|
|
|
255 |
Г л а в а |
X. Регрессионный ....................................................................... |
ан ал и з |
|
259 |
1. |
В ведение................................................................................................................. |
|
|
|
|
259 |
2.Множественная линейная регрессия: k независимых переменных . . 265
3.Свойства оценок, найденных способом наименьших квадратов . . . . 269
4. |
Критерии |
существенности............................................................................... |
275 |
5. |
Основные |
шаги расчетарегрессии................................................................... |
284 |
Г л а в а XI. |
Линейные модели.............................................................................. |
288 |
1. |
В ведение................................................................................................................. |
|
288 |
2. |
Нормальные уравнения |
и их реш ения....................................................... |
290 |
3. |
Свойства |
р еш ен и я .............................................................................................. |
|
291 |
4. |
Функции, |
допускающие |
о ц е н к у .................................................................... |
294 |
5. |
Проверка |
существенности................................................................................ |
298 |
С . С И Р Л , У . Г О С М А Н
Матричная алгебра в экономике
Редактор Е. В. Крестьянинова
Техн. редактор К. К. Сенчило
Корректоры Т. М. Васильева, Л. П. Зуева
Худ. редактор Т. В. Стихно
Сдано в набор 24/VII 1973 г. Поди, к печ. 19/11 1974 г.
Формат бумаги 60 X Э0/16 |
Бумага № 2 |
Объем 23,5 печ. л. |
Уч.-изд. л. 24,06 |
Тираж 12 000 экз. |
(Тематич. план 1973 № 114) |
Издательство «Статистика», Москва, ул. Кирова, 39.
Заказ № 425 |
Цена 1 р. 58 к. |
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома |
при Государственном |
комитете Совета Министров СССР |
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Москва, И-41, Б. Переяславская ул ., дом № 46
ИЗДАТЕЛЬСТВО „ С Т А Т И С Т И К А "
и м е ет в н а л и ч и и н н и ги серии
«НОВЕЙШИЕ ЗАРУБЕЖНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ»:
МАРШАЛЬ Ж. «Новые элементы французской системы на циональных счетов». В книге излагаются общие принципы со ставления национальных счетов, методологические особенно сти французской системы, структура и взаимосвязь счетов, проблемы оценки ресурсов и экономических операций, харак теристики счетов по основным группам. Книга интересна и по лезна ученым и практическим работникам, занимающимся во просами баланса народного хозяйства.
СТУДЕНСКИИ П. «Доход наций». Монография представ ляет собой уникальное экономико-статистическое исследова ние. В ней дается материал по истории, теории и статистике национального дохода почти за 300 лет по нескольким десят кам стран. Автор показывает различный подход к исчислению национального дохода в связи с историей главнейших эконо мических учений, различные методы их исчисления, практику, применяемую в каждой стране, характеризует общее состоя ние экономической статистики в каждой стране. Книга инте ресна для широкого круга ученых — экономистов, статистиков, историков, философов и др.
\
Заказы на приобретение этих книг направляйте по адресу: Москва, 103450, ул. Кирова, 39, издательство «Статистика», отдел распространения.
Книги будут высылаться наложенным платежом через ма газины «Книга — почтой».
