книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

фокусного отрезка относительно реального объекта. Аналогичным об­ разом задаются параметры сплюснутого эллипсоида вращения и дру­ гих расчетных моделей. Далее определяются необходимые физические параметры окружающей среды и соответствующие параметры расчетной модели — электропроводность, плотность и т. п. В значительном числе случаев нас не интересует поле внутри управляющего объекта и поэтому желательно выбрать физические параметры расчетной мо­ дели таким образом, чтобы исключить из рассмотрения внутреннее поле.

Должны быть также заданы относительное расположение и ин­ тенсивность эквивалентных источников поля. Эквивалентные источ­ ники (точечные, дипольные, мультипольные либо распределенные, например, витки с током) могут располагаться либо на самой поверх­ ности расчетной модели, либо на заданном расстоянии от нее. Должна быть задана эквивалентная реальной интенсивность этих источников. Заметим, что в качестве характеристики эквивалентного источника может быть задана интенсивность и ориентация по отношению к рас­ четной модели внешнего однородного поля. В такой постановке мы приходим к необходимости решения неоднородных уравнений поля при однородных граничных условиях на поверхности расчетной мо­ дели (если источник расположен вне поверхности модели). Если ис­ точники расположены непосредственно на поверхности модели, то задача расчета усложняется, поскольку они вносят особенность в гра­ ничные условия на поверхности модели. Поэтому часть эквивалентных источников вначале располагают вне поверхности расчетной модели, определяют физическое поле, а затем совершают предельный переход, помещая источники непосредственно на поверхность модели.

Другой способ введения источников поля осуществляется с помощью задания неоднородных граничных условий на поверхности расчетной модели. При этом должна быть задана интенсивность и закон ее рас­ пределения по поверхности модели. Чтобы избежать серьезных вы­ числительных трудностей, не следует задавать смешанных граничных условий (к примеру, задавать на одной части поверхности модели значение потенциала, а на другой плотность стекающего тока — зна­ чение его нормальной производной).

Кроме того, должны быть заданы предельные условия, описываю­ щие характер убывания управляющего поля на бесконечности. Эти условия могут быть записаны в виде оценок степени убывания векто­ ров, потенциалов поля или сочетания их величин и производных. На­ пример, для электрического потенциального поля

(5.1)

управляющего объекта или в виде так называемого условия излучения, накладываемого на скалярный потенциал ф волнового поля,

(5.2)

120

Эти же условия в ряде случаев удобнее задавать в виде интеграль­ ных соотношений, относящихся непосредственно к интенсивности источников управляющего объекта. Так, например, условие (5.1) рав­ нозначно требованию электронейтральности системы. Оно заключается в том, чтобы сумма токов, стекающих с одних участков (Sx) поверхности модели, равнялась сумме токов, втекающих на остальную часть поверх­ ности управляющего объекта (S2):

Сформулированных условий достаточно для однозначного опреде­ ления поля управляющего объекта.

Для оценки управляющего поля необходимо задаться (исходя из типа измерительных датчиков и их расположения по отношению к управляющему объекту) точками, линиями или поверхностью, на которых необходимо определить рассматриваемые характеристики поля. Такими характеристиками могут быть измеряемый вектор либо его отдельная компонента, потенциал либо интегральная ха­ рактеристика поля, например, поток нормальной компоненты век­ тора через площадь поперечного сечения измерительного датчика; распределение объекта вдоль определенной линии — траектории пе­ ремещения объекта сдатчиком, если управляемый объект перемещается при работе радиоэлектронной системы и т. п.

В отдельных случаях измерительная система может быть построена таким образом, что непосредственно измеряется интенсивность источ­ ников управляющего объекта. В этом случае искомой величиной бу­ дет соответствующий параметр в выражении, описывающем физичес­ кое поле. Основное выражение (4.63) обычно связано с общим пред­ ставлением произвольного физического поля в виде разложения по элементарным мультиполям — основным интегральным характе­ ристикам источников физического поля. В этом случае искомыми ве­ личинами как раз будут являться мультипольные моменты (особенно дипольные моменты) источников поля управляющего объекта.

Исходя из тех же принципов, производится построение расчетной модели для активной системы. Управляющий объект заменяется рас­ четной моделью в виде простейшего тела в соответствующей системе координат (аналогично пассивной системе). Излучающая система, смонтированная на управляемом объекте, заменяется эквивалентными элементарными источниками поля (точечными, дипольными, одно­ родным полем и т. п.); задается их интенсивность и расположение относительно управляющего объекта. Кроме того, задаются предель­ ные условия для суммарного управляющего поля, расположение то­ чек наблюдения и подлежащие определению параметры физического поля.

Следует еще раз отметить, что построение расчетной модели яв­ ляется одним из ответственных и сложных моментов в определении управляющего поля. В ряде случаев требуется провести большие и трудоемкие предварительные исследования по определению задавае­

121

мых параметров. Такой, например, является задача определения ин­ тенсивности эквивалентных источников излучающих устройств ак­ тивной системы. Последняя задача аналогична задаче определения управляющего поля пассивной системы. В ряде случаев для нахожде­ ния эквивалентных параметров измерительно-регистрирующих уст­ ройств обеих систем требуется определить интенсивность физического поля на поверхности управляющего объекта, в местах установки дат­ чиков измерительной системы, затем получить эквивалентные характе­ ристики датчиков для безграничной среды.

В заключение необходимо подчеркнуть, что в большинстве случаев эквивалентные параметры расчетной модели (геометрические размеры, взаимное расположение, интенсивность источников и т. п.) даже при совершенно определенных объектах, точно известных режимах работы приемно-излучающих систем, параметров окружающей среды бывают определены весьма приближенно. Их уточнение может привести к большим материальным затратам, а иногда встречает непреодолимые трудности. Поэтому в ряде случаев эти параметры приходится пола­ гать не детерминированными, а случайными (для того чтобы перекрыть возможную неточность их задания). Это, в свою очередь, ограничивает возможности дальнейшего использования полученных решений (на­ пример, для целей разграничения классов объектов в системах рас­ познавания) и снижает точность выводов, получаемых на их основе.

Перейдем к расчету управляющих воздействий. В качестве расчет­ ной модели объекта остановимся на эллипсоиде вращения, частным случаем которого является сфера. Примем в качестве управляющего потенциальное поле. Введем вытянутую сфероидальную систему коор­ динат £, г|, а. Подобные физические поля (см. гл. 4) характеризуются одной скалярной функцией — потенциалом, удовлетворяющим урав­ нению Лапласа AU = 0.

Общее решение этого уравнения в виде разложения (см. 4.63) по собственным функциям уравнения Лапласа в принятой системе коор­ динат (присоединенным функциям Лежандра) представляется в виде

(5.3)

Рп(1) 1 < S < со

Константа разделения к = т2, т = 0, 1, 2, . . . , п принимает целочисленные значения, исходя из требования периодичности реше­ ния по а. Константа разделения т = п (п + 1), где п — 0, 1, 2, . . . , принимает целочисленные значения на основании требования ограни­ ченности решений в диапазоне ц £ [—1,1].

Второе решение Q% (г)) отброшено, поскольку оно имеет особенности на промежутке определения —1 ^ 1. Разложение только по Р™ (|) берется в тех случаях, когда в область определения поля вхо­

дит I = 1, а только по Q™(£) в случае, если область не ограничена,

122

£ -< с». В области 1 < £ < со в общем решении должны быть сохра­

нены обе функции Рп (|) и Q™(£).

Рассмотрим одну из наиболее распространенных типовых моделей — вытянутый эллипсоид вращения | = £0 в поле элементарного точечного источника интенсивностью I, расположенного в точке с координатами

Будем искать решения уравнения Пуассона:

AU = I6(tv r\q, aq).

В виде суперпозиции частотного решения неоднородного уравнения (поля точечного источника в безграничной среде) и общего решения (5.3) однородного уравнения (Лапласа), коэффициенты которого опре­ деляются таким образом, чтобы учесть искажения, вносимые эллипсои­ дом. Для определенности рассмотрим стационарное электрическое поле в среде с электропроводностью у. Эллипсоид будем считать идеально проводящим (для объектов, корпус которых изготовлен из металла), полагая потенциал на его поверхности

либо изоляционным (для объектов, корпус которых изготовлен из

Электрическое поле, создаваемое точечным источником тока в без­

Поле точечного источника может быть представлено в виде разло­ жения типа (5.3). Используем известное представление обратного

причем б0т = 1, если т — 0 и 80т = 0 при т Ф 0; f — полуфокусное расстояние сфероидальной координатной системы.

Это разложение может быть получено также непосредственно в ре­ зультате решения вспомогательной граничной задачи [19].

123

Б удем искать поле искаж ения эллипсоида в виде разлож ен ия

Н2 = 2 2 (я” cos ma + bmsin та\ Q™(£) (т)), £ > £0 (5.10)

снеопределенными постоянными коэффициентами. Суммарное поле представляется в виде

Подставляя выражения (5.6), (5.8) и (5.10) в граничное условие (5.4) на поверхности эллипсоида и приравнивая постоянные коэффи­ циенты при одинаковых функциях, находим

„0_Мо(боК&)>С

Таким образом, если настоящая расчетная модель относится к ак­ тивной системе, то управляющее воздействие будет описываться вы­ ражением (5.10) с коэффициентами (5.12).

Если приведенная модель описывает поле управляющего объекта в пассивной системе, то управляющее воздействие определяется по формуле (5.11), где Ux выражается в виде (5.6) непосредственно либо с учетом (5.7) — (5.9). Если потребовать, чтобы весь ток, стекающий с точечного электрода, попадал на эллипсоид, то необходимо соблю­ дать равенство

Если управляющий объект изготовлен из диэлектрического мате­ риала, решение ищется в том же виде и описывается аналогичными

дифференцируя их и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, находим неопределенные постоянные коэффициенты

При построении расчетной модели пассивной системы иногда бывает удобно располагать точечный источник тока непосредственно на по­ верхности эллипсоида. Для этого достаточно совершить предельный переход в полученных выражениях, полагая \ q | 0.

Совершая предельный переход (корпус диэлектрический) и исполь­ зуя соотношение

124

получаем после несложных преобразований:

0'п

Х ^г^—-Р ™ ^) [Л ^ с о э т а Ч -B ^sinm a] . (5.16) ^П (о)

В частном случае, когда точечный источник расположен на оси эллипсоида в его вершине r\q = 1, выражение (5.16) упрощается и с учетом (5.9) переходит в равенство

Если расчетная модель представляет собой диэлектрический эл­ липсоид, в вершинах которого r\q = 1, — — 1 расположены то­ чечные источники тока / и — / (они присоединены отрезками кабеля

кклеммам источника э. д. с.), то поле такой модели с учетом Рп (—х) =

=(— 1 )пРп (х) выразится разложением:

рис. 5.1. Соотношение длины эллипсоида к его ширине равно 10. Кри­ вые приведены для прямой, параллельной оси эллипсоида и отстоя­ щей от нее на расстоянии 0,4 f.

В случае, когда корпус объекта является проводящим (а в рас­ четной модели — идеально проводящим), поместить точечный источ­ ник тока непосредственно на его поверхность нельзя. Он должен быть расположен на некотором расстоянии от него.

Если в активной системе управляющий и управляемый объект на­ ходятся на значительном по сравнению с их размерами расстоянии, то поле, возбуждаемое управляемым объектом в месте расположения управляющего объекта, приближается к однородному. Поэтому пред­ ставляет интерес определить поле эллипсоида вращения во внешнем однородном поле. Это поле можно получить независимо, полагая по­ тенциал ориентированного вдоль оси х однородного поля с напряжен­

125

( — \ ) mn\ (n -f m)l 2n

(5.20)

(2я + 1)! e/i+l

получаем с учетом £ « r/f, r| = cos 0

l i m y Q0 (£?) = oo, l i m 3 y Q1(£?) = -fE0

и при м*> 1

lim - y (2n+ 1)Q„ (E,) = 0.

Exo Ho

Удаляя точечный источник вдоль оси симметрии эллипсоида в бес­ конечность, получаем (для идеально проводящего эллипсоида):

Обычно U0 = 0, поскольку на эллипсоид не подается принуди­ тельный потенциал. Если однородное поле действует перпендику­ лярно оси симметрии эллипсоида таким образом, что

126

то, полагая U0 = 0, получаем

При диэлектрическом корпусе объекта формулы (5.10) и (5.14) переходят в следующие выражения для продольной и поперечной ори­ ентации однородного' поля соответственно:

(5.25)

(5.26)

В рассмотренной основной модели в качестве источника поля ис­ пользовался элементарный точечный источник. Однако в ряде случаев система источников имеет более сложную структуру. Так, для маг­ нитного и стационарного электрического поля в проводящей среде уединенный точечный источник не может быть физически осуществлен в силу соленоидальности этих полей. Поэтому элементарным для этих полей является дипольный источник. Потенциал диполя, помещен­ ного в точку с координатами £?, г]9, aq, описывается выражением

(5.27)

тивоположного знака; индексом q отмечена операция вычисления градиента по координатам точки источника.

Если обозначить через Pg, Рл и Ра составляющие вектора Р вдоль осей сфероидальной системы координат, то последнее выражение можно переписать следующим образом:

На основании этой формулы, используя (5.7) — (5.9), несложно получить представление поля диполя в виде разложения по сферои­ дальным функциям.

Далее, используя найденное разложение и повторяя вычисления, проведенные для точечного источника, легко можно получить анало­ гичные (5.7) — (5.9) формулы и для дипольного источника.

Более сложные источники описываются мультиполями более вы­ сокого порядка. Поля подобных мультиполей могут быть получены аналогичны полю диполя путем соответствующего многократного дифференцирования величины 1 /R. Следовательно, могут быть полу­ чены представления этих полей в виде разложений по функциям

127

Лежандра и определено поле эллипсоида в присутствии этих источ­ ников.

Распространенными расчетными моделями управляющих объектов пассивных систем и излучающих устройств активных систем являются модели с заданными на их поверхности неоднородными граничными условиями.

Рассмотрим типичную модель. На участке поверхности эллип­ соида, ограниченном координатными линиями, задано значение по­ тенциала срх, отличное от значения потенциала <р2 на остальной части его поверхности.

Пусть ФХ> Ф 2- Тогда можно положить фх == ф2 +Дф и переписать последнее условие в виде

Потенциал подобной системы ищется в виде стандартного для вы­ тянутого эллипсоида вращения разложения (5.3). Подставим это вы­ ражение в левую часть граничных условий. Положим £ = £0. Домно-

жим обе части полученного равенства последовательно на Р™(л) cos т а ,

Если потребовать, кроме того, выполнения условия электроней­ тральности, которое соответствует требованию а° = 0, то необходимо

положить

ф2 —

(Л1 — Лг) («1 — «а) Д(})

4л

1 Согласно условию ортогональности

128

Следует заметить, что далеко не все граничные задачи, даже для эллипсоида вращения, являются легко разрешимыми. Покажем это, принимая в последней задаче более сложные граничные условия — так называемые условия третьего рода.

Ограничимся рассмотрением осесимметричной модели. Запишем граничные условия в виде

Используя значения коэффициентов Ламэ, перепишем граничные ус­ ловия в виде

где

ф1 = ф2 + Аф-

Подставим выражение (5.31) в последние граничные условия. Домножим обе части полученного равенства на Pt (rj). Проинтегрируем по г] в пределах + 1. С учетом условия ортогональности полиномов Лежандра получаем следующую бесконечную систему алгебраиче­ ских уравнений:

ДЛЯ n = О и

J V > 0- r , 2

129