книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

непосредственно на основании приведенных там разложений потен­ циала.

В вытянутой сфероидальной системе координат общее разложение потенциала по собственным функциям имеет вид (5.3). Неопределен­

ные постоянные коэффициенты этого решения a” , b„, с™, d™ опреде­ ляются видом граничных условий, интенсивностью и расположением источников поля.

Стандартные разложения компонент вектора напряженности маг­

140

В сферической системе координат общее разложение потенциала (5.34) приведено выше. Стандартные разложения компонент вектора напряженности магнитного поля в сферической системе координат имеют вид:

Однозначное определение физического поля требует удовлетворе­ ния условиям теоремы единственности. Выражения (5.48) — (5.53) удовлетворяют уравнениям магнитного поля и предельным условиям на бесконечности.

Выполнения граничных условий всегда можно добиться добавле­ нием к выражениям (5.48) — (5.53) (например, в изоляционной по­ лости) потенциального магнитного поля, являющегося решением со­ ответствующих (5.47) однородных уравнений. При анализе характера источников магнитного поля и соответствующих им особенностей сле­ дует иметь в виду, что источниками электрического поля являются элементарные точечные источники тока. Соответствующие им источ­ ники магнитного поля представляют собой отрезки кабелей, соеди­ няющих эти элементарные точечные источники. Особенностью метода расчета [18] является то, что формулы (5.48) — (5.53) ставят в соот­ ветствие источникам тока соединяющие их кабели строго определен­ ной формы. Эти кабели начинаются в местах расположения точечных источников и проходят вдоль координатных линий соответствующей системы координат.

Использование основных формул (5.48) — (5.53) позволяет непо­ средственно, используя постоянные коэффициенты разложения по­ тенциала (4.63), составить выражения для магнитного поля расчетных моделей, исследовавшихся в § 5.1. Так, для расчетной модели, элек­

141

трическое поле которой описывается выражением (5.18), магнитное поле выражается разложением

Результаты численных расчетов магнитного поля по этой формуле представлены на рис. 5.1.

Аналогично (5.54) могут быть составлены выражения магнитного поля и для других рассмотренных в § 5.1 расчетных моделей.

ГЛАВА 6. УЧЕТ СЛУЧАЙНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ УПРАВЛЯЮЩИХ ПОЛЕЙ

§ 6.t. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ И УПРАВЛЯЮЩИХ ОБЪЕКТОВ

В предыдущей главе рассчитывались параметры управляющих полей при фиксированных значениях параметров среды и взаимо­ действующих объектов. Однако в процессе эксплуатации системы происходят как закономерные, так и случайные изменения парамет­ ров морской среды и взаимодействующих объектов.

Случайные изменения параметров среды и объектов вызовут раз­ брос значений управляющих полей. Для нормальной работы радио­ электронной системы в реальных условиях эксплуатации необходимо знать возможные пределы изменения управляющего поля, его стати­ стические характеристики. Эти данные особенно важны для опреде­ ления надежности и эффективности системы, ее помехоустойчивости, точности работы и т. п. Кроме того, определение требований и необхо­ димой точности задания исходных данных возможно только при из­ вестных статистических параметрах управляющих полей.

В настоящем параграфе остановимся на способах получения и статистического описания исходных параметров среды и взаимодейст­ вующих объектов. Все параметры могут быть условно разделены на «физические» и «геометрические». Физические параметры характери­ зуют физические свойства среды и взаимодействующих объектов. Гео­ метрические параметры характеризуют форму и взаимное располо­ жение объектов.

Физические параметры, влияющие на формирование управляющих сигналов, в общем случае являются случайными функциями прост­ ранственных координат и времени. Так, например, температура, со­

142

леность и другие характеристики морской воды изменяются от точки к точке и во времени. Магнитная проницаемость материала объекта изменяется по его объему вследствие неоднородности металла и во времени и т. д.

Геометрические параметры, характеризующие форму взаимодейст­ вующих объектов, являются по своей природе детерминированными. Рассмотрение их в качестве случайных величин можно использовать как удобный приближенный прием в нескольких случаях. Например, при приближенной оценке погрешности, вносимой при использовании расчетной модели. Для этого можно принять, что геометрический раз­ мер модели изменяется случайным образом в пределах возможной по­ грешности его определения. Попутно заметим, что погрешность опре­ деления управляющего поля и в этом случае может оказаться большой, вследствие отличия формы поверхности модели от реального объекта (наличие ребер, выступов и т. п.). Более строгая оценка требует рас: смотрения мало разработанных вопросов устойчивости используемых решений уравнений математической физики при возмущении формы граничных поверхностей.

Случайной величиной может считаться расстояние между взаимо­ действующими объектами или расстояние до точки наблюдения. В за­ висимости от физической природы управляющих объектов и способов расчета исходные параметры могут быть представлены случайными величинами, процессами или полями. Если параметр может принимать определенное значение из заданной совокупности, то он является слу­ чайной величиной. Если значение параметра, кроме того, случайным образом изменяется во времени, то мы имеем случайный стационарный или нестационарный процесс. Если этот параметр случайным образом изменяется от точки к точке пространства, то его следует рассматри­ вать как случайное поле (пространственный случайный процесс), за­ висящее от одной, двух либо трех пространственных координат, а

вобщем случае и от времени.

Внастоящем параграфе ограничимся представлением искомых па­ раметров случайными величинами, только в отдельных случаях—

стационарными случайными полями.

6.1.1. Функция распределения

Основные способы отыскания функции распределения. Наиболее полной характеристикой случайной величины является функция рас­ пределения. Возможны два основных способа отыскания функции рас­ пределения, условно называемых нами «теоретическим» и «эксперимен­ тальным», или эмпирическим.

При теоретическом подходе вид функции распределения опреде­ ляется и обосновывается рассмотрением механизма формирования случайной величины. Например, на плоскую поверхность с большой высоты бросается продолговатый предмет и измеряется угол, образо­ ванный его большой осью с направлением меридиана. Естественно, что измеряемый параметр (а) будет представлять собой равномерно распределенную случайную величину на отрезке 0 -<^2я.

143

Если известно, что случайный разброс изучаемого параметра фор­ мируется в результате воздействия большого числа факторов, причем ни один из них не превалирует над остальными, то, согласно основной предельной теореме, описывающая его случайная величина будет подчинена нормальному закону распределения. Аналогичным обра­ зом может быть показано, что механизм, лежащий в основе возможных изменений исследуемого параметра, соответствует картине формиро­ вания стандартных функций распределения: экспоненциальной, ло­ гарифмически нормальной, Коши, Релея и т. п. [11 ].

Таким образом, анализ физического механизма формирования рас­ сматриваемых случайных процессов позволяет обоснованно выбрать функцию распределения и тем самым намного сократить необходимый объем экспериментов.

При экспериментальном подходе функцию распределения находим на основе эмпирических или выборочных данных. Необходимо, рас­ полагая выборочными значениями, сделать вывод относительно вида функции распределения генеральной совокупности, из которой из­ влечена выборка. Принципиальное решение этой задачи указывает теорема Гливенко [40]. Согласно этой теореме, эмпирическая функция

распределения F\ (х) сходится по вероятности к функции распределе­ ния генеральной совокупности Ах {х), если выборка извлечена из ге­

неральной совокупности (А* (х ) -> Ах (х) с вероятностью р -*■ 1 при п -+ со, где п — размер выборки). Мерой количественного соответст­ вия выборочного и генерального распределения можно выбрать опре­

деленное число A (А*, Ах), или, как говорят, критерий согласия. Задача определения функции распределения по выборочным дан­

ным решается в следующей последовательности. По выборочным зна­

Здесь v (х) — число выборочных значений, не превосходящих не­ который порог х.

Далее выдвигается гипотеза (на основании вида функции либо физических соображений) о виде генерального распределения Ах (х).

По принятому заранее критерию согласия вычисляется A [Ai (х), Ах (х)] и вероятность того, что указанная величина не превосходит

некоторый порог А0. Если распределение величины А [а ! (х), Ах (х)] известно, то, задаваясь вероятностью того, что Д>>Д0, находим по­ рог Д0. Если для выборки имеет место А>> Д0, то гипотеза отвергается. В противоположном случае гипотеза принимается. При этом вероят­ ность отвергнуть правильную гипотезу равна уровню значимости, однако частота принятия неверной гипотезы остается неизвестной.

Недостатками критерия согласия являются произвольность выбора уровня значимости ос, а также трудности, связанные с определением их распределений при малых выборках.

144

Другой путь состоит в непосредственном построении оценки неиз­ вестной функции распределения по выборочным значениям без выдви­ жения гипотезы о виде функции. Этот путь заключается в сглажива­ нии эмпирической функции распределения. Приведем наиболее рас­ пространенные критерии согласия и приемы построения функций рас­ пределения.

Рассмотрим критерий х2Генеральная функция распределения разбивается на произвольное число k неперекрывающихся интервалов А,-. Вероятность попадания генеральной случайной величины в со­ ответствующий интервал обозначается через рг

Число выборочных значений, попадающих в Дг, обозначается че- k

рез v(- (2v; = п). Соответственно вероятность попадания выборочных

i = l

значений в выделенные интервалы р* = vjn.

В качестве критерия согласия вычисляется величина

1=1

Если проверяемая гипотеза об истинности распределения Рг (х) верна, то распределение Д асимптотически приближается к распреде­ лению х2 со степенями свободы (k—1), независимо от вида распределе­ ния Р г (х). Таким образом, в случае Д>%2а, гипотеза отклоняется.

При Д <Гх2 гипотеза принимается (а—уровень значимости, х2 (к—1)—

процентные точки распределения х2) [40]. В случае невыполнения кри­ терия х2 можно либо увеличить объем выборки и изменить границы разбиения интервалов и затем вновь проверить выполнение критерия, либо провести дополнительную проверку с помощью других крите­ риев, либо отказаться от гипотезы о виде функции распределения, выдвинуть новую гипотезу и провести ее проверку. Существенным не­ достатком критерия х2 является произвольность разбиения и соот­ ветствующее группирование выборочных значений.

Лишен этого недостатка критерий Колмогорова:

Д = макс | F* (х) —F± (х) \.

Он равен максимуму модуля разности выборочного и генерального

В качестве еще одного критерия, не связанного с разбиением про­ межутка, может служить критерий со2:

В случае Д>со^ гипотеза отвергается, в противном случае — при­

нимается.

Процентные точки распределения а>2 приведены, например, в [40].

Заметим, что при принятии гипотез для заданного уровня значи­ мости а генеральная функция распределения заключена в полосе, границы которой задаются уравнением

y = F\ (х) ± Д,

независимо от используемого критерия.

Еще один полезный и удобный критерий позволяет определить принадлежность выборок к одному и тому же распределению. Пусть элементы обеих выборок расставлены в порядке возрастания (вариа­ ционного ряда) х г, х 2, • • • , хп и у х, у 2, . . . ут. Составляется единый вариационный ряд У\УчХху^х2 . . . Если в этой последовательности заданному xk предшествует i элементов выборки у х, у 2, . . . , г/,-, то имеется инверсий г. Общее число инверсий и равно сумме инверсий элементов одной выборки с другой. Пороговые значения числа инвер­ сий равны

Здесь ха/2 — процентное отклонение нормальной случайной вели­ чины для уровня значимости а. Гипотеза об одинаковости функций распределения принимается, если и1а^ и ^ и 2а, и отклоняется в про­ тивном случае.

Подбор аппроксимирующей функции. Другим способом описания выборочной функции распределения является подбор аппроксимирую­ щей функции. Операция подбора значительно упрощена, если в ка­ честве аппроксимирующей функции используются наиболее распро­ страненные нормальное, равномерное, экспоненциальное, логарифми- чески-нормальное распределения и др. Для этих распределений раз­ работаны специальные масштабные сетки [11 ], на которые наносится выборочная функция распределения. Аппроксимирующая их функция на данной сетке представляет собой прямую линию. Расположение и угол наклона этой линии определяют параметры аппроксимирующего закона распределения. Заметим, что задачи доказательства принадлеж­ ности данного параметра определенной (чаще нормальной либо экс­ поненциальной) функции распределения и задача построения аппрок­ симирующей функции хотя и близки, но имеют существенные разли­ чия. Вторая задача имеет целью обеспечение расчетов. Первая же за­ дача обычно имеет большое теоретическое значение для обоснования получаемых оценок, планирования экспериментов, статистических расчетов.

При решении прикладных задач строгое обоснование вида функции распределения обычно не представляется возможным. Поэтому осо­

146

бенно важно использовать всю имеющуюся информацию о физической картине протекания процесса, доступные эмпирические данные для подтверждения непротиворечивости основной гипотезы.

Например, одним из основных электрохимических параметров ме­ таллов, находящихся в морской воде, является их стационарный элек­ тродный потенциал. Разность стационарных электродных потенциа­ лов гальванически взаимодействующих металлов является одним из определяющих параметров при формировании электрического поля. Металлы, используемые в морской воде, представляют собой много­ компонентные сплавы. Морская вода — электролит со сложным со­ левым составом. Стационарный электродный потенциал устанавли­ вается в случае динамического равновесия двух протекающих на по­ верхности погруженного в электролит металла процессов — анодного и катодного. На протекание этих процессов оказывают влияние как состояние поверхности металлов, их структура, окйсные пленки, на­ личие адсорбируемых на поверхности веществ, так и гидрофизические параметры электролита — морской воды (концентрация растворен­ ного кислорода, температура, соленость, скорость обтекания и др.). Анализ формирования стационарного потенциала показывает, что он обусловлен действием большого числа процессов и факторов и натал­ кивает на гипотезу о нормальном законе распределения потенциала. Специально проведенные исследования подтвердили непротиворечи­ вость этой гипотезы. Так, для стальных сплавов, а также для сплавов на медной основе подтвердить гипотезу с помощью критерия %2 Кол­ могорова и с помощью оценки третьего и четвертого моментов рас­ пределения удалось по данным измерений на группах порядка 20—50 образцов. Для титановых сплавов, нержавеющих сталей, обладающих: значительно большим разбросом потенциалов вследствие значитель­ ного влияния окисных пленок, образующихся на их поверхности, для подтверждения гипотезы о нормальном распределении по тем же кри­ териям при уровне значимости а = 0,05 требовалось проведение опы­ тов на группе порядка 150—250 образцов.

Известно, что для нормального распределения моменты распреде­ ления т3 — 0, /п4 = 3 о4, а величины А = тв/о3 и Е = — ■— 3 при­

нято называть асимметрией и эксцессом. Выборочные асимметрия и эксцесс равны

где s — выборочная дисперсия.

Критериями согласия служат неравенства

(6.1)

где дисперсии асимметрии и эксцесса равны

(п — объем выборки).

При выполнении неравенств (6.1) наблюдаемое распределение можно считать нормальным.

6.1.2.Числовые характеристики распределений

исследуемых величин.

и его выборочное среднеквадратичное отклонение

148

Далее определяется доверительный интервал измеренного пара­ метра

ДХ;>А, (s{^>s), то следует проверить значимость полученного откло­ нения, например, с помощью критерия Фишера. Вычисляется вели­ чина

Fi =

и сравнивается с квантилем распределения Фишера F{_а (п—1, п—1). И в случае, если Р^>Р{_а, опыт повторяется для большего числа образцов. Необходимое число образцов пх рассчитывается по формуле

(6.3), где вместо величины s2 берется s?.

Приведенная схема планирования экспериментов может быть ис­ пользована и в том случае, когда генеральная совокупность не при­

искомых параметров. Для среднего значения (нормальное распреде­ ление) она равна

где а — генеральное среднее. Доверительный интервал для дисперсии

пределения Пирсона.

К рассмотренной задаче близка задача сравнения двух случайных параметров с целью установления их идентичности или достоверного различия при заданной точности ах— а 2<;Ах и достоверности. Оценка

разности выборочных средних х х и х г может быть проведена по фор­ муле

где пх и я 2 — число измерений параметров х х и x2; s2 — взвешенная выборочная дисперсия, определяемая по формуле

„2 K - Q s i + K - l ) » ^ «1+ «2 —2

149