книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

Обратимся к рис. 7.7. Он является видоизмененным рис. 7.1. Из этой схемы исключены каналы передачи информации.

Разомкнем контур в точке соединения измерительного устройства с управляемым объектом Я. Иными словами, прекратим поступление информации от управляемого объекта к измерительному устройству.

Подадим на вход измерительного устройства только информацию от управляющего объекта Я, т. е. значение входной величины А*. Тогда после прохождения сигнала через контур управления, в том числе и через управляемый объект, на выходе последнего образуется значение выходной величины А. Таким образом, в разомкнутом кон­ туре имеет место передача информации вида А* -* А.

Рис. 7.7. Контур передачи информации

Как известно [8], среднее значение количества информации при преобразовании А* ->• А равно

0 0 С О

—00

р —(а*, а) = р (а*/а) р (а) = р (ala*) р (а*).

200

Следовательно,

А*->А

В уравнении (7.23) Я (Л*)— энтропия распределения вероятностей входной величины до ее преобразования в радиоэлектронной системе; М [Я (Л */Л )]— математическое ожидание энтропии распределения вероятностей входной величины после ее преобразования.

В этом выражении вычитаемое характеризует потерю информации при ее преобразовании. Оно является усредненным показателем ре­ зультата воздействия случайных возмущений. Этот член учитывает также потери времени при реализации алгоритмов преобразования.

Выражение для среднего количества информации / при преобра­ зовании А* -> А можно записать иначе

Здесь Я (Л) — энтропия выходной величины А до поступления вход­ ной величины А*; М [Я (AIA*)] — математическое ожидание энтро­ пии выходной величины после поступления входной величины.

Соотношение (7.24) представим так

А*-*А

где

Я (S) = Я (А/А *)—М [Н (А /А *)].

Разность между энтропией выходной величины управляемого объекта А после поступления входной величины управляющего объекта Л* и ее математическим ожиданием характеризует действие помех в контуре управления. Это действие как бы приведено к выходу контура (координата Л). Выражение (7.25) называют приращением энтропии приведенных помех.

Будем считать, что величины на входе и выходе разомкнутого кон­ тура управления распределяются по нормальному закону

где т а„, та — математическое ожидание величин Л* и Л; г — коэффи­

201

циент корреляции величин А* и А, равный

а& —00 —оо

°а*’ аа — дисперсии величин А* и А, равные

выражение для количества информации на выходе контура

/ ==-----loga (1—Г2).

V

Мы видим, что информация при преобразовании А* -> А опреде­ ляется коэффициентом корреляции между входной и выходной вели­ чинами.

Перейдем теперь к общему случаю. Будем считать, что преобразо­ вание информации сопровождается задержкой во времени т и случай­ ными ошибками Лош(/). Условимся, что ошибки не зависят от вход­ ной величины А* (t).

Запишем выходную величину в виде суммы двух случайных вели­ чин

A(t) = A* (t—x) + Аош (t).

Коэффициент корреляции входной и выходной случайных величин равен

Первый двойной интеграл в фигурных скобках есть корреляционная функция R (т) случайной функции a* (t). Второй интеграл равен нулю, поскольку аош по условию не зависит от а*. Тогда

R (т)

г =

° а * У а 1* + а 10

202

Это выражение можно представить в другом виде. Учитывая, что = R (0), запишем

а ошибки нет,

/ =

R2 (т)' Я*(0). ’

В этом случае информация может характеризоваться нормированной корреляционной функцией случайной функции а* (/).

В другом предельном случае временем выполнения вычислений можно пренебречь. Тогда

Таким образом, разомкнутый контур управления радиоэлектрон­ ной системой можно рассматривать как некоторый преобразователь информации. В контуре, наряду с полезными процессами преобразо­ ваний, протекают вредные процессы. Последние приводят к ошиб­ кам в передаче информации и задержке ее во времени.

Замкнутый контур передачи информации. Напомним, что мы рас­ сматриваем дискретное во времени управление. Замкнем контур пе­ редачи информации. Тогда на вход измерительного устройства будут воздействовать координаты управляемого объекта А в некоторый k-й момент времени. Выходной величиной будут координаты того же управляемого объекта в момент времени k + 1. Следовательно, в зам­ кнутом контуре передачи информации будем иметь

A * ~ A k, А Ak+l,

Энтропии Я (Л) и Я (Л/Л*) при замыкании контура обращаются в значения энтропии радиоэлектронной системы соответственно в k-й и (k + 1)-й моменты времени. Уравнение (7.25) для замкнутого кон­ тура принимает вид

Здесь Я (7lfe+1) и Я (Л^ — значения энтропии управляемого объекта в (k + 1)-й и k-я моменты времени; Ik+l — информация, переданная в соответствующий интервал времени через замкнутый контур, т. е.

203

передача A k A k+l\ H (5fe_j) — приращение энтропии приведенных

помех.

Уравнение (7.28) определяет уменьшение энтропии в замкнутом контуре благодаря передаче информации от управляющего объекта. Энтропия радиоэлектронной системы уменьшается на величину, рав­ ную разности между информацией, поступившей в контур, и прира­ щением энтропии приведенных помех.

Для установившегося режима будем иметь

" И * +1 ) = H ( A k) и Ik+l = H {S k+l).

Таким образом, в установившемся режиме работы радиоэлектронной системы в контур управления должно поступать количество информа­

H ( A k+l) - H ( A k) = H {S k+1).

Энтропия радиоэлектронной системы начнет возрастать. Приращение энтропии за соответствующий интервал времени равно приращению энтропии приведенных помех.

Полученные выше общие соотношения будут в дальнейшем кон­ кретизированы. Они будут использованы при определении информа­ ционных характеристик радиоэлектронной системы

§7.3. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДЕЙСТВИЯ

Информационные характеристики радиоэлектронных систем оп­ ределены на основе методики, изложенной в [58].

7.3.1.Общая формула для информационного показателя радиоэлектронной системы

Определение информационного показателя. Как уже неоднократно отмечалось, координата управляемого объекта А есть случайная ве­ личина. Она характеризуется соответствующей плотностью вероятно­ сти.

Координата А с информационной точки зрения обладает некоторой неопределенностью. Назначение радиоэлектронной системы — умень­ шить неопределенность координаты А.

Обозначим энтропию координаты А управляемого объекта в на­ чальный момент времени и в установившемся режиме через Н0 (А)

иНу {А) (рис. 7.8). Очевидно,

Н0(А )> Н у (А).

204

Уменьшение энтропии координаты А равно количеству информа­ ции, вносимому в контур управления информационно-логическим уст­ ройством

Рассмотрим подробнее физический смысл формулы (7.29). Пусть радиоэлектронная система действует многократно в одних и тех же условиях. Тогда для данного момента наблюдения tt будет получено множество значений координаты А с соответствующей энтропией.

Допустим вначале, что tt = tn мало. Этот момент времени отно­ сится к участку переходного режима. На нем рассеивание координаты А сравнительно велико.

Теперь обратимся к моменту времени tt = ty, достаточно удален­ ному от момента времени tt = t0 начала работы радиоэлектронной системы. К этому моменту множество случайных реализаций коорди­ наты А «уплотняется». Оно достигает некоторого постоянного рассеи­ вания.

Выше мы условились рассматривать только радиоэлектронные си­ стемы дискретного действия. Следовательно, управляющие воздейст­ вия поступают на управляемый объект с некоторыми интервалами вре­ мени. В эти моменты времени энтропия координаты А уменьшается. В паузах между воздействиями энтропия величины А под влиянием случайных внешних возмущений увеличивается.

Вместе с тем, энтропия координаты Н (А) в переходном режиме должна уменьшаться. В установившемся режиме она должна оста­ ваться неизменной. Чтобы эти условия были обеспечены, необходимо выполнение следующих условий: в переходном режиме количество информации, вносимое в контур управления радиоэлектронной си­ стемой, должно превышать прирост энтропии Н (А) за продолжи­ тельность паузы информационно-логического устройства. В устано­ вившемся режиме это количество информации должно равняться при­ росту энтропии.

205

Обратимся к графику переходного режима (рис. 7.9). На графике представлены два такта работы радиоэлектронной системы. Через Нк_ х (А) и Нк (А ) обозначены значения энтропии в (k—1)-й и &-й

моменты времени; через ДЯд, (Л) прирост энтропии Я (А) за интервал времени (тв).

Количество информации 1к, вносимое в контур радиоэлектронной

где i — любой момент времени, больший длительности переходного режима.

Общий прирост количества информации за т тактов переходного режима равен суммарному уменьшению энтропии координаты Л:

т

' . = 2 {н * - М ) - н к Щ - k=\

206

Прирост количества информации в контуре за один такт работы радиоэлектронной системы, отнесенный к интервалу времени тв, вы­ ражает скорость передачи для данного такта

Максимальное значение этой скорости мы будем рассматривать как информационный показатель радиоэлектронной системы прост­ ранственного действия

Учет информационных свойств управляемого объекта и аппрокси­ мации внешних воздействий. Управляемый объект является реальной физической системой. Как уже отмечалось, такая система обладает инерционными свойствами. Последнее означает, что управляемый объект реагирует на управляющие воздействия не мгновенно, а с не­ которым запаздыванием.

Проведем формальную аналогию между управляемым объектом и низкочастотным фильтром. Распространим на управляемый объект все динамические параметры, установленные для низкочастотных ли­ нейных фильтров.

Остановимся на характере внешних возмущений на управляемый объект. Можно предположить, что такие возмущения являются ре­ зультатом наложения достаточно большого числа случайных элемен­ тарных возмущений различного происхождения. Образованный внеш­ ними возмущениями случайный процесс носит флуктуационный ха­ рактер.

Можно далее предположить, что спектр такого флуктуационного процесса достаточно широк. При указанных предположениях случай­ ные возмущения мы будем аппроксимировать «белым шумом».

Проводя аналогию между управляемым объектом и низкочастот­ ным линейным фильтром, с одной стороны, и между случайными внеш­ ними возмущениями и «белым шумом», с другой, оказывается воз­ можным установить связь между точностными и информационными характеристиками радиоэлектронной системы.

В указанном выше смысле моделью управляемого объекта может служить фильтр, изображенный на рис. 7.10. На вход фильтра посту­ пает сигнал UBX (t) в виде «белого шума». Необходимо определить дисперсию выходного сигнала Пвых (t).

207

Воспользовавшись известной формулой дисперсии [58]

D вых ( 0 = s oJ И 2 b ) d x ,

О

где со (т) — импульсная переходная функция фильтра;

Т — постоянная времени фильтра; Т = RC; S 0 — интенсивность «бе­ лого шума».

Будем иметь

По аналогии с (7.37) получим для случайной координаты А управ­ ляемого объекта выражение дисперсии Da (t)

что в некоторый момент времени радиоэлектронная система отключи­ лась. Тогда координата А управляемого объекта начнет случайным образом изменяться. Ее' дисперсия будет при этом увеличиваться. В пределе дисперсия координаты А будет стремиться к D . В фор­

муле (7/38) начало отсчета времени совпадает с моментом отключения радиоэлектронной системы.

Случайные колебания координаты А могут быть представлены как результат суммарного воздействия весьма большого числа сравни­ тельно слабых факторов. Каждый из таких факторов оказывает свое воздействие, не зависящее от остальных.

Элементарные воздействия могут подчиняться различным законам распределения. Однако особенности таких распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются. На основании предельной теоремы теории вероятности также суммарное воздействие подчиняется нормальному закону распределения. Поэтому для многих практиче­ ских задач координату А можно считать нормально распределенной.

Установившийся режим работы радиоэлектронной системы. Для

где Аа — шаг квантования координаты А по уровню.

208

Как мы увидим ниже, при последующих преобразованиях Ла ис­ чезнет.

Как будет показано ниже, прирост энтропии координаты управ­ ляемого объекта АНк (А) — максимальный в установившемся режиме. Тогда, учитывая (7.33) и (7.36), информационный показатель радио­ электронной системы определяется следующим образом:

где ЛЯу (А) — прирост энтропии координаты А в установившемся режиме.'

Найдем значение прироста энтропии АЯу (А). Величина энтропии координаты А в конце такта работы радиоэлектронной системы в ус­ тановившемся режиме не должна превышать заданного значения эн­ тропии Ну (А ). Последнее определяется требуемой точностью работы радиоэлектронной системы. В начале же такая энтропия характери­ зуется некоторым минимальным значением Ямин. Тогда

ЛЯу {А) = Ну (А) —Ямин {А).

Учитывая (7.39), будем иметь

U a MKB

Здесь Da — дисперсия координаты А в установившемся режиме в конце такта; Daмин — дисперсия координаты А в начале такта.

Производная функция Da (t) в точке t = 0, согласно формуле (7.38)

2Д«о Щ 0) = -

Будем полагать изменение дисперсии на интервале тв линейным. Тогда получим

где Кт= DaJDa^ — показатель точности радиоэлектронной системы.

Подставляя (7.43) в (7.40), окончательно получим формулу инфор­ мационного показателя радиоэлектронной системы пространствен­ ного действия для установившегося режима