книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

Различие выборочных дисперсий s2 и может быть оценено с по­ мощью критерия Фишера:

■а/2 п2— .

При выполнении последнего неравенства различие считается значи­ мым. Остановимся на случае, когда исходные параметры описываются стационарными случайными процессами и полями. Использование принципа эргодичности позволяет значительно сократить объем экс­ периментов при определении их статистических характеристик. Од­ нако стационарность процесса не влечет за собой, как известно, его эргодичности. Поэтому непротиворечивость гипотезе эргодичности должна быть проверена экспериментально. Для этого необходимо сравнить полученные для группы образцов математическое ожидание и дисперсию в определенный момент времени М [х (^) ], D lx (tt) ] с аналогичными, полученными для одного из образцов, исследовавше­ гося в течение длительного отрезка времени М [хх (t) ], D [х1 (г1)], и показать незначимость различия между ними.

Длительность измерений Т должна быть значительно большей ин­ тервала корреляции тк

tk= J £ (0 d t ,

о

где k (t) — экспериментально определенная корреляционная функция. При определении М [х (^)] и D [х (^)] необходимо, чтобы временные отсчеты х (t) были независимыми, \tt— ti+1 | тк,

о

где

D = — h x {t)— J{t)fdt,

т о

т о

Оценка влияния различных факторов. Исходные параметры, ис­ пользуемые при определении управляющих воздействий, зависят, в свою очередь, от большого числа гидрофизических и эксплуатацион­ ных факторов, причем степень влияния каждого из них различна. Для определения значимости отдельных факторов и количественного определения степени их влияния используются методы планирования эксперимента и регрессионного анализа.

150

Следует выделить случаи зависимости параметра от одного и не­ скольких факторов. Используемые методы планирования и анализа базируются на предположении, что исследуемые параметры подчи­ няются нормальному закону распределения. При однофакторном экс­ перименте задача формулируется следующим образом. Требуется оп­ ределить с заданной достоверностью значимость влияния исследуе­ мого фактора на фоне случайных изменений, вызванных влиянием остальных факторов, не стабилизированных в эксперименте. Если влияние исследуемого фактора велико, то необходимо аналитически аппроксимировать полученную зависимость. Исходными данными являются: число уровней изменения исследуемого фактора k, требуе­ мая точность А и достоверность определения исследуемой зависимости, ожидаемая величина выборочной дисперсии исследуемого параметра s2. Минимальное число исследуемых объектов находится по формуле

Результаты измерений Хц обрабатываются и анализируются с помощью дисперсионного анализа. Вычисляются выборочные дисперсии, соот­ ветствующие влиянию исследуемого фактора

и влиянию случайных отклонений

k ( п — 1)

Здесь

В последних формулах

4 —■2 ХИ' i=i

С помощью критерия Фишера сравниваются дисперсии, обуслов­ ленные влиянием исследуемого фактора, с дисперсиями, вызванными влиянием остальных, не стабилизированных в процессе измерений.

151

Предполагается, что уровни исследуемых факторов устанавливаются и стабилизируются с высокой степенью точности, а ошибки измерений малы и смешаны с нестабилизированными факторами.

Если

то влияние фактора незначимо, а ширина доверительного интервала определяется формулой

Ai = _ii— t

у ы

В1— Вз kti — 1

В этом случае влияние исследуемого фактора может приводить к изменениям измеряемого параметра (с достоверностью 1—а), не пре­ восходящим ± Ax.

В случае, если неравенство (6.5) не выполняется, влияние фактора значимо и требуется определить характер существующей зависимости. Эта задача упрощается, если имеется априорная информация о виде зависимости. При этом выбор k уровней исследуемого параметра про­ изводится в соответствии с ожидаемой функциональной зависимостью. В функциональную зависимость вводятся неопределенные параметры, определяемые по результатам измерений.

Если вид функциональной зависимости неизвестен, то удобнее всего использовать аппроксимацию с помощью полиномов. Предва­ рительно рационально оценить значимость линейного, квадратичного, кубического и т. п. эффектов влияния исследуемых факторов. Для этого вычисляется величина

— "V Г><*> У

ЬФ— СцфЛу,

1=1

где С/ф — коэффициент, выбираемый по табл. 6.1 для соответствую­ щего числа уровней фактора k и вида зависимости ф.

Далее определяется дисперсия соответствующего эффекта6

эффектов.

В соответствии со значимостью эффектов составляется уравнение регрессии

152

Т а б л и ц а 6.1

Коэффициенты С/ф

т

х = 2 « И Р.

Р=о

где оср — неопределенные коэффициенты.

Составляется система нормальных уравнений для отыскания ко­ эффициентов регрессии:

После того как найдены коэффициенты ар, определяется ошибка от введения уравнения регрессии

Ее значимость оценивается с помощью критерия Фишера сравнением

F = D/sl и F{_a [f1 = kn — т, f t = k (л—1) ].

Если F^>F{_a, то ошибка Значима и требуется изменить уравне­ ние регрессии добавлением новой функции ф (Л) и повторить вычис-

153

ления заново. Если добавление новой функции не производится, то точность регрессионного уравнения

, г-д , .

Изложенные способы получения статистических характеристик могут быть использованы и в случае зависимости исследуемого пара­ метра от большего числа факторов. Если используемый параметр за­ висит от двух и более факторов (А, В, С, D, . . .), то для планирования применяется схема многофакторного эксперимента. Основным преи­ муществом этих методов по сравнению с обычной схемой так называе­ мого полного факторного эксперимента, когда измерения производятся при всех сочетаниях факторов, является сокращение числа опытов. Это достигается пренебрежением эффектами взаимодействия факторов высокого порядка, например членов ABCD, ADEF и т. п. в уравне­ нии регрессии, т. е. использованием дробных реплик полного фактор­ ного эксперимента и одновременно всех измерений для оценки сте­ пени влияния факторов, случайных для данных опытов.

Целями многофакторного эксперимента являются: выделение ос­ новных факторов из числа возможных, оценка степени взаимодейст­ вия между факторами, получение регрессионного уравнения. Выделе­ ние основных факторов из большого числа возможных осуществляется с помощью «насыщенных» планов, базирующихся на том, что прене­ брегают влиянием эффектов взаимодействия и считают, что эффекты могут быть только линейными [47 ]. Оценку взаимодействия факторов обычно производят по схеме полного факторного эксперимента или его реплик, если заранее, по физическим соображениям, не имеет смысла учитывать эффекты сложных взаимодействий.

Для описания ряда параметров, например, морского волнения не удается ограничиться представлением с помощью случайных величин и необходимо привлекать понятие случайного поля (случайного про­ странственного процесса). Случайное поле характеризуется, по край­ ней мере, математическим ожиданием и корреляционной функцией. Корреляционная функция требует серии одновременных измерений не менее чем в двух точках, расположенных на некотором расстоянии друг от друга, с последующей статистической обработкой. Ниже бу­ дут рассматриваться случайные поля, зависящие лишь от одной про­ странственной координаты. В этом случае способы получения их кор­ реляционных функций аналогичны той же задаче для случайных про­ цессов.

§ 6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

УПРАВЛЯЮЩИХ ПОЛЕЙ

Случайный характер управляющих воздействий определяется слу­ чайным характером исходных параметров среды и управляющих объектов. Можно выделить два характерных случая, когда исходные параметры определяются случайными величинами и случайными по­ лями.

154

6.2.1.Определение функции распределения

Использование полных моделей. Физические поля описываются линейными уравнениями математической физики. Трудность опреде­ ления статистических характеристик управляющих полей зависит от того, какие из исходных параметров являются случайными вели­ чинами или полями. Наиболее просто решается задача, если случай­ ным образом меняется интенсивность источника поля. Примем, что она представляет собой случайную величину. Вследствие линейности уравнений, описывающих физическое поле, выражение для управляю­ щего поля может быть представлено в виде

U = IV (х, у, z, t),

где I — случайная величина, характеризующая интенсивность ис­ точника; V (х, у, z, t) —■детерминированная функция пространствен­ ных координат и времени, являющаяся решением задачи при единич­ ной интенсивности источника.

В этом случае управляющее поле осуществляет линейное преобра­ зование случайной величины и, следовательно,

М (0) = М [/] V {х, у, z, t),

D(U) = D[f][V(x, у, z, t)]\

Если функциональная зависимость управляющего поля от случай­ ного параметра k с известной функцией распределения f (k) задана в явном виде

U — U (х, у, z, t, k) ,

то моменты распределения управляющего поля определяются выраже­ ниями

Теоретически таким образом могут быть найдены моменты распре­ деления управляющего поля. Однако получить явные выражения для моментов удается в крайне ограниченном ряде случаев.

Практическое использование настоящих выражений наталкивается в общем случае на значительные вычислительные трудности. Эти труд­ ности возрастают, если требуется найти функцию распределения уп­ равляющего поля /0 (£/). Далее, если зависимость управляющего поля от рассматриваемого параметра k однозначная,

и V (k) —• функция монотонная (т. е. обратная функция k = W (U) однозначная), то искомая функция распределения

155

Поэтому замкнутые выражения могут быть получены только для про­ стейших расчетных моделей и функций распределения исходных па­ раметров.

В ряде случаев для обеспечения дальнейших расчетов бывает по­ лезным представить плотность вероятности либо в виде ряда по орто­ гональным нормированным функциям Qn (х)

либо в виде ряда по ортогональным с весом функциям. В качестве весовой функции может быть использована одна из наиболее простых функций распределения w (х). Тогда

где Сп определяется по (6.11).

Сходимость рядов (6.10), (6.12) необходимо устанавливать в каж­ дом конкретном случае. Однако существуют задачи, в которых схо­ димость указанного ряда не имеет значения. Если для функции рас­ пределения (х) известны лишь первые моменты распределения, то достаточно в качестве аппроксимации использовать только первые члены разложения, добившись их совпадения.

В качестве ортогональной системы функций можно использовать полиномы Эрмита (ряд Грама—Шарлье), где весовой функцией яв­ ляется нормальное распределение

(6.13)

/г—0

где

00

J fx(x)Hk (x)dx,

— СО

причем

С0—1, Ci — С2— 0.

Другим разложением такого рода является разложение по поли­ номам Лагерра. Здесь в качестве весовой функции используется гамма-распределение

Г(а+ 1)

156

Разложения (6.13) и (6.14) удобны, когда функция распределения мало отличается от стандартного нормального распределения или гаммараспределения.

Использование выражений (6.13) и (6.14) при определении момен­ тов по формулам (6.6) и (6.7) в ряде случаев приводит к вычислитель­ ным трудностям. Они связаны с необходимостью интегрирования про­ изведений собственных функций разложений потенциала или векто­ ров физического поля и разложения функции распределения (вследст­ вие нарушения условия ортогональности произведения функций). Поэтому рационально использовать разложения случайных величин по системе ортогональных функций (6.10), (6.11), через которые вы­ ражено решение задачи расчета физического поля.

В связи с указанными вычислительными трудностями замкнутые выражения удается получить только в простейших случаях.

По аналогии с (5.34) — (5.38) получим решение задачи отражения однородного электрического поля напряженности Е 0 линейно поля­ ризующейся сферой радиуса

Примем, что параметр k является равномерно распределенной слу­ чайной величиной

2kn

Функцию распределения потенциала можно определить, восполь­ зовавшись формулами (6.8), (6.9). Тогда

и

W(U)-

2 U _

1 +

с а

157

где

Е а 2 cos ft

r 2

Производя необходимые вычисления, получаем искомую функцию распределения

Метод линеаризации. Определить функцию распределения или первые ее моменты с помощью изложенных выше методов удается только в случае сравнительно простых выражений для расчета управ­ ляющих воздействий.

Если случайные изменения исходных параметров происходят в сравнительно узком диапазоне, а исследуемая функция управляю­ щего поля мало отличается от линейной в том же диапазоне, то с ус­ пехом может быть использован приближенный метод отыскания чис­ ловых характеристик — метод линеаризации. Особенно эффективен этот метод, когда приходится учитывать совместное влияние несколь­ ких случайных факторов.

Допустим, что практически возможные значения случайной ве­ личины х с математическим ожиданием Мх и дисперсией Dx ограни­ чены пределами а, |3, т. е.

Для отыскания математического ожидания и дисперсии величины Y разложим функцию ср в ряд Тейлора относительно точки х = Мх

иограничимся первым членом разложения, тогда

у= Ф (М х) + ф' (Мх) (х— Мх)

исоответственно

М(Г) = ф(МД,

D(Y) = [Ф' (Mx) f D x.

158

Пусть случайная величина есть функция п случайных аргументов

X1, X2>• • • у Хп

причем функция <р мало отличается от линейной в области практиче­ ских значений всех аргументов.

Заданы числовые характеристики системы, математические ожи­ дания М (хх), М (х2), . . . , М (х„) и корреляционная матрица

Числовые характеристики полученной линейной функции оказываются равными

+2 2 ( <Р4 * ( Ч Л - i<I

Вчастности, для некоррелированных случайных величин

п

Определение погрешности этого метода в общем случае осуществить не удается. Однако оценить погрешность можно, используя следую­ щие члены разложения в ряд Тейлора. Если учесть второй член раз­ ложения в ряд, представив

У = Ф (Мх) + Ф' (Мх) ( х - М х) + - у Ф" (Мх) (х—Мх)2,

то можно определить уточненные числовые характеристики

М(У) = ф (Мх) + - у ф" (МХ)М (х—Мх)2 =

=< Р № + у Ф " Ш Х)Г>Х,

159