книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов
.pdfДля третьего такта
DH = Dao• 2“ заяуМ)+дя2+днз = о, 1 ■2“ 3 1,94+ 0,028+0,124 = |
0 ( 0 0 ] 9 1 е д 2 _ |
||||
АЯ4 (Л) = log2 |
1+ |
2т„ |
|
||
|
|
|
T<)Da3 |
|
|
= log2 1+ |
2- 0,2 |
(0,1 |
0,002) : 0,411 дв. |
ед. |
|
60-0,002 |
|||||
|
|
|
|
||
Для |
четвертого такта |
|
|
|
|
|
|
Da — [) |
.2_4ДЯу<Л) ДЯ2 +ДЯз+ДЯ4= 0 |
1.2~4'1*94+о’О028+ • ■■+0’411_ |
|||
|
|
|
= 0,000676 ед2. |
|
||
|
|
Д#5 (Д) = log2 |
2т„ |
(D„ -D„ |
|
|
|
|
T nD |
|
|||
|
|
|
|
о^ац |
|
|
|
|
\ . |
2-0,2 |
(0,1 —0,000676) =0,731 |
дв. ед. |
|
|
= logs |
|
||||
|
|
60-0,000676 |
|
|
|
|
Для |
пятого |
такта |
|
|
|
|
£ ) д ~ D |
. 2 5 Д Я у ^ |
+ А Я 2+ • ■■+ А н ъ __0 |
1 , 2 ~ 5' 1,94+0,028 + |
• ■■+о,731 |
||
|
|
|
= 0,000288 ед2. |
|
||
220
|
|
|
|
ДЯв — log2 |
1 + |
|
2тв |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
^ в _ ( D „ — Da |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rТ .nП . V о |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10^fl5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
log2 |
1+ |
2- 0,2 |
|
(0,1 —0,000288) |
= 1,687 дв. ед. |
|
||||||||
|
|
60-0,000288 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для |
шестого такта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Da |
= D a -2 - б д я „ м )-; |
д н ,+ . . . |
,-а н 6= |
0, 1-2 -6-1,94 + 0,028+ - - . +1,687 |
|
||||||||||
|
а6 |
|
а0 |
|
|
|
|
0,00024 |
ед2. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ДЯ7 = log2 |
|
1 |
т |
2тв |
(D„ -D„ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
V |
ио |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ои а§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= log2 |
1+ |
2- 0,2 |
|
(0,1 — 0,00024) |
1,937 дв. ед. |
|
|
|||||||
|
|
60-0,00024 |
|
|
||||||||||||
Мы |
видим, |
что после |
шестого |
|
такта |
прирост |
энтропии |
ДЯ7 |
= |
|||||||
= 1,937 |
дв. |
ед. |
отличается |
от значения |
ДЯу |
всего |
на 0,003 |
дв. |
ед. |
|||||||
Следовательно, после шестого такта наступает установившийся ре жим работы радиоэлектронной системы (рис. 7.13).
Определим теперь информационный показатель радиоэлектронной
системы. Согласно формуле (7.49) имеем |
|
||
С п = — |
(6,79 + 0,028 + 0,124 + 0,411 + 0,731 + 1,687 + 1,937) = |
||
6-0,2 |
|
|
|
|
= 9,74 дв. ед./с. |
|
|
Здесь |
log2 Ят = log — |
= 6,79 |
дв. ед. |
|
9-10—4 |
|
|
По формуле (7.52) получим численные значения показателя рассогла
сования |
_г п |
|
|
г |
8 — 9,74 |
—0,218. |
|
Ка |
|
||
Си |
|
||
|
|
|
Показатель рассогласования имеет отрицательное значение. Сле довательно, в данной радиоэлектронной системе информационно логическое устройство используется с некоторой информационной перегрузкой. Последнее может неблагоприятно отразиться на точности работы радиоэлектронной системы.
§7.4. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ
ЛОКАЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ
7.4.1.Общие соотношения
Врадиоэлектронных системах локального действия сообщение о состоянии управляющего объекта (координата А*) поступает на вход системы один раз в течение всего времени ее работы (рис. 7.14). Момент
221
поступления этого сообщения на интервале времени работы системы локального действия Та„неизвестен. Такая неизвестность создает не
определенность в состоянии радиоэлектронной системы.
Поступление сообщения об управляющем объекте снимает имею щуюся неопределенность. Количество информации, которое при этом
Рис. 7.14. К анализу системы локального действия
получает радиоэлектронная система от управляющего объекта, равна ее энтропии.
Координатой управляемого объекта А для радиоэлектронной си стемы локального действия служит случайное время поступления уп
|
равляющего воздействия |
Та. |
Инфор |
|||||
|
мационный |
показатель |
радиоэлек |
|||||
|
тронной системы локального действия |
|||||||
|
выражается следующим общим соот |
|||||||
|
ношением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гп^ И |
— |
Н(Та) |
|
|
||
|
|
— |
|
|
|
|
||
|
Здесь |
Я (Та) |
|
и тв —соответственно |
||||
|
энтропия и тактовый интервал ра |
|||||||
|
диоэлектронной системы. |
|
воздей |
|||||
|
Величина |
|
управляющего |
|||||
|
ствия |
формируется |
исполнитель |
|||||
|
ным устройством. Она может быть |
|||||||
ис. 7.15. Ошибки во времени |
установлена |
сколь |
угодно |
точно. |
||||
Следовательно, |
|
момент |
поступле |
|||||
поступления воздействия |
|
|||||||
ния управляющего воздействия (слу чайное время Та) зависит только от ошибки во времени ее поступления. Ошибка во времени поступления управляющего воздействия мо жет быть задана двояко. Она задается либо в виде постоянной вели чины Ata, либо в функции плотности р (ta) (рис. 7.15).
Впервом случае интервал Т'а времени работы системы должен иметь N. уровней квантования, где
N.
&ta
Во втором случае ошибка выражается средним квадратическим зна
чением а Д/ . т а
Тактовый интервал должен удовлетворять следующим условиям:
т„ < At„
222
или
ТБ < 6(Тд,(;.
В зависимости от того, в какой форме задается ошибка, различным образом выражается энтропия Я (Та). Рассмотрим этот вопрос под
робнее.
Обратимся вначале к случаю, когда ошибка задается в виде посто янной величины Ata. В общей теории информации (см., например, [8]) получена формула для определения энтропии некоторой физи ческой системы X с непрерывным законом распределения р (х). Эта формула учитывает участок нечувствительности измерительного при бора Ах. Формула имеет вид
НАх(Х) = Н ' ( Х ) - \ о ё Ах. |
(7.53) |
Здесь Я' (X) — так называемая приведенная энтропия непрерывной системы X :
|
ОС |
p(x)}og2p(x)dx. |
|
(7.54) |
|||
|
Н' (X) = — J |
|
|||||
|
— ОС |
|
|
|
|
|
|
Применительно к нашей задаче случайная система X соответствует |
|||||||
времени Та, энтропия НАх (Хфесть энтропия |
Я (Та), а Ах |
отвечает |
|||||
значению ошибки |
Ata. |
|
|
|
|
по нормальному за |
|
Будем считать, |
что время Та распределяется |
||||||
кону с дисперсией а] |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р Va) = - 7 ^ --- |
2 0 7 |
|
|
(7.55) |
||
|
|
|
|
||||
|
У |
2 я |
% |
|
|
|
|
Подставляя (7.55) в (7.54), получим |
|
|
|
|
|
||
Н' (Та): |
|
|
|
|
|
|
|
loga V 2л <]Г1 | р (ta) dta + |
2ai |
f |
tap{ia)dta. |
|
|||
|
|
|
|
—со |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
Ho |
|
|
|
|
|
|
|
OU |
w |
0 |
. |
9 |
|
|
|
f |
P(ta)dta = \\ |
| |
tap(ta)dta = oia. |
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
Я (Ta) = |
log2 \/ ~bustаУ |
|
log2e = log2 (|/"2леа?а) . |
(7.56) |
|||
223
Подставив (7.56) в (7.53) с учетом значения Ata, окончательно получим
Н (Та) = 1оба^ 2 я в ^ . |
(7.57) |
Перейдем теперь к условиям, когда ошибка выражается средним квадратичным значением Од^. С этой целью вернемся к рис. 7.14.
Радиоэлектронная система пропускает только те значения времени Т„ которые могут быть различимы в пределах заданной точности.
Это означает, что вырабатывая конкретную величину времени Та, система не определяет, какому точно значению времени ТQt она соот
ветствует. Другими словами, при заданном значении Та имеется не определенность в значении Т Этой неопределенности соответствует
условная энтропия Н {TaJ T a).
Энтропия Я (TaJ T aj характеризует количество информации, ко.
торое теряется в радиоэлектронной системе. Следовательно, можно принять, что количество информации на выходе системы равно коли честву информации на его входе за вычетом потерь:
H{Ta) = H {T a, ) - H [ T aJ T a). |
(7.58) |
В общей теории информации [81 показывается, что для объединен ной системы (X, Y) выражение условной энтропии имеет следующий вид:
|
ОО |
|
Я (XIY) = — |
f р (х, у) log2 ~Р (*. У) dx dy—log Ax, (7.59) |
|
— ОО |
-ОО |
. Р(У) |
|
||
где p (x, у) — плотность распределения для состояний объединенной системы (X, Y)\ Ах — участок нечувствительности измерительного прибора.
В (7.59) двойной интеграл называется приведенной условной эн тропией системы X относительно Y
ОО ОО |
|
Я ' (X/Y) = j j* Р (*. У) bg2 ~Р (*, У) ' dxdy. |
(7.60) |
. Р (У) . |
|
— ОО |
|
С учетом (7.60) можно записать |
|
H(X/Y) = H'(XIY) — log2Ax. |
(7.61) |
Подставим в (7.58) выражения (7.53) и (7.61); учитывая, что в на шем случае X обозначается через Та„, a Y через Та, получим
Я (Tfl) = Н' ( Г , ) - lo g Ata. - Н' (A*IY + |
log Ata. = |
= H '[Tat) - W [ T aJ T a). |
(7.62) |
Соотношение (7.62) определяет энтропию случайного времени Та при заданной точности измерения времени Га*. Следовательно, оно
будет справедливо и для случая A tat = 0. Последнее соответствует времени Та„ как непрерывной случайной величине.
224
Подставим в формулу (7.57) значения приведенных энтропий из соотношений (7.54) и (7.60) с учетом наших обозначений
Я {Та) = |
|
оо |
|
|
оо |
|
оо |
- |
J Р (*в*) 1о§2Р(^*) dta*+ |
j |
|
j Р (*0.. *«) X |
|||
|
|
X log2 |
Р((а*’ (а) dt |
t dt |
а |
. |
|
|
|
|
Р (to) |
а* |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= J Р [ * а * ’ t a ) d t a |
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
HIT |
|
|
Р[*а» *а)]0ё2Р{*а*)Ма*Ша |
||||
|
|
|
|||||
+ |
j |
j Р (*„•’ |
*а) l0& |
Р ((а« ' *а) |
|
d t t d t. |
|
Р (ta) |
|
a* a |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Окончательно выражение для Я (Та) примет вид
ООоо
Я (Га) = J |
j p ( W a ) l0g2 |
*>(*»*■ 1а) |
dtа* dtа. |
(7.63) |
—00 —00 |
Р (<а*) Р(У |
|
|
|
|
|
|
||
Минимальное значение энтропии (7.63) называется е-энтропией |
||||
[29]. Она выражается следующей формулой: |
|
|
||
НЛ Та )= и ™ |
р (‘ . - ‘ .) 1о^ рд;т г ! г г д- д .- |
<7-64> |
||
|
|
Р(V) Р |
(У |
|
е-энтропия описывает неопределенность состояния радиоэлектронной системы, когда ошибка в определении времени задается функцией плотности распределения.
Найдем выражение для е-энтропии применительно к нашему слу чаю. Напомним, что мы имеем непрерывный нормальный процесс при заданной средней квадратичной ошибке измерения времени Та.
Воспользуемся соотношением (7.62). С учетом (7.64) найдем е-эн- тропию
Я8 (Та) — мин [ Я '( 7 ^ ) - Я '( 7 |
у т в)] = |
|
= Я '(7 ’в,) - м а к СЯ '(7 ’0./ |
Гв). |
(7.65) |
Рассмотрим в (7.65) слагаемое Я ' (ТaJT a). Время Та„и время Та взаимосвязаны. Двумерная функция плотности нормального распре-
225
деления имеет вид
Р (*„•> К) |
2лоta*<5taV l ~ r2 |
X |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
X exp |
|
|
|
|
2rta,ta , |
^ |
(7.66) |
||
2 (1 |
— ra) 1 |
0, |
a, |
a, |
07 |
||||
|
' |
|
' \ ‘Л* |
|
*л* |
*n |
*n |
||
где r — коэффициент |
корреляции |
значений Ta„ и |
Та. Приведенная |
||||||
энтропия системы (Та„, Та) равна |
|
|
|
|
|
|
|||
|
00 |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
н ' ( т , . г . ) — |
f |
J |
Р ( < , . y i o g 2 p |
|
у л „ л . . |
||||
|
—00 —00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Прологарифмируем выражение |
(7.66) |
|
|
|
|
|
|||
log2 р (/а- |
*0) = |
- |
1о§2 (2лV |
a^a V7 1 ~ |
Г' |
||||
|
|
' t2 |
|
2 |
t |
, |
/2 |
|
|
2(1 — Л2) |
la* |
lrla*la |
ra |
log2e. |
|||||
\ 0? |
|
0. |
0, |
|
0? |
||||
|
|
|
|
||||||
v |
’ |
\ to* |
*a* fa |
|
*a |
|
|
||
Подставим полученное выражение в формулу для Н' {Та„ Тау.
|
|
|
__________ |
СО |
СО |
Н '( Т. : Т»)='<Ч,{2Я\ Л Л / |
, - Г ) |
1 |
f P (h - ‘. ) d‘°-d‘. + |
||
4 |
|
|
|
—об —00 |
|
|
OO |
OO |
|
|
|
202 (]g2_X) |
i” |
i" |
*“*Р |
|
^a) dta*dta' |
Z U t a * \ l Г ) |
— OO — OO |
|
|
||
Hog2e |
00 00 |
°v °x l1- r 1
Ho
J J P { ^ t a) d t j t a= \ \ -
-00—00
J I
-0 0 —00
00 00
J J *>(*«*'• У Ла*^а= 0^ ;
■ 00 — OO
00 00
J T ia)dta*dia - (Jl-
226
П олучим
Н'[ Та» Ta) = l0&2(2n\ . ataV l - |
Iog2e- |
log0e. |
|
Окончательно будем иметь |
|
|
|
|
Н ' { Т а*> Т а) = 1о§2 ( 2 j l e ° t a *a ta V |
х - Г 2) • |
|
Известно, |
что |
|
|
н '\ т , . |
т*) = Н' (Т„.) + И' (T J T ,) = Н ' (Г,) + № [T J T ,). |
||
Рис. 7.16. Различные сочетания среднеквадратич ных отклонений
Тогда
Н (V |
Та) = log2 (2 « а / Л 1/ |
Т ^ - Н ' (Та ) = |
= |
1о§2 (2яе\ Л а V 1 - ^ я) - |
log2 V 2™ о,а= |
= log2 (]/' 2яе в / а„ У 1 —r2) = log2 [ а 1а, ] / Г2 л е ( 1 — г2)] .
Запишем далее
макс Н' [TaJT а) = — log2 2яе + макс |
^ У 1 -г2) (7.67) |
Обратимся теперь к рис. 7.16. На этом рисунке показаны различ ные сочетания ota, oiat, и oAia. Здесь Ata — ошибка измерения вели
чины Та\ oAta — среднее квадратичное отклонение значения Та от значения Та*
227
Для получения максимального значения Н' (TaJ T a) необходимо,
чтобы в (7.67) г было минимально. Для того чтобы при заданной ошибке измерения сгд<а значение г было минимальным, нужно иметь
максимальное значение угла а. Последнее возможно в двух случаях: либо вектор At перпендикулярен вектору ta„, либо вектор Ata„перпен
дикулярен вектору ta.
В первом случае будем иметь
COS 0Смакс |
^"мин |
°ta* |
> |
|
~^Г |
|
|||
во втором случае получим |
|
‘а |
|
|
|
% |
|
|
|
COS ССмакс |
Гмин |
' |
|
|
' л |
|
|||
Подставим эти значения в (7.67) |
|
|
2 ( 2 |
2 \ |
макс, Н ' [ T J T ' ) - log, |
+ |
|
||
Z |
Ofla |
; |
||
|
|
|
макс2 H' (TaJ T a) = log2 Y 2ne + - j log2<r* ,д.
Нетрудно заметить, что второе значение приведенной энтропии пре восходит первое ее значение. Используя его, а также (7.56) и (7.65), окончательно получим
Hs(Ta) = H(Ta) = log2- ^ - . |
(7.68) |
Д ta
Соотношения (7.57) и (7.68) выражают энтропию случайного вре мени Та на выходе радиоэлектронной системы. В них используется разная форма задания ошибки момента поступления управляющего воздействия.
7.4.2. Зависимость информационного показателя
радиоэлектронной системы от точности ее действия
Допустим, что поставлена задача повысить точность радиоэлек тронной системы локального действия. Это означает, что должна быть повышена точность выдачи управляющего воздействия и, следова тельно, точность поступления сообщения об управляющем объекте. Дополнительный прирост информации согласно (7.68) при этом будет равен
|
|
|
|
Ot * |
ot » |
АН (Та) = Н (Та)0—Н (Ta)k = log2 |
|
log2 = |
|||
|
|
|
|
Дta |
° Д ta |
|
<*t |
Дta |
|
* |
|
|
°0 |
|
°0 |
|
|
= log2 |
О., Щ* |
= log2 ОI * |
|
||
|
л*а |
ta. |
|
ak |
|
228
Здесь ot * и at * — средние квадратичные значения разброса мо
ментов поступления сообщений о состоянии управляющего объекта на интервале времени работы первоначальной системы и системы с по
вышенной точностью
o f * === fzo/ *,
ч
где &>> 1.
На графике рис. 7.17 показана зависимость прироста информации от повышения точности радиоэлектронной системы локального дейст вия. Нетрудно заметить, что наиболее интенсивный прирост информа ции наблюдается в диапазоне 0 < /г< 1 0 .
В радиоэлектронной системе локаль ного действия поступление сообщения об
управляющем |
объекте производится |
в мо |
мент, когда |
сигнал,— переносчик |
этого |
сообщения,— достигает некоторого тре буемого значения. Это значение называется параметром срабатывания.
Измерительное устройство радиоэлек тронной системы определяет значение сигнала от управляющего объекта иа„ с не
которой точностью. Ошибка в измерении АиаШприводит к ошибке в моменте поступ
ления сообщения об управляющем объекте. Чтобы увеличить точность момента поступления сообщения, достаточно при менить измерительное устройство с мень шим шагом квантования. Квантование сиг нала по уровню с меньшим шагом позволяет
внести в информационно-логическое устройство радиоэлектронной системы дополнительное возможное состояние. Тем самым обеспечи вается прирост информации об управляющем объекте.
Будем считать, что в радиоэлектронной системе все возможные ее состояния равновероятны. Тогда число дополнительных возможных состояний получается из выражения
АН (Та) = \og2m.
Оно равно
ot т _ 2дя (Та Of *
Рассмотрим путь реализации этих условий на примере радиоэлек тронной системы, которая вдвое должна повысить точность выдачи управляющего воздействия. Следовательно,
|
ot * |
k ■ |
ао |
= 2. |
|
|
Ot |
229