книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

имеется линейная связь между малыми изменениями давления и плот­ ности

где s — энтропия среды.

Выразим все неизвестные величины через одну — потенциал коле­ бательной скорости ф [см. уравнение (4.5)1.

Уравнение (4.13) можно переписать в виде

Уравнение (4.16) является основным уравнением акустического поля. Оно называется скалярным волновым уравнением. Скалярным оно является в связи с тем, что потенциал колебательной скорости и

в морской воде и плотность воды являются величинами заданными; с « 1,5-103 м/с, р « 103 кг/м3. Изменение скорости звука с изменением температуры, глубины и солености вызывает искривление траектории распространения звука. Если направление распространения звука

характеризовать вектором п, то последний может быть определен из уравнения

где dl — cdt — элемент длины пути, проходимого звуковым лучом. Интенсивность звука изменяется обратно пропорционально площади волновой поверхности, следовательно, произведению радиусов кри­ визны волновой поверхности. Эти соображения об особенностях рас­ пространения звука в неоднородной в акустическом отношении среде при с Ф const нужно иметь в виду при анализе формирования управ­ ляющих воздействий. Однако в виду специфичности этого явления и

1 В дальнейшем штрих в обозначении звукового давления опускаем.

100

используемого математического аппарата решение уравнения (4.19) в настоящей работе не рассматривается.

Таким образом, задача расчета акустического поля сводится к ре­ шению уравнения (4.16) или (4.18), причем на поверхности акусти­ чески неоднородных тел должны выполняться условия равенства дав­

и равенства нормальных к поверхности раздела компонент колебатель­ ной скорости

Наряду с перечисленными возможны частные случаи расчета аку­ стического поля, при которых рассматриваются граничные условия на поверхности акустически абсолютно жестких и акустически аб­

дп

ана поверхности абсолютно податливого тела (рхСх -» 0)

Отражение звука от плоской поверхности может быть приближенно охарактеризовано коэффициентом отражения.

В большинстве случаев достаточно рассмотреть монохроматические источники звуковых колебаний или отдельные спектральные составляю­ щие сигналов сложной формы. В этих случаях можно принять зави­

симость давления от времени в виде e~mt. Тогда волновое уравнение (4.18) упрощается и принимает вид

где k%= ©/с — волновое число и, соответственно, р = —t'copcp. Граничное условие (4.21) примет вид

Таким образом, расчет акустического поля обычно сводится к необхо­ димости решения уравнения (4.25) при заданных на поверхности от­ ражающих или рассеивающих телграничных условиях вида (4.20) — (4.24) или более сложных.1 К уравнениям нужно добавить предельное условие — условие излучения. Это условие требует, чтобы на бесконечности акустическое поле представляло бы собой совокуп­

1 В общем случае, когда на поверхности рассеивающего или излучающего тела происходит поглощение звука, граничные условия усложняются. В этом случае следует использовать импедансные граничные условия.

101

ность расходящихся сферических волн. Математическое условие из­ лучения сводится к требованию

которые могут возбуждаться, например, при падении звуковой волны на грунт или при распространении вдоль поверхности рассеивающих звук тел.

Электромагнитное поле. Источниками электромагнитного поля являются электрические заряды с плотностью а и электрические токи с плотностью /.

Вектора электромагнитного поля связываются с источниками поля

пряженности электрического поля; D — вектор электрического сме­

щения; В — вектор магнитной индукции.

Уравнение (4.27) означает, что источником электромагнитного

поля являются не только токи проводимости /, текущие в среде, но

/

и временные изменения электрического поля — токи смещения. Урав­ нение (4.28) констатирует, что изменения магнитного поля в каждой точке среды возбуждают электрическое поле, оно выражает закон ин­ дукции.

Условия (4.29) и (4.30) не являются независимыми. Они получаются

Для получения полной системы уравнений к ним добавляются ма­ териальные соотношения, связывающие между собой вектора поля:

где е — диэлектрическая проницаемость среды; р — магнитная про­ ницаемость среды; у — удельная электропроводность среды.

Полная система уравнений электромагнитного поля состоит из пяти уравнений (4.27), (4.28), (4.32),^4.33)^_(4:34), позволяющих опре­

делить неизвестные вектора поля В, Н, /, Е, D.

На границе раздела сред с различными электромагнитными пара­ метрами должны выполняться следующие граничные условия:

(4.35)

(4.36)

(4.37)

(4.38)

где I — плотность поверхностного тока; о — плотность поверхност ного заряда.

Решение полной системы уравнений электромагнитного поля, за исключением отдельных частных случаев, встречает серьезные труд­ ности. Поэтому воспользуемся особенностями морской среды для вы­ вода упрощенных уравнений. Электромагнитные параметры воды резко отличаются от соответствующих параметров воздуха или ва­ куума. Так, для воздуха е = е0, р = р0, у = 0, а для воды у = 0,5 -г- -j- 6 См/м, е = 81е0, р = р0Е

Высокая электропроводность морской воды приводит к большому затуханию электромагнитных волн. Практически во всем диапазоне частот можно пренебречь токами смещения. Кроме того, статические заряды мгновенно исчезают в воде, поэтому уравнения электромагнит­ ного поля в воде могут быть записаны в виде

или по уравнениям (4.39)

Я = — уА*

1 ео ~ 4л-9-109 Ф/м,

р0 = 4л10 7 Г/м.

103

Мы получим, что векторные потенциалы А и А * удовлетворяют од­ ному и тому же векторному волновому уравнению (уравнению Даламбера)

также должны быть переписаны с использованием векторного потен­ циала.

Однако и решение векторного волнового уравнения (4.41) также встречает серьезные математические трудности. Поэтому важна воз­ можность дальнейшего упрощения системы уравнений электромагнит­

до точки наблюдения; со — частота излучаемого поля. При источни­ ках электрического типа система уравнений электромагнитного поля записывается в виде

В обоих случаях один из векторов поля является потенциальным

[см. уравнения (4.43) и (4.45) для векторов Я и Я соответственно]. Введя скалярный потенциал, выразим через него вектор для уравне­ ний (4.43)

£ = —grad ср, Дф = 0.

Тогда уравнение (4.42) записывается в виде

rotH = —у grad ф, divH = 0

и описывает вихревой вектор Я, порожденный потенциальным электри­ ческим полем. Таким образом, обе системы уравнений (4.42) и (4.45) мо­ гут быть записаны единообразно:

rot N = —аМ, div N = О, M = gradi|>, Дф = 0,

где под М и Я следует понимать векторы Я и Я в (4.42), (4.43) и, на­ оборот, Я и Я в (4.44) и (4.45).

При расчете поля, кроме удовлетворения этим уравнениям, необ­ ходимо выполнить граничные условия (4.35) — (4.38) на поверхности

104

объекта и удовлетворить предельным условиям, регламентирующим характер убывания поля на бесконечности. Кроме того, вектора поля должны иметь соответствующие особенности в местах расположения источников поля.

Электрическое поле. Электрическое поле принципиально может создаваться за счет нахождения в среде статических зарядов; в этом случае возникает электростатическое поле. Кроме того, оно создается при протекании стационарных токов; тогда возникает стационарное электрическое поле.

Уравнения электростатического поля имеют вид:

ro t£ = 0, divD = cr, D = e£.

В проводящей среде наличие электрического поля приведет, со

гласно (4.34), к появлению электрических токов /. Плотность тока свя­ зана с изменением заряда уравнением (4.31). Совместное рассмотрение уравнений (4.31) и (4.34) накладывает следующее условие на плотность заряда:

— -f — а = 0.

d t s

Решение этого уравнения записывается в виде

где сг0 — плотность заряда в начальный момент времени.

Подставив в последнее выражение константы воды е = 81е0 и у =

= 4 См/м, получим, что через 2-Ю-10 с заряд уменьшится в е раз. Поэтому электростатическое поле может создаваться в морской воде только зарядами, расположенными в изоляционной полости. Кроме того, ввиду высокой диэлектрической проницаемости воды оно будет почти на два порядка ослаблено по сравнению с полем тех же зарядов в воздухе. Металлическим телам можно приписать е = со. Поэтому поле электростатического заряда, ограниченного металлической обо­ лочкой, будет полностью экранироваться ею. Таким образом, электро­ статическое поле в воде находит весьма ограниченное применение и далее не будет рассматриваться.

Стационарным электрическим полем называют электрическое поле токов проводимости, текущих в среде.

Основные уравнения стационарного электрического поля имеют вид

rot£ = 0, div Е = 0.

Используя соотношение (4.31), можно записать для вектора плот­ ности тока

rot / = 0, div / = 0.

Последние уравнения описывают потенциальные поля. Так,

Е— —grad U, AU —0

ианалогично для токового поля / = grad <р, Дер = 0. В соответствии

105

Граничные условия на поверхности раздела сред с различной электропроводностью имеют следующий вид:

Заметим, что граничное условие электростатики, записанное в виде (4.38), не используется при расчете стационарного поля. Но с его по­ мощью при необходимости можно найти распределение плотности поверхностного заряда на границе раздела сред.

При стекании постоянного электрического тока с поверхности ме­ талла в воду, на поверхности раздела металл — электролит проте­ кают электрохимические процессы, приводящие к падению напряже­ ния на двойном электрическом слое (явления поляризации). Эти явления могут быть учтены в граничном условии на поверхности металла:

где b — удельная поляризуемость металла (Ом-м2), в общем случае является заданной нелинейной функцией плотности стекающего

электрического слоя на поверхности металла). Если на поверхность металла нанесено изоляционное покрытие с удельным поперечным сопротивлением р (Ом-м2), то в граничном условии (4.49) следует заменить b на р.

Следует отметить, что удельная поляризуемость зависит от направ­ ления тока, протекающего через поверхность металла (анодная и ка­ тодная поляризуемость). Для многих металлов анодная и катодная поляризуемость различаются по величине.

На поверхности электроизоляционного тела должно выполняться

Если пренебречь явлениями поляризации, то на поверхности ме­

Влияние плоских границ раздела на распространение электричес­ кого поля может быть охарактеризовано коэффициентом отражения

k — (у — Yi) / (Y + Yi). гДе 7. 7 1 — удельная электропроводность воды и второй среды соответственно.

106

Таким образом, определение электрического поля заключается в отыскании его потенциала (4.46) и требует решения уравнения Лап­ ласа при заданных граничных условиях (4.47) — (4.51).

Кроме того, необходимо выполнение условия электронейтральности, заключающегося в требовании равенства нулю суммы токов, стекаю­ щих со всех взаимодействующих тел (электродов):

2 ФLdS, = 0 или 2 Ф v -^ -d S { = 0,

где St- — поверхность г-го электрода; N — общее число электродов. Условие электронейтральности равнозначно требованию регуляр­ ности потенциала на бесконечности. Для системы, в которой все взаи­ модействующие тела и источники тока находятся на конечном расстоя­

нии от начала координат, имеем

Заданными являются источники электрического поля — величины стекающих токов или значения потенциалов на поверхности электро­ дов.

Магнитное поле. Магнитное поле описывается системой уравнений

Магнитное поле носит вихревой характер, его источниками яв­ ляются электрические токи. Поэтому при расчете магнитного поля картина распределения токов или электрическое поле должны быть известны. Векторы напряженности магнитного поля и магнитной ин­ дукции связаны соотношением (4.33). Магнитные свойства тел харак­ теризуются их магнитной проницаемостью р, которая для ферромаг­ нитных тел (р > р 0) является в общем случае нелинейной функцией приложенного поля, а также зависит от «магнитной предыстории» материала или явления гистерезиса. Для диамагнитных и парамаг­ нитных тел, в том числе и для морской воды и большинства грунтов,

р« р„.

Вслучае отсутствия ферромагнетиков на поверхностях раздела сред должно выполняться требование

Вэтом случае удобно ввести векторный потенциал, положив

Н= rot A, div Л = 0.

Тогда, согласно (4.52), получаем уравнение rot rot .Д — /,

которое с учетом второго условия (4.52) преобразуется к виду АЛ = 0.

107

Если магнитное поле создается замкнутыми контурами с током, то во всем окружающем контуры пространстве магнитное поле носит потенциальный характер

rot Н = О, div Н = 0.

Тогда можно ввести магнитостатический потенциал

Н = —grad ф, Дф = 0.

Известно, что вместо контуров с током можно ввести фиктивные источники, так называемые «магнитные листки» или слои магнитных диполей.

Потенциал, создаваемый контуром с током /, может быть вычислен по формуле

ф = / 1 n grad^ yv го ( у ) d S ^ - l T n grad^. у>г ( у ) dS. (4.53)

Здесь п — направление нормали, составляющей с направлением тока,

по координатам точек наблюдения.

Заметим, что введение потенциала имеет смысл только вне области, занятой токами.

Граничные условия для магнитного потенциала записываются, как следует из (4.36), (4.35), в следующем виде:

Ф1 = Ф2.

Наличие областей с постоянным намагничением может быть учтено заданием интенсивности намагничения, поле которого вычис­ ляется по формулам, аналогичным (4.53).

Таким образом, расчет управляющих воздействий сводится к необ­ ходимости решения одного из следующих уравнений:

Дф = 0,

Др + /г2р = 0,

ДЛ + /гМ = 0,

rot iV = agradi|3,

при соответствующих граничных и предельных условиях и заданных источниках поля.

§ 4.3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА УПРАВЛЯЮЩИХ ПОЛЕЙ

Расчет физических параметров управляющих полей возможен только при замене реальных объектов соответствующей расчетной моделью.

Геометрическая форма расчетной модели, как правило, значительно проще взаимодействующих объектов. Это объясняется тем, что задача

108

расчета управляющих полей осуществима только в том случае, если расчетная модель имеет простую геометрическую форму. Основная трудность решения возникает при необходимости удовлетворить гра­ ничному условию на поверхности модели. Практически непреодоли­ мые трудности возникают тогда, когда форма поверхности расчетной модели не совпадает с координатной поверхностью. Поэтому одним из наиболее действенных приемов расчета поля является введение такой криволинейной системы координат, в которой в качестве расчетной модели можно принять координатную поверхность или ее часть.

Принципиально выбором подходящей системы криволинейных координат можно добиться, чтобы одна из координатных поверхностей достаточно близко совпадала с поверхностью управляющего объекта. Однако введение криволинейной системы координат влечет за собой соответствующее усложнение дифференциального оператора поля. Поэтому число криволинейных координат, в которых возможен эффек­ тивный расчет поля, ограничен.

Существует большое число точных и приближенных методов рас­ чета физических полей. Многие из них в значительной степени отли­ чаются друг от друга, так как в них используется различный матема­ тический аппарат. Рациональный выбор метода расчета поля возможен только после того, как задача будет поставлена математически, т. е. станет известно уравнение, которому должен удовлетворять харак­ терный параметр физического поля, определится расположение ис­ точников поля, будут сформулированы граничные и предельные ус­ ловия и определен набор допустимых геометрических форм расчетных моделей.

Одним из наиболее общих и широко распространенных методов отыскания точного решения является метод разделения переменных. Кроме этого метода, успешно используются вариационные методы, интегральные преобразования, конформные преобразования и ком­ плексные потенциалы, функции Грина, интегральные уравнения. Наряду с перечисленными строгими методами в последнее время, в связи с успехами вычислительной техники, разработано большое число при­ ближенных численных методов. В настоящей работе рассматриваются только строгие методы расчета, вариационные же при практической реализации обычно требуют применения численных методов счета и с этой точки зрения являются приближенными. Приближенными также являются всевозможные методы возмущений — разложения по малому возмущающему параметру, метод итераций.

Аппарат теории функций комплексного переменного, особенно конформные преобразования, весьма эффективен. Он позволяет су­ щественно расширить круг геометрических форм расчетных моделей. Однако существенным недостатком этих методов является принци­ пиальная возможность получения решения только для двухмерных об­ ластей.

Число задач, которые можно решить с помощью интегральных уравнений, также ограничено. Это объясняется тем, что интегральные уравнения могут быть сравнительно легко решены только в том слу­ чае, если их ядро имеет специальный вид.

109