книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

зации в них предыдущих величин:

Н {Ах, Л2, . . . . Аь) — Н (Л]) -f- Н (Л2/Л1) + . . . +

где Р ( ) — вероятность того, что случайная величина А приобретает значение af.

4. Если значение дискретной величины не имеет разброса, т. е. строго фиксировано, то ее энтропия равна нулю.

Рассмотрим простой пример. Допустим, что в результате отключе­ ния радиоэлектронной системы управляемый объект начал двигаться по произвольной случайной траектории. После включения радио­ электронной системы движение управляемого объекта восстановилось по надлежащему курсу с точностью сгф = 5°. Найти уменьшение эн­ тропии управляемого объекта в результате включения радиоэлектрон­ ной системы.

Вначале найдем энтропию управляемого объекта при отключенной радиоэлектронной системе. Распределение вероятности угла курса <р примем равномерным. На основании (7.3) будем иметь:

360

Н1 (Ф) =

о

Далее определим энтропию управляемого объекта после включения радиоэлектронной системы. Будем считать, что распределение вероят­ ности угла курса <р подчиняется нормальному закону распределения

ф-

= log2 Y 2я сф j р (ф) dcp+ 1~- г J ф2Р (ф) ^ф-

190

Но

Тогда

Я2 (Ф) = log2 аф У 2 я -f -j- log2 е = log2 (аф V 2яе) = log2 20,6.

Разность энтропий равна

(Ф) —Я 2 (ф) = log2 ZU,b =4,1 дв. ед.

7.2.2.Показатель энтропийного несоответствия

ходиться в одном из множества конечных состояний. Число таких воз­ можных состояний и вероятности их появления определяются назна­ чением и условиями систем. Поясним это положение примерами.

В качестве первого примера обратимся к радиоэлектронной системе локального действия. Система может находиться в одном из двух со­ стояний. Эти состояния отвечают альтернативе «управляющий объект есть» — «управляющего объекта нет». Вероятности нахожде­ ния системы в одном из указанных состояний связаны с конкретными условиями использования радиоэлектронной системы.

Усложним теперь эту систему. Будем полагать, что кроме обнару­ жения управляющего объекта она должна различать ее класс. Тогда возможных состояний системы окажется не два, а больше. Их число будет отвечать количеству всех классов возможных управляющих объектов и состоянию, когда управляющий объект отсутствует.

Рассмотрим третий пример. Допустим, что имеется радиоэлектрон­ ная система, которая определяет направление (пеленг) на управляю­ щий объект. Такая система должна установить, есть ли в зоне ее дей­ ствия управляющий объект. Если он есть, то находится ли он справа, слева или прямо по направлению движения управляемого объекта.

Такая система должна находиться в одном из следующих четырех конечных состояний, отвечающих условиям: цели нет, цель есть справа, цель есть слева, цель есть прямо.

Вероятности каждого из этих состояний также зависят от конкрет­ ных условий.

В четвертом примере рассмотрим дальномерную систему, которая предназначена для непрерывного измерения расстояния до управляю­ щего объекта. Очевидно, такая система непрерывно переходит из одного состояния в другое. Каждое отдельное состояние имеет веро­ ятность, равную нулю. Число таких состояний бесконечно велико.

Обратимся к рис. 7.1. В случае идеальной радиоэлектронной си­ стемы каждое конечное ее состояние должно соответствовать вполне определенному сигналу от управляющего объекта. Следовательно, значение координаты А должно отвечать значению координаты А*.

191

В дальнейшем сигналы от управляющего объекта мы будем назы­ вать управляющими сигналами1. Число возможных управляющих сигналов должно быть равно числу возможных состояний системы. В реальных условиях параметры управляющих сигналов зависят от случайных факторов. Так, например, случайными могут быть физи­ ческие свойства управляющего объекта. Случайными могут оказаться условия прохождения сигналов через морскую среду и т. д. Поэтому параметры управляющих сигналов характеризуются известной не­ определенностью. Энтропия управляющих сигналов реальной радио­ электронной системы может превосходить энтропию сигналов идеаль­ ной системы. Для характеристики такого несоответствия восполь­ зуемся понятием показателя энтропийного несоответствия.

Общее соотношение. Будем называть энтропию управляющих сиг­ налов энтропией радиоэлектронной системы. Запишем прежде всего энтропию идеальной радиоэлектронной системы. Обозначим вероят­ ность всех возможных состояний системы через Р г , . . . , Рп. В со­ ответствии с формулой (7.4) запишем для идеальной радиоэлектронной системы

я„. с = -- 2 p i 10§2р г ДВ. ед. i=i

Для идеальной системы с непрерывным изменением управляющего сигнала по формуле (7.3) соответственно запишем

ОО

На. с = — J Р («с) log2 Р («с) duc,

— ОО

где р (ис) — плотность распределения вероятностей управляющего сигнала.

Обозначим через Я р. с энтропию реальной радиоэлектронной си­ стемы. Тогда показатель

где 0 < /Сэ< 1 будет характеризовать относительное несоответствие реальных условий работы системы идеальным условиям. Этот показа­ тель мы будем называть показателем энтропийного несоответствия радиоэлектронной системы. Чем больше численное значение показа­ теля (7.5), тем ниже качество системы.

Практический метод определения показателя энтропийного несо­ ответствия. Вначале найдем энтропию реальной системы Нр с. Не­ обходимо прежде всего установить параметры сигнала Uc, несущие полезную информацию об управляющем объекте.

Следуя по пути построения приближенного решения, выберем ко­ нечное число параметров, которые бы сравнительно просто и в то же время достаточно полно характеризовали управляющий сигнал. Обо­ значим эти параметры через Ucv UC2, . . . , Uc . Для всей совокупно­

1 Или управляющими воздействиями.

192

сти управляющих сигналов эти параметры являются случайными ве­ личинами.

Все факторы, характеризующие управляющий сигнал, могут быть зависимыми и независимыми между собой. На основании (7.2) можно записать

энтропии соответствующего случайного параметра. Определим эти энтропии.

Случайные параметры сигнала Uс , UCl, . . . , t/Cfe являются не­

прерывными величинами. Однако пользоваться для расчета энтропии формулами непрерывного распределения нецелесообразно. В случае непрерывного распределения энтропия выражается через функции распределения вероятностей. Последние зависят от выбора системы единиц. Соответственно при переходе к другим единицам измерений энтропия должна изменяться.

При дискретном распределении энтропия выражается через вероят­ ности различных исходов испытаний. Эти вероятности характери­ зуются численными величинами. Следовательно, энтропия дискрет­ ного распределения имеет вполне определенное значение.

В основу дискретизации параметров сигналов положим следующую особенность реальных систем. Они не всегда могут отличать измене­ ния параметра. Последние должны различаться на величину, превос­ ходящую определенный минимум. Такой минимум мы и примем в ка­ честве шага квантования.

Можно записать

по соответствующему параметру.

193

Определение численных значений шага квантования связано с боль­ шими трудностями. Вопрос решается установлением относительного шага квантования. При этом будем ориентироваться на данные, при­ водимые обычно в технических характеристиках.

Запишем

А и„

Аис ,= иci£.

Ди„

А«с . = U c .

Ли. __ c k

Здесь | AuCi | , [ A«c2 I, . . . , I AuCk| — абсолютные значения допусков

при заданной величине параметров.

Нам остается определить функции распределения случайных па­ раметров сигналов. Они устанавливаются с учетом физических осо­ бенностей действия радиоэлектронных систем.

Законы распределения случайных параметров сигнала. Рассмотрим методику определения функций распределения на конкретном при­ мере. В качестве такого примера возьмем радиоэлектронную систему локального действия бинарного типа. Условимся, что на вход системы подается сигнал в виде однократного радиоимпульса.

Для каждой реализации сигналов подобного типа удобно выбрать три показателя:

—наибольшую амплитуду сигнала Ucm;

—длительность сигнала Тс или ширину спектра огибающей Sc; 1

—фазу частоты заполнения фс.

Определим вначале функцию распределения случайной амплитуды сигнала Р (ист). Будем для простоты считать, что амплитуда сигнала зависит от расстояния между управляющим и управляемым объек­ тами. От физических свойств среды она не зависит.

Совместим границу управляющего объекта с началом координат

Амплитуда является функцией двух непрерывных аргументов X и Y. Будем считать, что корреляционные связи между ними отсутствуют,

1 Для сигналов одной и той же формы ширина спектра зависит только от его продолжительности.

194

а сами параметры X и Y подчиняются нормальному закону распреде­ ления

от центра управляющего объекта до его границы.

Воспользуемся известными в теории вероятностей методами опре­ деления закона распределения функции случайных аргументов [8]. С этой целью выразим функцию Ucm = f (X, Y) поверхностью в си­

Перепишем (7.9) в новых координатах (х’, у'). После преобразования получим

195

и„

Обозначив в (7.12) —— = Z, запишем

и С

откуда

1. (7.13)

,„ г - Д г - Я + е ai V 4ах 4|3Х P i V 4ах 4|3Х

Выражение (7.13) есть уравнение эллипса с центром в начале ко­ ординат и полуосями

Найдем функцию распределения Р (Ucm). По определению мы имеем

Обозначим через D область на плоскости ист = const, для которой Ucm<Cucm. Для выполнения неравенства (7.14) случайная точка (х', у') должна попасть в область D, следовательно,

Перепишем законы распределения в новой системе координат

Подставив (7.16) в (7.15) и определив необходимые пределы интегри­ рования, получим

Р (и ст ) = 4 J J р(х', y')dx'dy' + 4 Л р(х', y')dx'dy' =

196

Содержащийся в (7.17) интеграл вычисляется методами численного интегрирования.

Примерный вид функции распределения Р (ист) для различных значений ох и оу представлен на рис. 7.5. Из графиков рис. 7.5 можно сделать следующее заключение о характере функции распределения. Эта функция в диапазоне изменения аргумента от 0 до со не всегда является непрерывной. В точке ист она терпит разрыв и скачком пе­

реходит в единицу. Физически это отвечает условиям, когда управ­ ляемый объект в своем рассеивании «переходит» границу управляю­ щего объекта.

197

Из (7.17) следует, что функция распределения случайной ампли­ туды управляющего сигнала существенно зависит от величины сред­ них квадратических отклонений. Очевидно, от этих же параметров должна зависеть энтропия амплитуды Н (Ucm).

Обратимся к условной энтропии фазы колебаний несущей частоты. В соответствии с формулой (7.6) нам необходимо найти функцию рас­ пределения случайной фазы Р (фс/ыст).

Напомним, что случайная фаза колебаний несущей частоты сигнала зависит от расстояния до управляющего объекта и физических свойств среды. Но информация о расстоянии до управляющего объекта заклю­ чена также в амплитуде сигнала. Поэтому остается лишь учесть не­ определенность в физических

свойствах среды.

Рис. 7.6. Энтропии парамет­ ров сигнала

Примем самые общие предположения. Будем считать, что случай­ ная фаза' срс при данной амплитуде Uc = Ucm распределяется по за­ кону равномерной плотности. Для этого случая функция распределе­ ния будет выражаться так:

где фс. макс и фс мин — пределы изменения случайной фазы фс. Аналогично подойдем к определению энтропии продолжительности

управляющего сигнала. Будем считать, что в диапазоне возможных изменений относительной скорости между управляемым и управляю­ щим объектами распределение продолжительности сигнала также под­ чиняется равновероятному закону '

Энтропии параметров сигнала, вычисленные согласно (7.6) с уче­ том (7.17), (7.18) и (7.19) для некоторого частного случая, представ­ лены на графике рис. 7.6.

198

Яр. с = Н (Vcm) + Я (фJU ст) + Я (Тс) = 24 + 4 + 8 = 36 дв. ед. (7.20)

Получим теперь значение энтропии идеальной радиоэлектронной системы. Для бинарных систем характерным является возможность находиться в одном из двух конечных состояний.

Обозначим вероятность первого состояния через Р г. Тогда вероят­ ность противоположного состояния будет Я 2 = 1 — Р г. Сделаем са­ мое общее предположение. Будем считать, что

Р 1 = Р2 = 0,5.

Очевидно, этот случай отвечает равновероятным исходам. Такое ус­ ловие соответствует наибольшему из всех возможных значений энтро­ пии. Мы получим

Подставим (7.20) и (7.21) в (7.5)

к = я р. с - я „ . с = 3 6 - 1 = 0 97-

Яр. с 36

Мы видим, что для данного случая показатель энтропийного не­ соответствия оказался достаточно большим. Он близок к своему пре­ дельному значению, т. е. к единице.

Допустим, что для какой-то другой реальной системы того же зна­ чения соответственно получим

второй радиоэлектронной системы над первой.

7.2.3.Энтропия н информация в контуре управления радиоэлектронной системы

Для описания энтропии и информации в контуре управления ра­ диоэлектронной системы мы используем понятия энтропии управ­ ляемого процесса, предложенного для исследования сложных систем управления [35].

Разомкнутый контур передачи информации. Согласно схеме, при­ веденной на рис. 7.1, в контуре управления радиоэлектронной системы имеет место последовательная передача информации от одного устрой­ ства к другому. Рассмотрим, как изменяется количество информации в процессе ее передачи.

199