книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

Накладывая условие электронейтральности (считая, что ток, сте­

ставлены для отстояния прямой, параллельной оси симметрии эл­ липсоида — 0,4 I, где I —длина эллипсоида (kx = k.2 = k).

В заключение следует отметить, что приведенные формулы для расчетных моделей, содержащих вытянутый эллипсоид вращения, легко могут быть преобразованы для аналогичных расчетных моделей, содержащих сплюснутый эллипсоид вращения. Для этого в получен­ ных выражениях достаточно совершить предельный переход, заме­ нив £ ->- — г£, f -> if, а -> я —■ф. При этом сплюснутые сфероидаль­ ные координаты будут иметь следующие области определения пере­ менных: 0 < ;£ < с о , — 1 < г) < 1 , 0 < ф < 2 я .

Использование упрощенной расчетной модели. В рассмотренных выше расчетных моделях учитывалось два характерных геометриче­ ских размера. Однако во многих случаях расчетные формулы слож­ ные, и расчеты по ним весьма трудоемки.

Более простая расчетная модель может быть получена при замене реального объекта сферой. При этом упрощение расчетных формул достигается ценой сохранения в расчетной модели лишь одного харак­ терного размера объекта.

130

Общее выражение для потенциала в сферической системе коорди­ нат имеет следующий вид:

Определенный таким образом потенциал конечен и однозначен во всей области изменения переменных 0 < > -< с о , 0-<ft 0 < а < ;2 л .

Следует остановиться на анализе отдельных членов этого разложе­ ния и их физическом смысле.

Заметим, что потенциальное поле совокупности источников, про­ извольно распределенных в ограниченной области, которую целиком можно охватить сферой радиуса г0, может быть описано последним разложением с надлежащим образом подобранными коэффициентами

[60].

описывает поле точечного источника, расположенного в начале коор­ динат. Члены с индексом п — 1 описывают поля диполей различной ориентации, расположенных в начале координат. Диполь можно пред­ ставить как совокупность двух одинаковых по величине точечных источников разных знаков, расположенных на бесконечно малом расстоянии по сравнению с расстоянием до точки наблюдения; квадруполь — как совокупность двух равных диполей, смещенных в про­ извольном направлении на бесконечно малое расстояние по сравне­ нию с расстоянием до точки наблюдения, и т. д. Например,

г тО_ aipi (cosS)

U l = ---------- ----------

г2

описывает поле элементарного диполя, ориентированного вдоль по­ лярной оси. Члены с индексом п — 2 описывают поля квадруполей различной ориентации и т. д. В частном случае осесимметричного поля

п=0 г

Все мультиполи осевые, т. е. все создающие их источники распо­ ложены вдоль полярной оси.

Таким образом, каждый из членов разложения представляет со­ бой поле определенного мультиполя. Степень затухания с расстоянием мультиполя определяется его индексом и равна п + 1. Это открывает возможность получения приближенных формул.

На расстоянии, превышающем габаритные размеры тела, можно получить достаточно точные значения потенциала (либо векторов

131

поля), если ограничиться первым или несколькими первыми членами разложения.

Следует отметить, что аналогичные (5.34) представления в виде разложений по мультиполям справедливы и для волновых скалярных и векторных полей. С этой точки зрения выражение (5.3) можно также рассматривать как разложение по сфероидальным мультиполям.

Нулевой член представляет собой линейно распределенную вдоль межфокусного отрезка совокупность элементарных зарядов — точеч­ ных источников с одинаковой интенсивностью. Мультиполи более высокого порядка получаются наложением полей двух разноименных мультиполей более низкого порядка, расположенных на малом по сравнению с их размерами расстоянии.

В предыдущем разделе были рассмотрены расчетные методы, по­ лучаемые при замене управляющих объектов сфероидами. Расчетные формулы для аналогичных систем при замене управляющего объекта сферой могут быть получены либо непосредственно, либо предельным переходом. Для этого достаточно положить f -> 0, £ -> rlf, т} — cos &,

а сфероидальные функции Р™ и Q™ заменить их асимптотическими представлениями (5.19), (5.20). Так, например, из (5.7) — (5.9) по­ лучается разложение обратного расстояния в виде выражений

позволяющих получить соотношения, аналогичные (5.12) —(5.18), (5.21) — (5.26), (5.28) — (5.33). Вместе с тем более простая геометрия сферической системы координат, по сравнению со сфероидальной, позволяет довольно просто получить решение для сферы, в то время как решение аналогичной задачи для сфероида наталкивается на серьезные трудности.

В качестве примера определим поле точечного источника I в присутствии сферы радиуса г = а при граничном условии третьего рода

л и d U , г

U - k — - = U 0,

дп

132

которое для точек на поверхности сферы записывается в виде

Ищем, как обычно, потенциал по формуле (5.34). Подставим выраже­

где Ап4 и В™4 выражаются по (5.36).

Потребуем выполнения условия электронейтральности системы

Можно показать, что сферический электрод при граничном усло­ вии (5.37) можно заменить системой эквивалентных источников: то­ чечным источником с интенсивностью Iarq!(r2 — а2), расположенным

в сопряженной точке (с координатой air2j, и распределенным источ­

Если к тому же выполняется условие электронейтральности, то в центр сферы добавляется точечный источник с интенсивностью

( a + k ) { r q2 — а 2 )

В частности, при k -> 0 эти выражения переходят в известные законы отражения точечного источника относительно сферы [60].

Приведенные законы отражения точечного источника в сфере по­ зволяют определить поле системы двух сфер с граничными условиями типа (5.37) путем многократного изображения эквивалентных источ­ ников (5.38) — (5.40) в обеих сферах. Однако суммирование полей бесконечной системы изображений встречает вычислительные труд­ ности.

В общем случае количество источников поля управляющего объекта может превосходить два. Поэтому практический интерес пред-

133

ставляет получение упрощенных выражений. В качестве подобной обобщенной модели управляющего объекта может служить система п сфер, в предположении отсутствия их взаимного влияния. Рассмотрим систему п сфер с радиусами а{, при граничном условии (5.37) на их поверхности при различных kt.

Будем искать решение в виде

где г{ — расстояние от центра сферы до точки наблюдения, при гра­ ничных условиях на поверхности сфер

и условии электронейтральности системы; здесь Uoi — заданные значения потенциалов сферы, причем (i—1) из них являются незави­ симыми.

Проведя необходимые преобразования, нетрудно получить

И окончательно

2 UoiRt

U 0i

П_1_

2 Rt

и =

г=i

п Rt

где

1a7

Вчастном случае системы, состоящей из двух электродов, получаем

134

§ 5.2. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ УПРАВЛЯЮЩЕГО СКАЛЯРНОГО ВОЛНОВОГО ПОЛЯ

Расчеты управляющего поля для систем, использующих скаляр­ ное волновое и потенциальное поле, принципиально не различаются.

Однако волновой характер поля (например, акустического) и на­ личие еще одного параметра (частоты или волнового числа) приводит к усложнению расчетных формул. Поэтому класс задач, допускающих решение скалярного волнового поля, уже, чем потенциального.

Расчетная модель. Примем ту же расчетную модель управляющего объекта, что и для потенциального поля,— эллипсоид вращения. Вве­ дем сфероидальную систему координат £, т), а. Зададимся волновым числом среды k — со/с, где со — их круговая частота; с — скорость распространения акустических волн . Поместим точечный источник сферических акустических волн, создающий акустическое давление

Будем считать поверхность управляющего объекта акустически абсолютно жесткой. Это приводит к требованию

\ p + k*p = 0.

На бесконечности для исследуемой системы должно выполняться условие излучения (см. п. 4.2.2).

Решение ищется, как обычно, в виде суммы

P = Pl+P2>

где pj — поле точечного источника; р 2 — поле рассеянной волны, учитывающей искажение поля первичного излучателя действием тела. В соответствии с условиями задачи рассеянное поле ищется в виде

00 П

радиальная сфероидальная волновая функция, удовлетворяющая условию излучения при £ со.

135

Поле точечного источника (5.41) может быть также выражено [91] в виде разложения по сфероидальным волновым функциям:

Подставляя выражения (5.44) и (5.45) в граничное условие (5.43) и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем окончательно

Суммирование по т производится от 0 до п в силу соотношений

На большом расстоянии от поверхности сфероида £ = £0, ££>1.

При этом -у-, Т| = cos■&,&/•> 1.

Известно [5] асимптотическое представление радиальных функций

Используя последнюю формулу, выражение рассеянного поля можно представить в виде

—ikr

p ^ P —j — Fi®, а),

ОО П

X ps™ (cos#, Y2)cosm (a—a 9)

136

представляет комплексную характеристику направленности. Полу­ ченное решение позволяет путем предельного перехода получить рас­ сеянное поле — поле давления для случая плоской волны произволь­ ного направления, падающей на поверхность акустически жесткого сфероида [111 ]. Для этого следует устремить \ q -> оэ и одновременно положить:

П т — e ~ ikri = РО’

Гу -* -0 0 , Py -y Q O

П т [ P S ^ ( h y ) ] = P o ^k~ ,

lq-yco> — P-+CO.

Совершая предельный переход, получаем окончательно

со п

Р 2 = - ^ о 2 ( 2 п + 1) 2 i2m+n(2 - 6 0m)X

s » ( ) (E»v)

X Sn (4) (lv) psn (л?2) cos m (a— aq).

Решение для дипольного источника. Решение аналогичной задачи для дипольного источника произвольной ориентации с дипольным мо­ ментом М может быть легко получено таким же способом. Поле акусти­ ческого диполя выражается аналогично (5.27) через поле точечного источника:

где

hlf ft2, ft3 — коэффициенты Ламэ сфероидальной системы координат. Рассеянное поле ищется в виде (5.44) при граничном условии (5.43), позволяющем найти неопределенные коэффициенты. Аналогично мо­ гут быть получены выражения для акустически податливого сфероида (при граничном условии Р = 0; £ = | 0).

Расчетные формулы могут быть упрощены в том случае, если длина звуковых волн X значительно превосходит размеры рассеивающего тела (низкочастотное приближение). Будем считать а<^Х и, соответст­ венно, y£0C1 и 1. ylq C l - Используем приближенные выражения для угловых и радиальных волновых сфероидальных функций [4 ]

137

3^

Г( а )

Г (х) — гамма-функция.

Введем эти выражения в разложение рассеянного сфероидом поля точечного источника (5.46) и после несложных преобразований полу­ чим

W (Ео)

X Рп Сп9) Р'п (л) Qn (I) COS т (а—aq) [l + 0 (у2)].

Аналогичные формулы могут быть получены и для других задач в низкочастотном приближении. Следует отметить, что последнее вы­ ражение представляет собой точное решение уравнения Лапласа с гра­ ничным условием (5.43) при Pl = P/k [см., например, (5.10), (5.14)].

В заключение путем предельного перехода получим расчетные вы­ ражения для управляющего объекта в форме сферы. Используем асим­ птотические формулы для случая у -» 0 (при этом также f -> 0). В ча­ стности, для поля точечного источника звуковых волн приходим к вы­ ражениям

Аналогично для поля звукового давления, рассеянного акусти­ чески жесткой сферой радиуса а (5.42), получаем

X h f (kr) ( — l)m P1 (cos #?) P i (cos#) eUn<“- “?> . .

Таким же способом могут быть получены выражения для других источников и граничных условий. В частности, при импедансных гра­ ничных условиях (условиях 3-го рода) на поверхности сферы.

138

§5.3. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ УПРАВЛЯЮЩЕГО ВЕКТОРНОГО ВОЛНОВОГО ПОЛЯ

Из векторных волновых полей в морской среде наиболее широко используется электромагнитное поле. Основные уравнения электро­ магнитного поля при введении векторных потенциалов сводятся к век­ торному волновому уравнению (4.41). Однако его эффективное реше­ ние удается получить только в нескольких простейших координатных системах или при дополнительных условиях симметрии, позволяющих ограничить число независимых составляющих поля и свести вектор­ ные волновые уравнения к скалярному [17], [44], [60]. В этом слу­ чае методика расчета управляющего векторного волнового поля ана­ логична методике расчета для скалярного волнового поля.

Ввиду значительного затухания электромагнитного поля в прово­ дящей среде, наибольшее применение в морской среде находит низко­ частотное электромагнитное поле.

В зависимости от типа источников электромагнитного поля оно описывается уравнениями (4.42) и (4.43) или (4.44) и (4.45), для источ­ ников электрического и магнитного типа соответственно.

Рассмотрим электромагнитное поле, возбуждаемое источниками электрического типа. Из уравнений (4.42) и (4.43) видно, что вектор

напряженности электрического поля Е является потенциальным и может быть определен из уравнений (4.43) независимо от вектора на­ пряженности магнитного поля. Его отыскание после введения скаляр­ ного потенциала сводится к интегрированию уравнения Лапласа. Решение уравнения Лапласа и расчет управляющего потенциального поля рассматривались в предыдущих разделах.

Вектор напряженности магнитного поля носит вихревой характер (4.42), и для его определения необходимо решить уравнения

где ср—■скалярный потенциал вектора напряженности электрического полян у—электропроводность воды считаются заданными. Определение

вектора Н из уравнений (5.47) обычным способом сводится к решению векторного уравнения Лапласа для векторного потенциала магнит­ ного поля. Векторное уравнение Лапласа допускает эффективное ре­ шение [17 ] практически в тех случаях, что и векторное волновое урав­ нение.

Эффективный способ решения уравнений (5.47) предложен в ра­ боте [18]. Он заключается в том, что выражение для вектора напря­ женности магнитного поля определяется непосредственно по стан­ дартным выражениям, содержащим постоянные коэффициенты, взя­ тые равными постоянным коэффициентам в разложении потенциала электрического поля, и функциональные множители, подобранные так, чтобы полученные выражения удовлетворяли уравнениям (5.47). Тем самым выражения для вектора напряженности магнитного поля расчетных моделей, использовавшихся в § 5.1, могут быть составлены

139