книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

D (Y) = [ф' (Мд:)]2 Dx + ~ [ф" (МХ)]Ю [ ( x - M xf \ +

+ ф' (Мд) ф" (Мд) к [(х—Мд) (х—Мд)2].

Если выразить входящие в последнюю формулу величины через центральные моменты величины х, то

D [(х—Мд)2] = р4 (x)— D2x,

К [(х— Мх) (х— Мд)2] = р3 (х).

Окончательно имеем

В практических случаях весьма часто случайные величины под­

чинены нормальному закону. При этом [х3 (х) = 0, р,4 (х) = 3DI и формула (6.16) принимает более простой вид:

D(Y) = [y' (Mx)¥Dx+ y W (Мд)]2Е>2.

Аналогичный метод может быть применен по отношению к функции нескольких переменных. Сохраняя в разложении члены не выше вто­ рого порядка, имеем приближенно

П

i<j

Применяя к последней формуле операцию математического ожида­ ния, имеем

М ( У ) = ф ( М д 1, М да,..., М дл) + - у Х

160

Для получения выражения дисперсии в наиболее простом виде примем, что величины х{не только не коррелированы, но и независимы.

Тогда

Для величин, распределенных по закону, близкому к нормальному, последнее выражение преобразуется к виду

В качестве примера использования метода линеаризации оценим требуемую точность задания исходных параметров для одного из слу­ чаев формирования управляющего поля при использовании в пассив­ ной системе электрического поля. Электрическое поле возбуждается системой, состоящей из двух сферических электродов радиусов аг и а2, расположенных друг от друга на расстоянии /. Положим k = by, раз­ ность стационарных электродных потенциалов U01 — U02 — At/0; bx я b2 — удельные поляризуемости электродов; у — удельная элек­ тропроводность электролита. Дипольный электрический момент этой системы в предположении, что I > а1, а2 или by > I, равен

Р3

а х

Рассмотрим, как влияет точность определения входящих в это вы­ ражение параметров xt на погрешность определения дипольного мо­

мента.

В качестве критерия точности можно принять величину а г, опре­ деляемую из условия

161

откуда

М ( х {)

\dx{ ) м

Рэ [ М (*,)]

Поскольку все параметры положительны, очевидно, что ос?<;1, а в<П. Поэтому допустимая погрешность определения параметров у и b выше, чем для А£/0 и /.

6.2.2.Определение управляющих полей при описании источников

случайным пространственным процессом

Случайное поле характеризуется в общей постановке задачи функ­ цией распределения, зависящей от пространственных координат и времени. Ограничимся простейшим случаем стационарного однород­ ного случайного поля. Для него вероятностные характеристики яв­ ляются функцией одной переменной и зависят только от разности про­ странственных координат. Будем считать, что распределение источ­ ников либо граничное значение искомой функции, описывающей уп­ равляющее физическое поле, является однородным случайным полем. Рассмотрим пассивную систему, реагирующую на электрическое поле объекта, изготовленного из одного металла. Источником этого поля будет неоднородность электрохимических параметров металла вдоль

•его поверхности как следствие неоднородности химического состава металла, качества механической обработки его поверхности, наличия продуктов коррозии, а также многих других причин.

Эта неоднородность приводит к тому, что стационарный электрод­ ный потенциал металла будет случайным образом изменяться вдоль поверхности тела, приводя к появлению электрического поля. Ана­ логичные явления возможны при формировании физических полей и другой природы.

При описании случайных полей в подавляющем числе случаев рас­ чета бывают известны только средние значения и корреляционная функция.

Каноническое представление случайных процессов. Рассмотрим особенности расчета управляющих полей на примере потенциального

162

поля. Используем методы канонических представлений случайных процессов.

Ортогональное разложение случайного процесса или однородного случайного поля U (t) записывается в виде

ОО

величины сгявляются некоррелированными и соответствующее (6.19) разложение случайного процесса является каноническим. Из послед­ него выражения следует, что корреляционная функция канонического разложения представляется выражением

Интегрируя обе части равенства в пределах от а до Ь, с учетом ортого­

163

Сходимость разложений (6.17), (6.18) и некоррелированность вели­ чин \ к наступит в том случае, когда функции cpfe (t) будут собствен­ ными функциями интегрального уравнения

а

а числа Хк — собственными значениями этого уравнения. Широкое применение канонических разложений затруднено тем, что общие ме­ тоды решения интегрального уравнения (6.20) развиты недостаточно. Однако при решении практических задач достаточно точным прибли­ жением корреляционной функции является ее представление в виде конечного разложения по собственным функциям соответствующей задачи расчета физического поля

ние (6.20) удовлетворяется тождественно и

00

и { t)= u Q( t ) + ^ V T k i kyk {t). fc=i

При этом

Проиллюстрируем использование этих методов на одном примере. Определим электрическое поле, создаваемое случайным распределе­ нием стационарного электродного потенциала на поверхности шара радиуса а. Считаем, что на поверхность шара нанесено электроизо­ ляционное покрытие с удельным поперечным электрическим сопротив­ лением р. Потенциал электрического поля удовлетворяет уравнению Лапласа A.U = 0, при следующем граничном условии на поверхности шара:

Стационарный электродный потенциал U0 представляет собой од­ нородное случайное поле, обладающее осевой симметрией. Исполь­ зуем сферическую систему координат г, ф, а. Корреляционная функ­ ция распределения потенциала задана в виде

К (#0. ф) = De~ 19_{>”1а, # £ [0, я].

Среднее значение стационарного потенциала

М (£/,)*= 0.

164

Как известно, общее решение уравнения Лапласа в сферической си­ стеме координат выражается разложением (в области гг>0)

Ввиду однородности поля стационарного электрического потенциала, не меняя общности, можно положить ■6'0 = 0. При этом

и ось симметрии потенциала совпадает с полярной осью системы ко­ ординат. Будем искать потенциал в виде разложения (6.22)

Очевидно, что М (U) = 0. Это следует из (6.22) и общих положений о том, что решение однородного уравнения при однородных нулевых граничных условиях тождественно нулю. Случайные изменения ста­ ционарного электродного потенциала вдоль поверхности шара при­ водят к появлению токов, стекающих с одних участков его поверхно­ сти на другие. При этом необходимым требованием является требо­ вание электронейтральности. Из него вытекает условие

Разлагая (6.23) в ряд по полиномам Лежандра, с учетом условия их ортогональности получим

2J е~а9аРп (cos &)

С„ =

2n-f 1

Очевидно, что Сп>>0. В частности,

165

Подставляя выражения (6.24) и (6.25) в граничные условия (6.21), домножая обе части равенства последовательно на Рп (cos-O') (п — 1, 2, . . .) и интегрируя в пределах от 0 до я, с учетом условия ортого­ нальности, находим

! + * ( « + !)

Дипольный момент шара находится из первого члена разложения. Его потенциал равен

В тех случаях, когда спектр собственных значений при решении полевой задачи дискретный, целесообразно использовать канониче­ ское разложение. Если же спектр полевой задачи сплошной, то при решении удобно использовать каноническое интегральное представ­ ление случайного поля.

Определение корреляционной функции. В большинстве задач уп­ равляющее поле может быть представлено как результат применения линейного оператора к исходному случайному полю граничных зна­ чений функций или ее источников, т. е.

где X — заданное случайное поле граничных значений или плотности распределения источников; L — линейный однородный оператор.

166

Известно, что математическое ожидание управляющего воздейст­

вия

где X (х , у, 2, t) — математическое ожидание заданного случайного поля.

Корреляционная функция управляющего воздействия Кц также может быть выражена через корреляционную функцию исходного случайного поля граничных значений (Кх)

Подставляя в эту формулу выражения (6.26) и произведя необходи­ мые преобразования, находим

X X (f) —Lf,XXf) ]).

Используя линейность оператора и линейность нахождения мате­ матического ожидания, получаем

К и (*', f ) = Lt,Lt,M ([X ( f ) - X j t ' ) ] [X (f')-XJf')]}

или

K v (t', if[) = L t.LirKx {t’, t").

Таким образом, отыскание корреляционной функции управляю­ щего воздействия сводится к последовательным применениям линей­ ного оператора к исходной корреляционной функции граничных зна­ чений.

Рассмотрим в качестве примера задачу о возбуждении электриче­ ского поля случайным распределением стационарного электродного потенциала вдоль неограниченной плоской поверхности г = 0. Мате­ матическое ожидание стационарного потенциала считаем равным нулю, т. е.

М { 0 0) = 0, 2= 0.

Введем цилиндрическую систему координат г, О, г. Примем, что слу­ чайное распределение потенциала зависит лишь от радиальной ко­

ординаты и не зависит от угловой, т. е. df/0/dO = 0.

В этом случае корреляционная функция стационарного потенциала может быть представлена в виде

На поверхности 2 = 0; с учетом ba = bk, должно выполняться граничное условие

U - b y ^ - = Uo(r).

д г

Требуется найти распределения электрического потенциала в полу­

167

пространстве г ^ 0 . Известно, что общее решение задачи об отыскании потенциала в полупространстве может быть представлено в виде

С О

U (г, z) = f f(X)J0(Xr)e-%zdX,

о

где, как известно, искомая функция f (к) определяется из граничных условий. Подставляя это выражение в граничное условие, получаем

Используя прямое и обратное интегральные преобразования Бесселя

оо

Математическое ожидание потенциала в соответствии с (6.27) равно

ОООО

М [U] = Г — А — Г ЩЩ p j0 (Хр) dp J0 (Xr) e~kzdX.

J 1 + b y l J

о0

Корреляционная функция, согласно (6.28), выражается в виде

о

168

Используя корреляционную функцию стационарного электродного потенциала, получим

0 0 0 0 ОО ОО

В качестве примера зададимся корреляционной функцией стацио­ нарного потенциала следующего вида:

получаем

169