книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов
.pdfНо, к сожалению, обычно задача, разрешимая с помощью какоголибо одного метода, оказывается сравнительно просто разрешимой и целым рядом других способов. Одновременно подавляющее боль шинство задач, неразрешимых данным методом, оказываются неразре шимыми и остальными методами.
Поэтому для пояснения общих принципов расчета мы останавли ваемся на одном из наиболее общих методов расчета — методе разде ления переменных. Это метод отыскания так называемых собственных функций задачи. Следует отметить, что к методу разделения перемен ных весьма близок метод интегральных преобразований, метод функ ции Грина, метод Гринберга [17, 44].
4 .3.1. Метод разделения переменных
Общее решение. Расчет физического поля требует отыскания ре шения соответствующего уравнения в частных производных. При этом нужно последовательно сделать два шага. Первый шаг состоит в на хождении всех или почти всех возможных решений уравнений, опи сывающих физическое поле. Второй шаг заключается в выборе из по лученной совокупности общих решений того частного решения, ко торое удовлетворяет краевым условиям рассматриваемой задачи.
Все рассматриваемые нами уравнения физических полей имеют несколько существенных общих свойств. Эти уравнения можно запи сать единообразно в виде
LtJ> = Q. |
(4.54) |
Здесь ф представляет собой неизвестную скалярную или векторную функцию пространственных координат и времени. Оператор L — диф ференциальный оператор данного физического поля (Лапласа, Гельм гольца и т. п.). Функция Q характеризует интенсивность и распреде ление источников поля. Дифференциальный оператор L и функция Q — известные.
Общее свойство таких уравнений — их линейность относительно ф. Если Q равно нулю, уравнение называется однородным, так как каж дый из его членов содержит ф.
Известно, что решение задачи для однородного уравнения при од нородных граничных условиях тождественно нулю. Задача расчета поля может быть неоднородной вследствие неоднородности либо диф ференциального уравнения, либо краевых условий. Однако обычно возможно преобразование одного вида неоднородности к другому.
Однородные линейные уравнения обладают важным свойством: если фх, ф2, . . . , ф„, . . . являются решениями уравнения, то и лю
бая линейная комбинация 2 А пфга этих решений представляет собой
(я)
решение того же уравнения.
Если Q не равно нулю, уравнение называется неоднородным, так как некоторые его члены не содержат ф. Неоднородные линейные уравнения обладают полезным свойством. Если ф,- является решением неоднородного уравнения
Ефг = £2, |
(4.55) |
по
a i|ij — решением соответствующего однородного уравнения
|
Щ = 0 , |
(4.56) |
то сумма |
представляет собой |
решение неоднородного урав |
нения. Если ф* является решением уравнения Lol^ = |
Qlt а ф2 уравне |
ния 1д[>2 = Q2 и т. д ., то сумма ф = S Сп\\>п является решением урав |
|
нения |
|
Ь|> = 2 С „ф я. |
(4.57) |
Основной идеей метода разделения переменных и смежных методов является отыскание решения уравнения в виде произведения функций
Ф = Хх (нх) Х2 («2) Х3 (и3), |
(4.58) |
каждая из которых зависит только от одной переменной ut. Подставляя это выражение в основное уравнение (4,56) и производя необходимые
дифференциальные операции и алгебраические |
преобразования, |
удается привести уравнение к виду (для случая двух переменных) |
|
L1(X1) + L2(X2) = 0. |
(4.59) |
Здесь операторы Ь х и L2 зависят только от одной переменной их и «2 соответственно. Последнее равенство может быть выполнено только при условии, что
L 1 { X 1) = - L 2 ( X 2) = X , |
(4.60) |
где X — произвольная действительная (или комплексная) постоянная величина. Таким образом, для определения искомых функций X,- по лучаются обыкновенные дифференциальные уравнения вида
L 1 ( X 1) - X = 0, |
(4.61) |
L2(X2) + ^ =0. |
(4.62) |
Аналогичные обыкновенные дифференциальные уравнения полу чаются и для случая трех переменных. Тогда сначала разделяются переменные иъ и2 ии 3 и вводится константа разделения т, затем раз деляются переменные и х и «2 и вводится константа разделения X.
Обозначим линейно независимые решения этих уравнений (соб
ственные функции) через Х /:2 (uit X , т). Тогда общее решение одно родного уравнения (4.62) может быть выражено в виде
ф= |
(U1> X , х ) х 2 (и X , т)Х3 («3, X, т) • |
(4.63) |
(X) (т)
Здесь суммирование (либо интегрирование) производится по всем до пустимым для данной задачи значениям констант X, х и функций Х(-'2. Разложение общего вида (4.63) позволяет выразить произвольное поле.
Конкретное решение. Для получения решения конкретной задачи необходимо отыскать в разложении неопределенные коэффициенты
А \ и определить допустимые значения констант разделения X и х , на зываемые собственными значениями. Необходимые для их определе ния ограничения накладываются граничными и предельными уело-
виями задачи. Очевидно, что граничные и предельные условия должны быть наложены по всем трем переменным. Следует иметь в виду, что помимо обычных условий на поверхности расчетной модели и в местах расположения источников поля, а также условий на бесконечности, необходимо удовлетворить «естественным» условиям задачи. К ним относятся условия ограниченности векторов поля во всех точках об ласти (за исключением точек расположения источников поля), усло вия периодичности некоторых переменных и т. п.
Геометрический вид расчетной модели и тип граничных условий накладывают соответствующие ограничения на общий вид разложения (4.63) . Они позволяют определить собственные значения Ь т .
Граничные условия накладываются по трем переменным. Условия по двум из них служат для определения констант разделения, а по третьей — для нахождения неопределенных постоянных коэффициен тов. В ряде случаев граничные условия по одной из переменных бы вают не поставлены в явном виде. Например, требуется определить поле в окрестности шара. В этом случае по переменной а должно вы полняться условие периодичности ф (а) = ф (а + 2л), поскольку уравнения а = 0 и а = 2я определяют одну и ту же плоскость. Вы полнение этого требования приводит к целочисленности одной из кон стант разделения. Переменная изменяется в диапазоне [0, л]. Оп ределяющим условием в этом случае является требование ограничен ности решения во всем диапазоне изменения переменной. Это приводит к требованию того, чтобы вторая константа разделения равнялась
п.{п + 1), где п = 0, 1, 2, . . .
В общем случае константа разделения может принимать либо дит скретный, либо сплошной ряд действительных или комплексных зна чений. Если размеры области по данной переменной являются неог раниченными, то соответствующая константа разделения принимает сплошной ряд значений в диапазоне, для которого собственные функ ции остаются ограниченными.
для |
Например, ищется осесимметричное решение уравнения Лапласа |
||
полупространства (оо |
0, |
0). Неоднородные граничные |
|
условия заданы на плоскости z |
= const, тогда собственные значения |
||
X г |
[0, со ], а собственные функции / 0 |
(Хг); ё~%г ограничены во всем |
|
диапазоне изменения переменных. В этом случае в общем выражении (4.63) суммирование заменяется интегрированием.
В случае, когда область ограничена по основным (первым двум в процессе разделения) переменным, значения констант разделения дискретны. Например, при акустических колебаниях в ограниченных областях эти дискретные значения констант носят названия собствен ных или резонансных частот области. Следует отметить, что конкрет ные значения констант определяются не только геометрическими раз мерами области, но и типом граничных условий.
Условия по третьей переменной, обычно неоднородные, служат для отыскания неопределенных постоянных коэффициентов.
В том случае, когда граничные условия однородны по всем трем переменным, возможен некоторый произвол в выборе основных пере менных. Возможен произвол и в выборе порядка разделения перемен
112
ных. В зависимости от порядка разделения переменных может изме ниться вид разложения, однако выполнение всех условий задачи в обоих случаях по теореме единственности обеспечивает эквивалент ность решений. Определенная последовательность разделения пере менных существенна только в случае расчета вихревой компоненты низкочастотного электромагнитного поля с использованием стандарт ных формул алгоритмического метода его расчета [ 18 ].
В результате удовлетворения граничным условиям по третьей пе ременной находятся неопределенные постоянные коэффициенты, и решение определяется полностью. Если граничные условия неодно родны по этой переменной, то для удовлетворения граничным условиям требуется представить неоднородность в виде соответствующего раз ложения (интегрального представления) по собственным функциям (4.63). Если же по условиям конкретной задачи задано распределение в пространстве источников поля, то требуется решить неоднородное уравнение (4.54). Для этого необходимо отыскать частное решение неоднородного уравнения и представить его в виде разложения по собственным функциям вида (4.63).
Требование ограниченности векторов поля (вне точек расположения источников) во многих случаях приводит к необходимости отбрасыва
ния одного из линейно независимых решений [ Х \ или X f \ , имеющего особенность в рассматриваемой области. Особенности решений соот
ветствуют расположению особых точек координатных |
систем [44]. |
На одном конце промежутка между особыми точками |
координатной |
системы имеет особенность одно решение уравнения, а на другом — другое. Поэтому, если область определения поля захватывает одну из особых точек координатной системы, то отбрасывается решение, имею щее особенность в этой точке. Если область определения не содержит особых точек координатной системы, то удерживаются оба решения. Если же область определения поля содержит обе особые точки, то ее приходится разбивать искусственно на две подобласти и «сшивать» решения на границе подобластей. Например, в сферической системе координат по переменной г особыми точками будут 0 и оо. Линейно
независимые решения Агпи |
имеют соответствующие особенности. |
|||
В областях О |
г < |
со и со |
> - г > 0 отбрасывается одно из решений, |
|
а в области 0 < |
г •< со сохраняются оба. Поэтому область 0 <; г |
оо |
||
должна разбиваться |
на две |
подобласти г0<^г<^. со и г0 >> г ;> О |
||
с заданием дополнительных условий, например, непрерывности на по верхности г0.
Если источник поля расположен внутри области, то также прихо дится разбивать области на подобласти, поскольку поле источника обычно имеет различное представление во внешней и внутренней по отношению к нему подобластях. Таким образом, кроме особенностей1 координатной системы, дополнительные особенности представляют собой источники поля. Это приводит к необходимости разбиения ос новной области на подобласти. Однако это не вносит дополнительных трудностей в процесс решения задачи.
В заключение следует отметить, что решение может быть сравни тельно просто получено, если расчетная модель и область определения
5 Заказ № 767 |
Ш |
поля представляют собой в подходящей криволинейной системе коор динат криволинейный параллелепипед, ограниченный координатными поверхностями. Если область имеет более сложную форму, то ее при ходится разбивать на несколько криволинейных параллелепипедов, затем отыскивать решение (собственные функции) в каждом из них и «сшивать» эти решения путем выполнения условий непрерывности векторов поля на искусственно введенных поверхностях раздела. При этом резко усложняется процедура отыскания неопределенных
постоянных коэффициентов А\, поскольку на границах раздела под областей приходится «сшивать» решения для разных подобластей. Эти решения представляют собой разложения типа (4.63), но собствен ные функции в этих разложениях в общем случае различны. Поэтому приходится прибегать к процедуре переразложения одних функцио нальных рядов по другим, что приводит к значительным трудностям
ввычислениях.
4.3.2.Основные решения уравнений Лапласа и Гельмгольца в криволинейных
системах координат
Основные решения уравнения Лапласа. Рассмотрим решения урав нения Лапласа. В соответствии с методом разделения переменных общее решение этого уравнения будем искать в виде
ф— Xi (ui) Х2 (ыг) Х3 (ыз) |
(4.64) |
или |
|
ср = S (Wi, w2, из) Xi(ui) Х 2 (U2) X s (и3)> |
(4.65) |
где X (и) — функция только одной переменной; S (иъ и 2, |
и3) — весо |
вая функция. |
|
В том случае, когда решение уравнения удается получить в виде (4.64) , соответствующая система координат называется системой коор динат, разделяющей уравнение Лапласа; если решение имеет вид (4.65) , — системой, разделяющей с весом уравнение Лапласа. В случае (4.64) в результате разделения уравнения Лапласа удается получить систему из трех обыкновенных дифференциальных уравнений вида
~т~ fk |
dtifc |
(k>k + т ) Xk = 0, |
(4.66) |
uUfc |
|
|
где X и т — постоянные разделения; fk, pk, qk — функции только uk. Решением этих уравнений является система двух линейно-незави симых функций. Приведем разделенные уравнения и их решения для использующихся ниже систем координат, а также коэффициенты
Ламе hk [60].
Декартовы координаты х, у, z; hx = h2 — h3 = 1. Разделенные уравнения имеют вид
+ т)Х 1==0,
114
d*X2 f x x 2= 0,
|
|
dy* |
|
|
|
|
|
|
|
d*X3 |
+ |
tX 3 = 0. |
|
||
|
|
dzzl |
|
||||
Сопоставление c (4.66) дает: |
|
|
|
|
|
||
' f i = h = f s = U p i = — i; p2 = l; p3 = 0; |
|||||||
|
<7i= — i ; |
<72= 0; |
<7s = i • |
|
|||
Если положить К = fe2 и т = |
v2, то система решений этих уравнений |
||||||
принимает следующий вид: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
p V k 2+ V 3X |
|
|
|
|
|
|
Х 1== |
,___ ’ |
|
|
||
|
|
|
g — |
Y k .2+ V2X |
, |
|
|
|
|
|
|
cos fey, |
|
|
|
|
|
Л2 — . , |
|
|
|
||
|
|
|
|
sin fey, |
|
|
|
|
|
v |
|
cos vz, |
|
|
|
|
|
Х3 = . |
|
|
|
||
|
|
|
|
sin vz. |
|
|
|
Если же положить X — fe2, т = |
—v2, то |
|
|||||
|
|
X1 = |
pY ks—v-x |
|
|
||
|
|
g—Y ft2—v2x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
_ cos fey, |
|
|
||
|
|
|
|
sin fey, |
|
|
|
|
|
X3 |
|
--Л1 |
|
|
|
Круговые цилиндрические координаты r,v, z \ hL = |
I, h2 — r, h3 = 1, |
||||||
Разделенные уравнения имеют вид: |
|
|
|
||||
d |
t d |
X г |
V ----^ ) X 1==0, |
|
|||
dr |
l |
dr |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
d2 X2+ tX2 — 0 , |
|
||||
|
|
d&2 |
|
|
|
|
|
|
|
rf2 x 3 + |
tX3 = |
0. |
|
||
|
|
dz2 |
|
|
|
|
|
Сопоставление c (4.66) дает: |
|
|
|
|
|
||
h = r, fa = fa= l , |
P i= —r, |
|
|||||
P i - - 0, Ps = |
1» < 7 i = -----Г |
’ |
^ 2 = 1 . <7a = |
0- |
|||
5: |
|
|
|
|
|
|
115 |
Если положить X = |
k2, т = |
v2, то |
|
x ^ = Jv (kr), |
или X i = » v rv . v = 0 , l , 2, . . . |
||
|
|
|
./• V ( ^ ) |
J _ v (kr) |
|
|
Y v {kr), |
|
X 2 = cos V#, |
||
|
|
|
sin vft, |
|
|
__ ekz, |
|
|
x 3 = |
_—kz |
|
|
L 3 |
|
|
|
|
|
e |
Здесь Jv и Yv означают цилиндрические функции Бесселя первого
и второго рода соответственно. |
|
|
|
1, |
h2 = |
г, h3 = г sin ft. |
|||||
Сферические координаты г, |
ft, a; hx = |
||||||||||
Разделенные |
уравнения имеют вид |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
А / > |
|
|
= о, |
|
|
|||
|
|
|
dr |
[ |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
dft |
sin ft |
+ |
(A,sin ft- |
sin ft |
X 2— 0, |
|||||
|
|
dft 1 |
V |
|
|
|
|||||
|
|
|
J — X3 + tX3 = 0. |
|
|
|
|||||
|
|
|
da2? |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = r2, f2 = sinO, |
/з = 1 , |
P i = — 1, |
|
|||||||
|
p2 = |
sin ft, p3= |
0, qx = 0, p2 = |
---- , |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ft |
|
|
|
|
|
|
<7з = |
1. |
|
|
|
|
|
Если положить X = n (n + |
1), |
т = |
m2, то |
|
|
|
|
||||
|
v |
r" |
v |
P™ (cos ft), |
v |
|
cosma, |
||||
|
A i — |
|
, A 2 — |
|
|
A 3 — . |
|
||||
|
|
r - " - 1 |
|
Qn (cosft), |
|
|
sin ma, |
||||
где P „ , Qn — присоединенные функции |
Лежандра |
соответственно |
|||||||||
первого и второго рода. |
|
координаты |, |
ц, а; |
|
|||||||
Вытянутые сфероидальные |
|
||||||||||
* • “ / ] / |
| г г г ’ |
к = / / т з 5 - |
|
|
|
|
|
||||
Разделенные уравнения имеют следующий вид: |
0 |
|
|||||||||
|
± |
{l2 _ l)dX± _ l K |
_ x _ \ |
х |
|
||||||
|
|
|
’ |
d \ |
\ |
|
|
\) |
|
|
|
|
_d_ |
|
^ |
A,-------— |
x 2 = 0, |
|
|||||
|
dr\ |
(1-T12) |
|
||||||||
|
|
|
dr\ |
|
1—H2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
d'2 |
X 3 + |
x A 3 = |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
d a 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
116
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f i = l 2- h |
/ 2= 1 - т ] 2, / з = 1 , |
|
||||||||
Pl = — 1. |
Р2 = |
1. |
Р3 = 0, |
?1= |
|
I2- |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<h = |
|
|
If . Рз=1- |
|
|
||||
При X = п (п + |
1), х = т2 решениями |
будут: |
|
|||||||||
х |
_Рп(%), |
^ |
_ Р п ( т1)> |
у |
__cos та, |
|||||||
|
|
X~Qn (£), |
" ~ Q n ( л), |
|
3 _ |
sinmoc. |
||||||
Сплюснутые |
|
сфероидальные |
координаты |
|
р, |
а; |
||||||
|
|
ь - ' V W |
- |
|
b - f / W |
- |
|
|||||
|
|
ha = f V ? + |
1 |/ |
1—Ti2. |
|
|
||||||
Разделенными |
уравнениями |
являются: |
|
|
|
|
|
|||||
|
— (l2+ |
1) — Х х - |
|
£2- |
|
* i = |
0, |
|||||
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
А- г 2 |
" |
d |
|
|
|
|
|
|
Х2 = о, |
|
|
|
( i f - l ) ^ - X 2- ( A + |
Т]^ |
|
|
|||||||
|
|
dr| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ Х 3 + |
тХ3 = 0. |
|
|
|
||||
|
|
|
da |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/i — ^2+ Р |
/2 = "П2— П /3 = 1 > |
|
||||||||
P i= — 1 . Ps= — 1 . Рз = о, |
qi- |
s2 + |
1 |
|||||||||
|
|
|
<72 = |
|
|
, <7з= 1- |
|
|
||||
При К = п (п + |
1), х = т2 решения уравнений будут следующими: |
|||||||||||
х |
|
= Р тп (И) , |
х |
|
= Рп (Т1)’ |
х |
= C0S ma> |
|||||
|
|
Qn m , |
|
2 |
|
“• |
|
|
3 |
sinma, |
||
|
|
|
|
Qn(T]), |
|
|
|
|
||||
где Pn, Qn — присоединенные функции |
Лежандра. |
|
||||||||||
Решение уравнения Гельмгольца. Аналогичным путем может быть получено, общее решение и для уравнения Гельмгольца Дф + &2ф = 0. Его решения носят название волновых функций. Ниже приводится общий вид некоторых решений этого уравнения.
117
Например, в декартовой системе координат
COS т х |
СОS n y |
e V k2- m ? - n - z |
|
х |
х |
|
_____ |
sin тх |
sinпу |
e~v ы-пе-пч ■ |
|
В полярной системе координат (при |
— = |
o') |
|
|
\ |
dz |
] |
^ _ c o sm ft х Jm(kr)
sin т& Hm(kr).
Рассмотрим подробнее решение уравнений Гельмгольца в сфери ческой и сфероидальной системе координат. Уравнение Гельмгольца в вытянутой сфероидальной системе координат разделяется на три обыкновенных дифференциальных уравнения:
А |
(£2- 1 ) ^ |
г ■ |
A —jfea£a+ — |
х г =0, |
|
dl |
dI |
|
I |
P - l |
|
А |
ац |
|
X— k \ 2------ 1 - |
x 2= 0, |
|
с1ц |
|
|
|
|
|
|
|
А — |
X s-T xX3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
da3 |
|
|
|
|
|
Если a |
£ |
[0,2я], тот = m2, m = 0, 1, 2, . . . |
Введем обозначение |
||||
у 2 = k2f2, |
где f — полуфокусное |
расстояние сфероидальной системы |
|||||
координат. Решениями последних уравнений будут функции |
|||||||
|
х |
S n {1) (у, 1), х |
= psn[Л. У2), |
х |
^ |
sin та, |
|
|
|
S n W ( y , l ) , |
2 |
QSn (т), у2) , |
3 |
cos та. |
|
Функции S™(/) называются радиальными сфероидальными волно |
|||||||
выми функциями /-го порядка, |
а функции р А |
(г], у2) и qs™ (т], у2) — уг |
|||||
ловыми. Полную ортогональную |
систему простейших линейно-неза |
||||||
висимых решений — собственных функций уравнения Гельмгольца в вытянутой сфероидальной системе координат — образуют функции
От(1) /£ \ |
т = 0, 1.........п . |
рЛ ( ч, tV ”“ , П = 0, 1, 2, |
|
т) |
|
Первое из этих решений обладает свойствами конечности и однознач
ности при всех конечных значениях \ |
1, второе обладает теми же |
|
свойствами при £ > |
1 и исчезает при |
£ -* со, причем выполняется |
условие излучения |
(4.26). |
|
Радиальные и угловые функции |
и ps™) могут быть выражены |
|
рядами по сферическим функциям Бесселя и функциям Лежандра. Соответствующие формулы с обоснованием и анализом свойств этих
функций имеются в |
[91, 102]. |
Таблицы |
численных |
значений |
см. в [105]. Следует |
иметь в виду, |
что у ряда авторов |
нормировка |
|
этих функций отличается от нормировки [91, |
102]. |
|
||
Заметим, что при f -> 0 также у -> 0, причем сфероидальные коор динаты переходят в сферические г, §, а, и в пределе
psn(Ц, 0) = Р™(cosft), pSnm(т], 0) = ( - l ) mp - m(cos'&),
|
|
S n U) = & °) = zn(/jr), |
|
где P™ (costf), P 7m(cos6') — присоединенные функции |
Лежандра; |
||
zn (kr) |
— сферические волновые функции Бесселя и Ханкеля аргумента |
||
kr — jn |
(kr), пп (kr), |
(kr), hn] (kr) соответственно для j |
— 1, 2, 3, 4. |
Таким образом, система собственных функций уравнения Гельм гольца в сферической системе координат может быть записана в виде
ф ~ |
Рп (cos •&) eima, п = 0, 1 ,2 , . . . ; т = 0, 1, . .. , п. |
|
К (kr) |
Первое из этих решений будет обладать свойством конечности и одно значности при всех г^>0, второе обладает теми же свойствами при г^>0, исчезает при г -> то, причем выполняется условие излучения.
Уравнения Максвелла разделяются только в четырех координат ных системах и еще в нескольких частных случаях при дополнитель ных предположениях о симметрии систем и полей.
В дальнейшем методы расчета управляющих сигналов будут про иллюстрированы в основном для потенциальных (статических) полей. Далее будут приведены примеры расчета скалярного волнового поля. Определение электромагнитного поля будет произведено только в низ кочастотном приближении (наиболее важном для рассматриваемых радиоэлектронных систем).
ГЛАВА 5. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ УПРАВЛЯЮЩИХ ПОЛЕЙ
§5.1. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ УПРАВЛЯЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
Перейдем непосредственно к задаче расчета управляющих полей. Первоначально определим детерминированную часть управляющих полей. Будем считать, что нам известны точные значения всех исходных параметров.
Общее решение. Исходными данными для расчета являются экви валентные геометрические и физические параметры управляющего и управляемого объекта и среды, уравнения используемого физического поля. К ним относятся, во-первых, геометрические размеры управляю щего объекта и соответствующие им эквивалентные размеры расчетной модели; в простейшем случае это радиус эквивалентного объекта шара и расположение его центра по отношению к реальному объекту, в бо лее сложном — размеры большой полуоси эквивалентного вытянутого эллипсоида вращения, соотношение его полуосей и расположение меж
П9