книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

Вероятность появления в зоне действия радиоэлектронной системы первого управляющего объекта равна 0,2; вероятность попадания век­ тора-реализации в область первого объекта пространства признаков равна 0,7. Вероятность попадания вектора-реализации в область вто­ рого объекта равна 0,05. Какое решение должна выдать радиоэлек­ тронная система на основании регистрации сообщения о появлении управляющего объекта?

Обозначим через а01 первый управляющий объект, а через а02 — второй управляющий объект. Таким образом, Р (а01) = 0,2.

Р (а02) = 1 - Р (а01) = 1—0,2 = 0,8.

Функция правдоподобия для первого управляющего объекта равна

4 ai)= P K 4 i ) = 0,7-

Функция правдоподобия для второго управляющего объекта равна

L (flOl) = P K 4 2 ) = 0 ’0 5 -

Воспользуемся далее формулой (8.3). Коэффициент k равен

fc ____________________ !_____________________ __________!_________ __ 5 55

Р (а01) Р ( а > 01) + Р (а02) Р (а°/а02) 0,2-0,7 + 0,8-0,05

Апостериорная вероятность распознавания первого управляющего объекта равна

Р [aJal) = kP (с01) L (а01) =5,55-0,2-0,7 = 0,78.

Апостериорная вероятность распознавания второго управляющего объекта равна

Р {ajcfin) = kP (а02) L (а02) = 5,55 • 0,8 • 0,05 = 0,22.

Поскольку Р (а01/а °]> Р [aJ an)’ радиоэлектронная система должна выдать решение о распознавании первого управляющего объекта.

8.1.3.Обнаружение и распознавание управляющих объектов как информационная задача

Полезные сообщения об управляющем объекте содержатся в уп­ равляющих воздействиях. В гл. 6 было показано, что управляющие воздействия ПО] являются случайными функциями времени. Они ха­ рактеризуются статистическими зависимостями. Следовательно, ин­ формация об управляющих объектах содержится в статистических ха­ рактеристиках управляющих воздействий.

Случайные управляющие воздействия после преобразования из­ мерительным устройством в полезные сигналы поступают на вход информационно-логического устройства. Таким образом, информа­ ционно-логическое устройство в данном случае выполняет функции анализатора статистических характеристик управляющих воздейст­ вий.

240

Выбор наиболее эффективных в информационном смысле статисти­ ческих характеристик имеет существенное значение для успешного решения задачи по обнаружению и распознаванию управляющих объектов. Поставим задачу по оценке информационных свойств ста­ тистических характеристик управляющих воздействий. Информа­ ционные свойства статистических характеристик должны определять информационную способность управляющих воздействий.

§8.2. ИНФОРМАЦИОННАЯ СПОСОБНОСТЬ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИИ

Определение информационной способности. Допустим, что анали­ зируется некоторая статистическая характеристика управляющего воздействия Z. Анализ производится в диапазоне значений от Z x до

ласть неопределенности анализи­

руемой характеристики простиралась от Z x до Z2. В результате ана­ лиза она сократилась до значения 2А. В сокращении области неопреде­ ленности и состоит с информационной точки зрения основной результат анализа. Получение информации об анализируемой характеристике управляющего воздействия заключается в уменьшении неопределен­ ности ее значения.

Процедуру статистического анализа управляющих воздействий представим в виде, показанном на рис. 8.5, где Z — характеристика управляющего воздействия, Y — анализатор, К — канал передачи информации, подверженной действию помех.

Из-за воздействия помех возникают ошибки и количество информа­ ции уменьшается.

Количество информации, получаемое в результате анализа управ­ ляющего воздействия, определяется (известным образом) по следую­

где Н (Z) — энтропия характеристики Z до анализа; Н (Y) — энтро­ пия анализатора до анализа; Н (Z/Y) — условная энтропия характе­ ристики Z после выполнения анализа; Н (YIZ) — условная энтропия анализатора после выполнения анализа.

Энтропии Н (Z) и Н (Y) являются априорными (доопытными), а энтропии Н (ZIY) и (Н YIZ) — апостериорными (послеопытными). Напомним, что априорная энтропия источника информации опреде-

ляются распределением вероятностей значений анализируемой вели­ чины

оо

H{Z) = — f р (z) log2 р (г) dz,

— ОО

где р (z) — плотность вероятностей значений анализируемой харак­ теристики.

Априорная энтропия анализатора определяется распределением вероятности смеси управляющего воздействия и помехи на входе ана­ лизатора

Апостериорная энтропия анализируемой характеристики опреде­ ляется выражением

ных величин Z и Y\ p (zlу) — условная плотность вероятностей зна­ чений случайной величины Z, вычисленная при условии, что случай­ ная величина Y приняла определенное значение.

Апостериорная энтропия анализатора вычисляется по формуле

приняла определенное значение.

Будем считать, что управляющее воздействие и помеха на входе анализатора являются статистически независимыми случайными ве­ личинами. Тогда справедливы следующие соотношения:

При фиксированном значении случайной величины Z, что имеет место при определении апостериорной энтропии анализатора Я (Y I Z ), плот­

242

ность вероятностей смеси управляющего воздействия и помехи р (у) тождественно равна плотности вероятностей помехи р (уп). Поэтому выражение (8.8) для апостериорной энтропии анализатора Н (Y/Z) приобретает вид

— DO

Из соотношения (8.12) следует, что апостериорная энтропия анализа­ тора зависит только от распределения вероятностей помехи и не за­ висит от распределения вероятностей анализируемой величины.

С учетом формул (8.7) и (8.12) выражение (8.6) для количества ин­ формации, получаемой в результате анализа управляющего воздейст­ вия, приобретает вид

где р (у) — плотность вероятностей значений смеси управляющего воздействия и помехи; р (уп) — плотность вероятностей значений по­ мехи.

Допустим, что управляющее воздействие и помеха распределены по нормальному закону со средним значениями Z и Yn и дисперсиями

о2 и о2 соответственно. На входе анализатора они смешиваются адди- z уп

тивно. Тогда плотность вероятности смеси как композиция двух нор­ мальных распределений может быть записана в виде

В случае слабой помехи, когда среднее значение и дисперсия по­ мехи по крайней мере в 4—6 раз меньше соответственно среднего зна­ чения и дисперсии управляющего воздействия, выражение (8.14) уп­ рощается и приобретает следующий вид:

Отсюда следует, что в случае слабой помехи формула (8.13) для коли­ чества информации, получаемой в результате анализа, сводится к сле­ дующему выражению:

или в другой форме записи

где Я (Z) — априорная энтропия характеристики Z; Я (Гп) — энтро­ пия помехи.

Проведенное рассмотрение показывает, что при слабых помехах количество информации, получаемой в результате анализа характе­ ристики случайного управляющего воздействия, представляет собой разность между априорной энтропией источника информации и энтро­ пией помехи. При действии сильной помехи количество информации / представляет собой разность между априорной энтропией анализатора и энтропией помехи

Практически это означает, что в случае слабой помехи количество ин­ формации / можно вычислить по формуле (8.15), а в случае сильной помехи — по формуле (8.13). Разница между выражениями (8.13) и (8.15) заключается в том, что под знаком первого интеграла в фор­ муле (8.13) находится плотность вероятностей значений смеси управ­ ляющего воздействия и помехи р (у), а в формуле (8.15) — плотность вероятностей значений анализируемого случайного воздействия р (г).

Важный вывод теории информации состоит в том,_что между мощ­ ностью (дисперсией) и дезинформационным действием (энтропией) по­ мехи не наблюдается однозначного соответствия. При одной и той же мощности дезинформационное действие помехи различно и зависит от закона распределения вероятности помехи. При фиксированной мощности помехи наибольшей энтропией обладает помеха с нормаль­ ным законом распределения вероятностей. Помеха с любым другим знаком распределения вероятностей обладает меньшей энтропией, т. е. меньшим дезинформационным действием, чем нормальная помеха. Отсюда следует, что при произвольном законе распределения вероят­ ностей помехи дезинформационное действие определяется не всей мощ­ ностью помехи, а лишь частью ее. Эта часть получила в теории инфор­ мации название энтропийной мощности помехи [76].

Погрешности анализа. Важной характеристикой статистического анализа является погрешность анализа, определяемая дезинформа­ ционным действием помехи. Введем, следуя [48], понятие энтропий­ ного значения погрешности анализа, связанное с энтропийной мощ­ ностью помехи. Энтропийным значением погрешности анализа Л бу­ дем считать значение погрешности с равномерным законом распреде­ ления, которое вносит такое же дезинформационное действие, что и

где 2А — ширина полосы погрешности. Энтропия погрешности по­ мехи равна

00

H ( Y n) = — j р (уп) log2 р (уп) dyn =

— С О

У+ А

=— j ^ -lo g 2^ d z /n = log2A бит

у—Д

244

или в натуральных логарифмах

Выразим, пользуясь (8.19), энтропийную погрешность Д через энтропию помехи Я (Уп):

Соотношения (8.19) и (8.20) оказываются справедливыми при произ­ вольном законе распределения вероятностей погрешностей анализа.

Введение понятия энтропийного значения погрешности дает воз­ можность любую погрешность с произвольным законом распределе­ ния заменить погрешностью с равномерным распределением с тем же значением энтропии. Мощность помехи (погрешности) определяется ее дисперсией о2 или средним квадратическим значением а.

Отношение значения энтропийной погрешности анализа А к сред­ нему квадратическому значению о определим, как энтропийный коэффициент закона распределения погрешности анализа. Коэффи-

циент К зависит от вида закона распределения погрешности анализа. Погрешности с одинаковым средним квадратическим значением а, но с разными законами распределения, оказывают различное дезинформационное действие. Погрешность с нормальным законом распределения при заданной дисперсии а 2 имеет максимальную эн­ тропию, т. е. обладает максимальным энтропийным коэффициентом К.я- Погрешность с любым другим законом распределения не может иметь значение К больше, чем /<н.

Энтропия погрешности (помехи), выраженная через натуральные логарифмы, равна

—ОО

245

а

J УпР [Уп) йУп — ° 2-

—00

Поэтому

Я (Уп) = In У 2я а + — In ]/"2л о + In j/" e = l n [у~2пе о ) .

В соответствии с выражением (8.19) энтропийное значение погрешно­ сти равно

Пользуясь формулой (8.21), найдем энтропийный коэффициент погрешности с нормальным законом распределения вероятностей

Кн= - |/ " f = 2,07.

Погрешность с любым другим законом распределения может иметь значение энтропийного коэффициента К только меньше, чем Кп = = 2,07. Так например, при равномерном законе распределения по­ грешностей анализа (8.22) дисперсия погрешности равна

оо А

а среднее квадратическое значение погрешности равно

ст = ] / з А.

Подставив (8.22) в (8.21), получим значение энтропийного коэффи­ циента для равномерного закона распределения погрешности равным

Я Р = 4 = 1,73< Я Н.

Энтропийный коэффициент К связан с энтропийной мощностью помехи W соотношением вида

где Кп = 2,07 — значение энтропийного коэффициента при нормаль­ ном законе распределения вероятностей погрешностей анализа; W — полная мощность помехи.

В [48] приведена таблица значений энтропийного коэффициента при эволюции закона распределения значений погрешности анализа от распределения с бесконечно возрастающим эксцессом до двухмо­ дального распределения.

246

Результат анализа величины Z лежит в некотором интервале зна­ чений, который при любом законе распределения погрешностей ана­ лиза может быть заменен эквивалентным ему в энтропийном смысле интервалом равномерного распределения ширины d = 2Д.

Величина d может не зависеть от текущего значения величины Z (аддитивная помеха) или быть пропорциональной текущим значениям величины Z (мультипликативная помеха). Когда анализируемая ве­ личина равна нулю, мультипликативная составляющая погрешности также равна нулю, и погрешность определяется только аддитивной составляющей.

Результируемая абсолютная энтропийная погрешность анализа может быть представлена в виде следующей формулы:

А — Да + Уы%,

где Да — абсолютное значение аддитивной составляющей энтропий­ ной погрешности; ум — относительная величина мультипликативной составляющей энтропийной погрешности; Z — текущее значение ана­ лизируемой величины.

Результирующая относительная энтропийная погрешность ана­ лиза имеет следующий вид:

Y = -f- = Ya + YM’

где Ya = — относительная величина аддитивной составляющей энтропийной погрешности.

При анализе характеристик нестационарного управляющего воз­ действия по одной ее реализации, что возможно при использовании оператора текущего среднего [76], относительную энтропийную по­

грешность анализа Z будем рассматривать как отношение энтропий­ ной погрешности А к среднему на интервале анализа значению ана­ лизируемой величины

где z1 и z2 — значения анализируемой величины на концах интервала анализа Та.

Аддитивная составляющая энтропийной погрешности анализа со­ стоит из двух основных компонент: методической погрешности и аппа­ ратурной погрешности. Появление методической погрешности выз­ вано, в основном, конечным интервалом анализа Та. Чем больше ин­ тервал анализа, тем меньше величина методической погрешности. Аппаратурная погрешность обусловлена в основном действием помех.

Методическую и аппаратурную погрешности можно считать ста­ тистически независимыми. Это позволяет производить их геометриче­ ское суммирование. Если обе составляющие аддитивной погрешности

247

распределены по нормальному закону, то их сумма может быть най­ дена по формуле

A . = V 4 „ + A i „ ,

где Да.м — методическая составляющая аддитивной энтропийной погрешности; Да. п — аппаратурная составляющая.

Найдем, в виде примера, энтропийную погрешность анализа ам­ плитуд управляющего воздействия, обусловленную действием тепло­ вого шума с равномерным спектром в полосе частот Д/ [48]. Мощность такого шума может быть определена по формуле Найквиста

Wm = 4kTAf,

где &=1,38-10“ 25 Дж/град — постоянная Больцмана; Т — абсо­ лютная температура, К.

За время анализа Та происходит сглаживание флуктуаций. Мощ­ ность флуктуаций, определенная на интервале анализа Та, может быть найдена по формуле

— число независимых отсчетов функции с граничной частотой Д/ за время Та.

Подставив (8.24) в (8.23), получим

Среднее квадратичное значение напряжения теплового шума на со­ противлении г входной цепи анализатора равно

Относительная средняя квадратичная погрешность анализа нахо­ дится по формуле

действия; & — энергия управляющего воздействия, подводимая к ана­ лизатору за время Та.

Мгновенные значения флуктуаций теплового шума распределены по нормальному закону, в связи с чем значение энтропийного коэффи­ циента К = К п = 2,07. Поэтому относительная энтропийная погреш­

248

ность анализа, обусловленная действием теплового шума, равна

6 ш

анализатора.

Из рассмотрения формулы (8.27) следует, что относительная эн­ тропийная погрешность анализа, обусловленная действием теплового шума, равна обратной величине квадратного корня из энергетического отношения сигнал/помеха на входе анализатора. Формула (8.27) мо­ жет быть непосредственно использована для определения относитель­ ной энтропийной погрешности анализа амплитуд управляющего воз­ действия в присутствии аддитивного теплового шума.

При анализе статистических характеристик управляющего воз­ действия величина Ya. п представляет собой отношение абсолютной энтропийной погрешности Аа.п, обусловленной действием аддитив­ ной помехи на входе анализатора, к среднему значению анализируе­

мой характеристики Z, т. е.

Например, при анализе длительностей выбросов случайного управ­ ляющего воздействия величина Аа. п представляет собой энтропий­

ную погрешность анализа длительностей выбросов, а величина Z — среднюю за интервал анализа Та длительность выбросов.

Формула (8.25) отражает общую закономерность, проявляющуюся при анализе любых статистических характеристик случайных управ­ ляющих воздействий в присутствии помех. Именно, уменьшение по­ грешности уа п при постоянной средней мощности управляющего воздействия достигается за счет увеличения времени анализа Та.

Методическая составляющая аддитивной относительной энтро­ пийной погрешности анализа, обусловленная конечностью интервала анализа, может быть найдена по формуле [48]:

Та-М==| / ' т1’

где тм — мертвое время анализатора.

Под мертвым временем понимается такое минимальное время ана­ лиза, при котором погрешность анализа достигает 100% и от анализа­ тора не может быть получено никакой информации об анализируемой величине. Мертвое время тм представляет собой обобщенную характе­ ристику точности и быстродействия анализатора.

249