книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

Предполагаем, что матрица В приведена к виду (7). Рассмот­ рим уравнения системы (17). соответствующие всем матрицам. Bi,..., В>i (в отдельности или вместе). Имеем однородную линей­ ную систему, уравнения которой независимы, так как матрица не­ особенная, а число данных уравнений равно числу неизвестных, ко­ торые в них явно фигурируют. Следовательно, все эти неизвестные равны нулю. Подставляем найденные значения в уравнения, соот­ ветствующие матрице Си Как и выше, получаем, что величины ри соответствующие этой матрице, все равны нулю. Такую же подста­ новку и рассуждения применяем поочередно ко всем матрицам С&..., Си В результате устанавливаем, что все величины pi, соответ­ ствующие вершинам исходных или промежуточных компонент (матрицы Bi,..., Bh, Ci,..., Ci в (7)), имеют нулевые значения. Под­ ставляем эти значения в следующие уравнения. Для каждой ИЗ' матриц Di,..., Dm получаем свою систему линейных однородных уравнений со своими неизвестными. Каждая из систем содержит столько же уравнений, сколько неизвестных. Устанавливаем, что ранг определителя системы на единицу ниже его порядка. Следо­ вательно, каждая система однозначно определяет отношения между величинами р,- для вершин каждой стационарной компоненты

Dи..., Dm.

Если имеется только одна стационарная компонента, то значе­ ния отношений между pi и нормирующее условие однозначно опре­ деляют все Pi. Если же число стационарных компонент /п> 1, то наряду с соотношениями величин р { внутри каждой компоненты не­ обходимо знать еще значения т— 1 независимого отношения p jp j для различных компонент. Эти значения «внешних» отношений за­ висят, очевидно, от начальных значений (если постоянные P i полу­ чаются как пределы переменных при ^->-оо). Так, например, если все начальные P i ( 0 ) положительны только для одной стационарной компоненты, то это же свойство будут иметь и предельные ри

Отношения различных P i для отдельной стационарной компонен­ ты можно получить по известным формулам Крамера. Покажем, что в качестве величин, пропорциональных рь можно брать значе­ ния определенных главных миноров матрицы В.

Рассматриваем одну стационарную компоненту. После перену­ мерации соответствующая ей система может быть приведена к ви­ ду (17) (понятно, с другим, в общем случае, значением п). Соглас­ но формулам Крамера получим величины г{, пропорциональные ис­

70

Имеем

для любого I. В определителе правой части к элементам i-й строки добавляем сумму соответствующих элементов всех других строк. Значения определителя при этом изменятся и на основе (19):

Последний определитель — ни что иное, как минор матрицы ле­ вой части, соответствующий pi. Так как раньше установили, что все эти миноры положительны, то положительны и все отношения стационарных pi внутри стационарной компоненты, как и должно быть из вероятностных соображений. Поэтому стационарные значе­ ния для вершин каждой стационарной компоненты либо все поло­ жительны, либо все равны нулю. Пример системы с более чем од­ ной стационарной компонентой: процесс размножения и гибели с несколькими поглощающими состояниями.

Отметим еще одно свойство стационарных вероятностей, кото­ рое иногда полезно знать. Пусть рассматриваемая стационарная компонента с множеством вершин Xj содержит точку сочленения х. Это значит, что можно так разбить множество Х.,\ х на две части X', X", что любой путь из вершины одной части в вершину другой части проходит через х. В таком случае значения отношений для вершин каждого из множеств X' (J х, X" (J х можно рассматривать отдельно.

Действительно, пусть система (17) относится к рассматривае­ мой компоненте и пусть X' содержит к— 1 вершину. В силу свобод­ ной нумерации вершин внутри каждой компоненты можно выбрать такую, в которой все вершины множества X' получают номера от 1 до k— 1, вершина х получает номер к, а вершины множества X" — дальнейшие номера. С другой стороны, установлено, что взаимные отношения величин pi для рассматриваемой компоненты однознач­ но определяются системой, получаемой из (17) отбрасыванием лю­ бого из уравнений. Отбросим к-е уравнение. Тогда, в силу свойств вершины Хь, уравнения с номером i ^ k — 1 в числе к— 1 содержат только неизвестные р,- с номером от 1 до k и определяют их отно­ шения. Остальные же уравнения в числе т—k содержат т —k + 1 неизвестное Хъ,—, хт и также однозначно определяют их отношения.

В качестве примера процессов с отмеченным свойством можно привести процесс размножения и гибели, где каждая вершина гра­ фа, за исключением двух крайних (для конечного п) или крайней {для бесконечного числа состояний), является точкой сочленения.

71

3. Матрица А и уравнения Кирхгофа

Пусть множество N = { 1, 2...} индексов вершин графа разбито на два •непересекающ'ихся подмножества / и К и пусть АД, Хк — множества всех тех вершин, индексы которых принадлежат соот­ ветственно / и К- Множество всех ребер типа [i, k], i 6 L k 6К, на­ зывается разрезом, который обозначим через [/, /<] или i[/(, /].

Рассматриваемые величины P i ( t ) можем истолковать как массы некоторой жидкости, находящейся в момент t в вершине лщ а про­ изведения ciiuPi — как интенсивности потоков, текущих из Х{ в xh

массы р,- в Xj равна интенсивности суммарного потока, притекающе­ го в .V;. Для стационарного соотношения имеем систему уравнений

Теорема 4.5. Скорость изменения суммарной массы в верши­ нах множества Xj равна интенсивности суммарного потока, вте­ кающего в Xj.

Для стационарного случая все производные по времени равны нулю. Имеет место следующее следствие.

С л е д с т в и е . В стационарном случае суммарная интенсивность, потока, протекающего через любой разрез, равна нулю.

Понятно, применяя следствие, все значения интенсивностей по­ токов через отдельные ребра разреза необходимо брать в согласо­ ванных направлениях: для К], например, рассматривать потоки либо все как втекающие в вершины АД, либо все как вытекающие из них.

72

4.Построение марковского процесса в случае неэкспоненциальных распределений

Процесс Маркова непосредственно моделирует систему мас­ сового обслуживания, в которой все потоки требований — пуассо­ новские, а все распределения времени обслуживания — экспонен­ циальные. Однако таким процессом возможно моделировать и не­ который класс более общих систем. Во-первых, пусть некоторый входной поток не всегда ординарный. Тогда молено выделить от­ дельно потоки поступления требований по одному, по два и т. д. и каждый из них приближать пуассоновским потоком или же нилее рассмотренным способом. Во-вторых, для аппроксимации распре­ делений времени обслуживания, отличающегося от экспоненциаль­ ного, молено одному фактическому состоянию системы сопоставить подходящим образом подобранную подсистему 2 состояний моде­ лирующего процесса Маркова. Частным случаем такого сопостав­ ления является разбиение обслуживания на последовательные фа­ зы. Например, аппроксимация распределений длительности обслулеивания распределениями Эрланга.

Рассмотрим один более общий вопрос. Будем искать вероят­

ность того, что процесс, находясь в момент ^=0 в некотором состоя­ нии s некоторого собственного подмнолсества 2 всех состояний, до момента t не покинет это подмножество. Такую вероятность будем называть вероятностью пребывания в 2. Для упрощения записи без ограничения общности можем предпололщть, что состояние s имеет номер 1, а множество / номеров состояний подмножества

2 — это множество {1, 2,..., k} и что все индексы множества J достижимы из 1.

Рассматриваемый процесс до первого выхода из 2 будет проте­ кать так л<е, как усеченный процесс, в котором оставлены без из­ менений все Щ] с i ^ k , а все остальные а^- аннулированы. Ход усе­ ченного процесса характеризуется системой уравнений

М 0 = £ л ( 0 - i=i

В общем случае система (21) имеет k характеристических функ­ ций, и p-z (t) является определенной линейной комбинацией этих функций. Установим, что в случаях, представляющих интерес, ког­ да хотя бы одно djh, h > k , в (21) строго ноложителыно, новпда Ps (t) — убывающая функция. Действительно, согласно i(20)

Е

£=1 \<i<k,h>k

и при хотя бы одном положительном a.jh в силу теоремы 4.3 для

1

и для всех а#,, j ^ k ^ h , имеет место ajh — qhbj, где bj = 'Zaig. Тогда

qh будет вероятностью того, что при первом выходе из 2 переход произойдет именно в состояние h.

Таким образом, если для каждого состояния s исследуемой си­ стемы имеем интенсивности перехода типа bj (обусловленные дли­ тельностью обслуживания, входными потоками и т. д.) и вероятно­ сти первого перехода типа qh, то, сопоставляя этому состоянию s подмножество состояний 2 с подходящим образом подобранными ац и djh, получаем точную модель пребывания фактического про­ цесса в каждом состоянии s и переходов из s в другие состояния. Следовательно, будет получена точная модель всей данной системы, причем эта модель — процесс Маркова с конечным числом со­ стояний.

Указанным способом могут моделироваться не все вероятности p(t) первого выхода из 2, представляемые как линейные комбина­ ции собственных функций. Точно не моделируются, например, та­ кие вероятности, даже монотонно убывающие от 1 до 0 при возрас­ тании г1от 0 до оо, для которых производная равна нулю при поло­ жительных значениях t. Пример:

Р(0 = ( 1 + ^ е “ <,

где производная

ш

имеет нуль при f= .l. Однако можно ожидать, что функции p(t) та­ кого типа или, например, ступенчатые функции p(t) можно прибли­ зить функциями ps (t) для подмножества 2 с достаточно большим числом состояний. Косвенным подтверждением этой гипотезы мо­ жет служить факт, что многие свойства и соотношения, установлен­ ные первоначально для процессов Маркова с дискретным множест­ вом состояний, были затем обобщены для более общих марков­ ских (процессов. Приведем несколько примеров.

При k = 2 pxj(t) может равняться любой из функций

fi(*)=re-w + ( l - / - ) e - * “

или

U (0 = (1 + р 0 е м •

Рассматривая эти функции как вероятности пребывания, имеем следующие параметры для простейшей модели.

74

При р=Я имеем две известные эрланговские фазы.

При k /^Ъ система может иметь и комплексные характеристиче­ ские значения Яг/ в таком случае рх (t) может содержать и экспо­ ненциально убывающие члены колебательного характера. Пример:

при 0< г< 0 ,5 ; 0 < 6 < 1 —г\ 0 < с < 1 —г, 2/-3< Ьс,/множество 2 с /г= 3 и

Функции рх такого типа с компонентами Яг могут появиться толь­ ко в случае, когда граф непосредственных переходов в 2 содержит хотя бы один контур. Действительно, если таких контуров нет, то состояния, входящие в 2, можно пронумеровать так, что непосред­ ственные переходы имеются только от состояний с меньшим номе­ ром к состояниям с большим номером. Тогда матрица коэффициен­ тов правой части (21) — поддиагональная, характеристические зна­ чения Я,-= —-щ, t'= l, 2,..., k, следовательно, все действительные.

Последний «факт показывает неточность утверждения, что любое распределение положительной случайной величины, преобразова­ ние Лапласа которого является отношением двух полиномов, мо­ жет быть представлено комбинацией этапов обслуживания и типов требований. Действительно, такая комбинация может дать только множества 2 без контуров, следовательно, с действительными соб­ ственными значениями. В то же время распределения, соответст­ вующие (22), имеют преобразование Лапласа в виде отношения

.двух полиномов, .но моделируются множеством 2 с контуром (1, 2,

.3). Таким образом, вопрос об определении всех распределений, точ­ но моделируемых подмножествами 2, остается открытым.

75

Ясно, что приведенные в этом пункте способы моделирования: разбиение входных потоков и использование подмножеств S су­ щественно увеличивают число состояний, рассматриваемых в ис­ пользуемом для моделирования процессе Маркова. Однако при расчете основных стационарных характеристик приемы укрупнения, указанные в следующем параграфе, позволяют снизить число рас­ сматриваемых состояний и уравнений.

4.3. АЛГОРИТМЫ

1. Применение алгоритма Гаусса для вычисления стационарных вероятностей

Рассмотрим теперь численные методы нахождения стационар­ ных характеристик марковских процессов, которые сводятся к ре­ шению систем линейных алгебраических уравнений.

Пусть дана матрица интенсивностей перехода марковского про­ цесса

удобно применить метод исключения Гаусса, так как с учетом по­ ложительности коэффициентов а,ц и вида матрицы (23) вычисления можно проводить без потери точности. Действительно, к элементам

/-Й строки (7='2,..., п) в (23) добавляем соответствующие элементы

11

первой строки, умноженные на а^/ £ aih. В результате под главной

Расчет a'ij происходит без потери точности, поскольку сумми­ руются величины одного знака (если ни одна из них не равна ну­ лю). Если опасна потеря точности при вычислении аи, так как

76

то новые значения а'ц на главной диагонали следует вычислять не непосредственно, а через суммирование:

ных элементов второй колонки в нули повторяем описанные дейст­ вия с элементами второй строки и остальной матрицей.

Алгоритмом Гаусса удобно пользоваться для вычисления ха­ рактеристик коммутационных схем, для которых (д-М ) n<lN, где д — число состояний схемы; N — объем оперативной памяти ЭВМ. При больших д надо привлекать другие виды памяти, что резко уд­ линяет время счета, или следует переходить к другим алгоритмам, например, итерационным.

N — число ячеек оперативной памяти ЭВМ, то распределение ве­ роятностей состояний системы можно вычислить итерационным ме­ тодом (методом последовательных приближений). При этом сле­ дует учесть, что матрицы систем линейных уравнений, возникаю­ щих на практике и имеющих большой порядок, как правило, бы­ вают редкими (имеют много нулей). Для таких матриц метод иск­ лючения Гаусса крайне неудобен, поскольку он многие из нулевых элементов переводит в ненулевые.

В противоположность гауссовскому исключению итерационный метод представляет собой метод решения линейных систем, кото­ рый использует только исходную матрицу. Изложим алгоритм итераций на примере системы уравнений, описывающих неполнодо­ ступные схемы (см. гл. 5).

Алгоритм решения (28) методом последовательных приближе­ ний следующий.

1.Задается начальное приближение

р<°) = 1, г = 1, . . ., л.

77

Вероятность того, что первый переход из S; произойдет именно в sj, равен

Стакой вероятностью имеет место ур-ние (33) с определенным /. Вводим обозначения: 7\, Tj — средние значения и di, dj — дис­

персии для времени до первого достижения некоторого st из s,-, Sj соответственно; 7^ и dij — среднее время и дисперсия времени для перехода из Si в Sj, если известно, что именно этот переход был первым; T'it d'i — значения 7\-, d,- при том же дополнительном ус­ ловии. Тогда, усредняя по всем возможным траекториям

Каждое из этих соотношений имеет место с вероятностью (34). Усредняя (35) по всем возможным Sj и учитывая, что для первого перехода среднее значение времени пребывания в состоянии Sj

равно

1 ___________________ 1____________________

а/ ап + ■ • •+ ai, ,-_i + ai, i+i -г ■ ■ •+ аш

и дисперсия этого времени 1/а?, получаем после простых преобра­ зований:

В суммах левых частей исключили значения / 6 L, так как для лю­ бого такого I как Т[, так и di равны нулю. Исключаются также и все j, недостижимые из i.

Линейные системы (36) и (37) отличаются только правыми час­ тями, а транспонированная матрица коэффициентов совпадает с некоторым главным минором матрицы В. Как было установлено выше, определитель такой матрицы отличен от нуля только тогда, когда соответствующее ему множество вершин Xj имеет корневой лес, т. е. каждая стационарная компонента, вершина которой до­ стижима из I, должна иметь хотя бы одну вершину в XL. Можно проверить, что в противном случае системы (36) и (37) несовме­ стимы.

В случае процесса размножения и гибели системы (36) и (37) дают, понятно, те же значения, как и выражения другого вида, при­ водимые в § 3.1. В общем случае для расчета значений 7\ и di мож­ но указать приемы расчета без вычитаний, аналогичные приему, описанному в § 4.3.1.

79