книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

отметить, что выражение (50) является относительно простым по сравнению с выражениями, которые встречаются при расчете слож­ ных систем по методу Якобеуса. Выражение типа (50) удается при­ вести к виду, допускающему вычисление на ЭВМ, применением ин­ тегрального представления формулы Эрланга (28).

Сначала упростим сумму:

Далее меняем местами знаки суммы и интеграла и применяем формулу бинома Ньютона:

“о 'г '

Подставим (51) в (50), поменяем порядок суммирования и ин­ тегрирования, еще раз применим формулу бинома Ньютона: .

лы потерь в многокаскадных схемах при условии, что маркер осу­ ществляет г попыток установить соединение, содержат выражения вида!

Воспользуемся формулой свертки преобразования Лапласа. Как из­ вестно, если

40

Численный анализ процессов размножения и гибели

Вгл. 1 были введены случайные процессы размножения и гибели, выведены формулы

для стационарных вероятностей, на основе которых далее в гл. 2 единым подходом получены основные форму­ лы теории телетрафика. В настоящей главе рассмотрим алгоритмы вычисления других стационарных характеристик: вероятностей пер­ вого перехода, среднего значения и дисперсии времени первого пе­ рехода, а также алгоритмы вычисления переходных вероятностей.

3.1. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

1. Вероятности первого перехода

Рассмотрим процесс размножения и гибели, определенный на

42

то (1) можно представить в виде

Из последних двух равенств получаем искомые вероятности перво­ го перехода:

Так как случайное время первого перехода в состояние / из состоя­ ния i является суммой взаимно независимых случайных времен первого перехода из i в t+T, из i+ 1 в i+ 2 и т. д. до первого пере­

ектории процесса размножения и гибели следует, что время пребы­ вания его в состоянии i подчиняется экспоненциальному закону с

43-

параметром Л; + ц;, а после окончания пребывания в состоянии £

стояние £+1, то осуществилось интересующее нас событие. Если же процесс перешел в состояние £■—1 в какой-то .момент ».(0< м < £), то за оставшееся время t—и должен произойти переход из состоя­

Переходим к вычислению моментов первого перехода на основе ре­ куррентного соотношения (6).

3.Среднее значение и дисперсия времени первого перехода

Представление распределения времени первого перехода через преобразование Лапласа (4) дает возможность вычислить моменты этого распределения. Обозначим случайное время первого перехода из состояния £ в состояние / через iij, t n ^ .i< .j^ n + 1. Тогда из1(3) следует, что среднее значение

44"'

Аналогичными приемами можно найти дисперсию случайного времени.первого перехода D|jj. Из взаимной независимости случай­ ных величин |fi i+ь-.., |3vi, j следует, что

4.Среднее время первого перехода в частном случае

Особый интерес представляет изучение времени первого пере­

Итак, рассмотрим МЪп — среднее значение случайного времени первого достижения состояния п из состояния 0 при условии, что

45

Аналогичными рассуждениями получаем среднее время перво­ го перехода из состояния / в состояние 0. При выводе M|jo учтем, что процесс, заданный на [т, п\, симметричен относительно взаим­ ной замены параметров А,, и р,-, т. е. для получения Mgjo достаточно

/ 2 0*

(24)

М 5 „ - J } - - 1 k= 1

Из выражения (24), устремляя п к оо, при условии существова­ ния стационарного распределения для процесса на [0, оо] (см. § 1.2.2) получаем среднее время первого перехода ш состояние 0 из состояния / для процесса, заданного на (0, оо]:

а=1

р$k

4G

3.2. АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

При решении различных задач управления, например, динами­ ческого управления потоками вызовов, надо знать не только стационарные характеристики процесса, но также различные его переходные характеристики, которые описывают процесс в началь­ ном периоде времени и учитывают зависимость от начального со­ стояния.

Вычисление переходных вероятностей процесса размножения и гибели облегчается тем обстоятельством, что при данном началь­ ном состоянии процесса i и данном времени наблюдения Т можно выбрать такую окрестность состояния i, из которой траектория про­ цесса не выйдет с заданной вероятностью 1—е. ‘В математической физике в этом случае говорят, что «не чувствуется 'граница».

Вместо исходного процесса, заданного на множестве 0, 1, 2,..., оо (обозначим это множество через [0, оо]), рассмотрим про­ цесс, заданный на [0, п]. Назовем данный процесс усеченным про­ цессом. На конкретных примерах коротко рассмотрим четыре ме­ тода вычисления переходных вероятностей:

1) на основе разложения по собственным векторам матрицы интенсивностей перехода;

2)численное интегрирование методом Рунге—Кутта;

3)степенное разложение матрицы интенсивностей перехода;

4)факторизация переходных вероятностей.

Из результатов вычислений, изложенных ниже, следует, что наи­ более приемлемым методом является разложение решения систе­ мы дифференциальных уравнений по собственным числам и собст­ венным векторам матрицы интенсивностей перехода. Оказалось, что координаты собственных векторов растут медленно. Этот факт заранее не был известен. Теоретически изучен только вопрос об об­ ласти расположения собственных чисел. Метод Рунге—Кутта тре­ бует много машинного времени. Перед его применением следует преобразовать матрицу интенсивностей перехода так, чтобы устра­ нить нулевое собственное число, что является причиной роста оши­ бок вычислений. Последние два метода — степенное разложение матрицы интенсивностей перехода и факторизация переходных ве­ роятностей ■— на практике менее применимы, так как дают реше­ ние в виде знакопеременного ряда с быстрорастущими коэффици­ ентами, что требует проведения вычислений о удлиненной машин­ ной ячейкой.

1. Определение переходных вероятностей. Свойства

P'nW = K-X Pn-X (0 - (K + Pn) Pn(t)

47

При отыскании переходных вероятностей P j(t) можно пользоваться интегральным преобразованием Лапласа:

{s; о, п>

где {s; 0, п} — определитель матрицы (29); {s; 0, п; i, j} — видоиз­ мененный определитель {s; 0, п}, в котором /-й столбец заменен на столбец начальных вероятностей, состоящий из единицы в i-м мес­ те, что соответствует pt (0) = 1, и нулей во всех остальных местах. Заменяя состояние 0 на т, рассмотрим соответственно определите­ ли {s; т, п} и {s; т, п\ i, /}. Предположим {s; т, п) = 1 при т = п. Разложением по последнему столбцу получаем

{s; т, п] = {Хп + р„ + s) {s; т, п — 1} — р Д ,^ {s; т, п — 2}.

Аналогично разложением по первому столбцу получаем

-г (h т Pi + s) {s; т, i — 1} {s; i -j- 1, n} —

38

Заметим, что {s; т, п\ i, /}T= {s ; т, щ /, t'}, где знак Т обозначает

один из корней равен нулю, а остальные корни различны и отрица­ тельны.

числе между нулем и наименьшим по модулю корнем) лежит один корень полинома (s; in, n + 1}.

4. Если корни упорядочены в виде s0< is1< i...< .sn- m, то в ряду координат /'-го собственного вектора имеется точно / перемен знака.

2. Разложение по собственным векторам

Вычисляем собственные числа So,--v sn матрицы коэффициен­

тода при нахождении.переходных вероятностей, p.ij(t) приведем чис­

..49