книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

о2 — дисперсия стационарного распределения числа занятых линий:

Рис. 10.10. Сравнение точного и приближенного зна­ чений среднего квадратичного отклонения для трех­ линейной НС

200

а2/ — дисперсия стационарного распределения функционала потерь гг. над стационарным распределением вероятностей {pi}:

приближенное значение дисперсии. Если удовлетвориться рассмот­ рением больших значений Т. то (42) можно упростить:

Результаты сравнения точного значения главного члена дисперсии

дается в п©лно!до€ту1Пной системе (ер. е рис. 40.6).Эти примеры по­ зволяют высказать предположение, что и для других коммутаци­ онных систем применима полученная оценка дисперсии (42).

5.Уменьшение дисперсии выборочной дисперсии на примере бесконечно линейного пучка

Сравним предлагаемый метод оценки выборочной дисперсии : тем. что дает метод Стьюдента (см. § 10.1.2). Чтобы справиться с вычислениями, ограничимся простейшим случаем — бесконечно линейным пучком — и рассмотрим оценку среднего числа занятых линий.

Первый метод (ем. § 10.1) основан на разделении реализации длины пТ на п отрезков длины Т каждый и получении п выборок среднего значения:

£т

Второй метод основывается на только что полученных форму­ лах. Так как в качестве функционала f (x ( t) ) берем число занятых линий, то f ( x ( t ) ) = x ( t ) и о2/=ю2. Число занятых линий в беско­ нечно линейном пучке подчиняется пуассоновскому распределению с параметром Я, и о2=Я, 'поэтому согласно (34) и (36)

эвристическое суждение о целесообразности дальнейших исследо­ ваний данного вопроса на более сложных системах.

Дисперсия величины s2. Из курса математической статистики <с.м., например, (136, с. 212]) известно, что выборочная дисперсия s2 как случайная величина имеет среднее значение

М (г) = о2,

совпадающее, как и положено, с дисперсией о2 исходной случай-

отношением, приведенным в (24, с. 173]). Из него последователь­ но получаем:

nii = Я

202

Наша цель найти рг и Ц4, чтобы воспользоваться выражением (53). Подставляя (57) в (55) и опуская члены, имеющие множитель е~г, которые не влияют на численные результаты, после громозд­ ких преобразований получаем:

Дисперсия оценки дисперсии по Бенешу. Согласно (52) следует найти

По формуле T)(ag)=a2.Dg и с учетом, что в (60) в качестве слу­ чайной величины | выступает Я, имеем

а так как за интервал (0, пТ) DX=D(M(nT)), то после подстанов­ ки (52) в (61) окончательно имеем

Численный пример. Сравним величины дисперсии выборочной дисперсии, полученные обоими методами. Пусть 7=100, н=10. Тогда, подставляя эти значения в (58) и (59), а потом в (53), имеем

т. е. применение формулы дисперсии согласно методу Бенеша, тре­ бующей только оценки параметра X, дает по сравнению с приме­ нением критерия Стыодента увеличение точности выборочной дис­

персии в V 109100«330 раз, что подтверждает целесообразность дальнейших исследований этого подхода.

10.4. ВЫБОР ДЛИТЕЛЬНОСТИ РЕАЛИЗАЦИЙ

1. Общий случай

Вопрос о длительности реализаций 7 — важнейший вопрос как при моделировании, так и при измерениях на сети. К выбору 7 можно подойти на основе центральной предельной теоремы для

марковских процессов. Пусть имеем реализацию марковского про­ цесса x(t) на отрезке [О, Т\ и заданный на марковском процессе функционал f(t)=f[x(t)]. Согласно предельной теореме (см. (1) — (9)) для истинного значения среднего значения функционала я

1)по схеме Стьюдента (8);

2)по схеме Стьюдента с учетом линейной регрессии (19);

3)на основе формулы переноса ошибок (21);

4) через ковариационную функцию по методу Бенеша (49). Выбор коэффициента А зависит от 'методики ш|реде1Л'бн|ия D

и обычно основывается на предположении о нормальном распре­ делении величины

т

о

Если задана двусторонняя доверительная вероятность 1—2а (на­ пример, а = 2,5% и 1—2а = 95%) и максимальная относительная погрешность е > 0 оценки л (Г), то Т определяется из уравнения

где произведены алгебраические преобразования, чтобы получить выражение нормированной случайной величины. Из (68) можно получить требуемую оценку длительности реализаций. Для этого в неравенстве справа я заменяем на оценку я (Т) и под D подра­ зумеваем одну из четырех перечисленных оценок дисперсии. Сле­ довательно, во время моделирования вычисляем текущее

Vd

исмотрим, какой доверительной вероятности соответствует полу­

ченное значение, например, при Л = 2 вероятность 1—2а = 0,954. Увеличивая Т, можно получить сколь угодно большое А и соот­ ветственно обеспечить любую желаемую доверительную вероят­ ность 1—2а.

204

Тем самым вопрос о выборе Т в первом приближении решен. Для получения более точных выводов следует обсудить влияние на величину А в (69) того обстоятельства, что я (Г) и D являются случайными величинами. Предположим, что оценки я (Г) и А не имеют смещения от среднего значения. Из теоретических сообра­ жений известно, что эти оценки асимптотически нормальные, по­ этому при достаточно большом Т наличием смещения можно пре­ небречь. Другой вопрос — это дисперсия выборочного среднего я(7') и дисперсия выборочной дисперсии D. Из-за того, что эти дисперсии отличны от нуля (хотя и стремятся к нулю при Г-»-оо), на практике целесообразно брать время моделирования «с запа­ сом», т. е. увеличенное на 10—20% по сравнению с расчетным.

Теоретически этот вопрос изучен только для критерия Стьюдента, а исследования, проведенные в настоящей главе, убеждают, что для оценки D можно рекомендовать применение формулы пе­ реноса ошибок (см. § 10.2), так как она дает более точную оценку выборочной дисперсии, чем схема Стьюдента.

2. Схема Стьюдента

Применение схемы Стьюдента, изображенной на рис. 10.2, требует определить параметры: Т — длительность отдельной реали­ зации; То — длительность начального отрезка (для достижения стационарного режима); t — интервалы между реализациями.

Дадим эвристические соображения о том, как выбрать эти ве­ личины. При этом будем пользоваться моделью полнодоступного пучка с бесконечным числом линий. Полученные оценки будут обоснованными для п-линейного полнодоступного пучка. Примене­ ние же их по аналогии для о-линейной неполнодоступной схемы требует дополнительных исследований, так как в этом случае мар­

самостоятельный интерес, так как при любом методе оценки пред­ полагаем, что распределение х(0) совпадает со стационарным, следовательно, требуется отбросить начало реализации. Теорети­ ческим фактом, подтверждающим возможность выбора Т0, при ко­ тором распределение в момент То при любом заданном начальном распределении отличается от стационарного распределения мень­ ше, чем на данное б, является экспоненциальная сходимость мар­ ковского процесса к стационарному распределению. Это сводится

откуда находим Т0.

Однако нахождение чисел а и b требует знания характеристи­ ческих чисел матрицы А. Так как это невозможно, то для практи­ ческого пользования выберем следующий подход. Рассмотрим

20 S

среднее число занятых линий a(t) в бесконечном пучке в произ­ вольный момент t. Величина a (i) является решением дифферен­

a ( t ) = k ( 1—е_<). При данном б >0 определяем Т0 из неравенства'

к — Л, (1 — е~Го ) < 6,

откуда

(70)'

При моделировании марковской цепи следует выбросить реализа­ цию, соответствующую N —\tk вызовам. Из сравнения (70) и (71) следует, что для выбора значений t можно пользоваться табл. 10.3,. как при выборе Т0.

Длительность отдельной реализации. При делении одной реа­ лизации длины пТ на п более коротких реализаций длины Т с целью использования критерия Стьюдента следует выполнить два

противоречивых требования:

1) увеличить число п с целью уменьшения доверительных гра­

ниц оценки по критерию Стьюдента; 2) уменьшить число п, чтобы оценка дисперсии по ф-ле (8)-

имела достаточно малое смещение.

206

Поясним второе требование. Дело в том, что имеет место соот­ ношение

т. е. дисперсия убывает несколько медленнее, чем возрастает вре­ мя. Поэтому оценка дисперсии по короткой реализации может быть заниженной (иметь нежелательное смещение).

Проиллюстрируем соотношение (72) численным примером (табл. 10.4). Возьмем данные для двухлинейной системы с поте­ рями при л=1, представленные на >рис. 10.8.

и второе слагаемое в (73) выражает искомую оценку смещения дисперсии при конечных Т. Используя (73), можно определить необходимое время моделирования Т, чтобы смещение было доста­ точно малым. На рис. 10.11 представлены кривые для определения

£-0,01 Е*0.1

Рис. 10.11. Кривые не­ обходимой длины реа­ лизаций Т для полу­ чения оценки диспер­ сии среднего числа занятых линий в v- линейном полнодос­ тупном пучке с отно­ сительной ошибкой в

необходимой длины реализации Т такой, чтобы дисперсия оценки среднего числа занятых линий не превосходила заданную относи­ тельную ошибку е, определяемую приближенно отношением вто­ рого н первого слагаемых 'в (73), т. е.

207

ка, а а — модуль максимального собственного числа матрицы ин­ тенсивностей перехода. Значения а для счета но ф-ле (74) взяты на­ ми из работы Бенеша [24, с. 186].

тельность начального отрезка нестационарное™ и длительность интервала между реализациями с целью обеспечения их незави­ симости.

2. Формулы (74) и (75) определяют длительность отдельной ре­ ализации.

Следует обратить внимание, что эти формулы выведены для: полнодоступного пучка. Численные примеры расчета дисперсии оценки вероятности потерь ^например, пример в § 10.3.4 и др.) по­ казывают, что полученные формулы могут быть перенесены и на более сложные коммутационные системы. Этот вопрос, конечно,, заслуживает дополнительного изучения.

10.5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ НАГРУЗКИ НА СЕТИ

1.О проверке основных предположений теории телетрафика

Благодаря применению вычислительной техники для измере­ ния нагрузки и обработки результатов этих измерений в последние годы получены превосходные данные для статистической проверки основных предположений теории телетрафика и обоснования тре­ бований к качеству связи, в частности, обоснования рекомендацийМеждународного консультативного комитета по телефонии и телетрафии (МККТТ). Упомянем о фундаментальных статистиче­ ских измерениях трафика, которые были организованы в Швеции {162, 200], Финляндии [278], Дании [228] и о -которых было доло­ жено на VI Международном конгрессе по телетрафику (МКТ-6). Останавливаясь на этих и других материалах МКТ-6, обсудим не­ которые рекомендации МККТТ. Как известно, на основе рекомен­

.208

даций МККТТ развивается международная сеть связи; они нахо­ дят отражение в документах, нормирующих качество связи в лю­ бой стране.

Основные модели теории телетрафика используют предположе­ ние о пуассоновской длительности обслуживания. Статистические измерения {162, 200, 220, 228, 278] подтверждают пуассоновость потока телефонных вызовов с ярко выраженным периодом наи­ большей занятости (ориентировочно период 900— I I 00 ч), когда наб­ людается относительно высокая и устойчивая нагрузка (209, 258]. Однако длительность обслуживания часто отклоняется от экспо­ ненциального распределения ехр{—//а). Например, на основе об­ ширных измерений телефонной и телеграфной нагрузок Рахко [278] предлагает для этой цели пользоваться распределением Вейбула ехр{—t 0 /а}, а > 0, (3>0.

Как известно из теории (Севастьянов [126]), в случае полнодос­ тупного пучка с потерями, обслуживающего пуассоновский поток, число занятых линий подчиняется распределению Эрланга неза­ висимо от вида распределения длительности обслуживания. Вил­ кинсон (298] приводит статистические данные, превосходно под­ тверждающие это положение. В связи с этим укажем на одну ста­ тистическую задачу. Пусть при данном числе линий в полнодоступ­ ном пучке наблюдениями установлена средняя обслуженная наг­ рузка у. Тогда интенсивность поступающего потока X (при сред­ ней длительности, равной единице) можно найти из уравнения

г/= М 1 - а д ) ] .

Однако, как показал Деклю (186], во избежание смещения в оценке X лучше использовать выражение

где N — число поступивших вызовов; Nо — число потерянных вы­ зовов.

Статистические измерения нагрузки иллюстрируют и более сложные задачи теории телетрафика. В обзорном докладе Хейвар­ да и Вилкинсона [220] приведены численные иллюстрации к зада­ чам учета колебаний нагрузки, изучения влияния повторных вы­ зовов при оценке качества связи и предсказания роста нагрузки в будущем.2

2. Измерение нагрузки в час наибольшей нагрузки

Телефонные сети проектируются на основе требований обес­ печить требуемое качество связи в так называемый час наиболь­ шей нагрузки (чнн). За основу определения нагрузки в чнн бе­ рется период наибольшей занятости, например, период от 9 до 11 ч, когда наблюдается относительно высокая и устойчивая наг­ рузка (конечно, для жилых кварталов в качестве периода наиболь­ шей занятости следует подбирать соответствующие вечерние часы).

209