книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

графа Gp, не принадлежащие контуру у, с сохранением обозначений

зультате перехода от |G3>к Gp+1число вершин уменьшается, но мно­ жество всех индексов не изменяется, так как все индексы отбрасы­ ваемых вершин xj- появляются у новой вершины хj. В описывае­

мом ниже алгоритме построения последовательности Go, G1... каж­ дый граф получается из предыдущего путем стягивания некоторого контура. Поэтому каждый из графов последовательности имеет то же множество индексов N, как и исходный граф Go=G.

Для установления свойств достижимости в графах Gp будет по­ лезным перенести это понятие на индексы обозначений вершин. Именно, пусть i^N и k£N. Будем говорить, что в Gp /е достижи­ ма из £, и писать, что

шин xj, хк достижима из другой, то будем пользоваться обозначе­ нием

Докажем две леммы.

Лемма 1. Граф G' сильно связан тогда и только тогда, когда все его вершины лежат на одном контуре.

Правильность прямого утверждения очевидна: любые две вер­ шины контура достижимы одна из другой.

Обратно, пусть \G' — сильно связный граф, например, сильно связная компонента некоторого графа G. Тогда существует контур, проходящий через все вершины G'. Действительно, пусть а и b — две вершины G'. В силу сильной связности в G' существуют пути а(а,..., Ь) и а). Следовательно, и объединение этих путей — контур afi(a,..., b,..., а), проходящий через а и Ь.

Если в G' имеется вершина с, через которую не проходит контур сф, то в G' существуют пути у (а,..., с) н 6 (с,..., а). Следовательно, и контур афуб проходит через а, Ь, с и т. д. Путем таких последова­ тельных дополнений после конечного числа шагов получим контур, проходящий через все вершины графа G'.

С л е д с т в и е . Каждая отдельная вершина графа G" является сильно связной компонентой тогда и только тогда, когда G" не содержит контуров.

Лемма 2. Пусть из графа G= G0 путем повторного применения операции стятивания контуров получена последовательность гра­

60

фов: Gi,..., Gp>... и пусть = { 1 я} — множество индексов назва­ ний вершин этих графов. В каждом из этих графов множество со­ отношений (5) и (6) для элементов множества одно и то же.

Действительно, рассмотрим переход от G к Gt. Пусть в |G i< z k . Это значит, что в G существует путь из х, в х/4. Если этот путь не проходит через вершины стягиваемого контура у, то он остается без 'изменений и i < k также и в Gi. Если же указанный путь прохо­ дит через хотя бы одну вершину Xj контура у, то как в IG, так и в G1 мы имеем i < . j < . k и i < k также и в Gi.

Аналогичным путем устанавливается сохранение всех соотноше­ ний (5) при сравнении Gt и G, а также lGp и Gp+1 в обоих направ­ лениях. Так как каждое соотношение (6) эквивалентно двум соот­ ношениям (5), то сохраняются и все соотношения (6).

Если исследуемый граф G сильно связный, тогда iG будет со­ стоять только из одной вершины. В общем случае, когда граф G не

сильно связный, G будет содержать несколько вершин. Естественно предположить, что в последнем случае iG не разлагается на два не связанных между собой подграфа. В таком случае любая вершина

G будет иметь, по крайней мере, одну входящую или исходящую

дугу. Целесообразно разделить все вершины G на три типа: 1) исходные, имеющие только исходящие дуги; 2) промежуточные, имеющие дуги обоих видов;

3) стационарные, имеющие только входящие дуги.

Такие же названия мы дадим и соответствующим компонентам графа G. В качестве примера приводим на рис. 4.2 граф G для графа, представленного на рис. 4.1. Вершина 6 на рис. 4.2 — исход­

2. В рассматриваемом графе IGp берем непомеченную вершину г'ь любую из непомеченных вершин A'i в качестве и'2, г3 6А 2 и т. д. После конечного числа шагов переходим к этапу За или 36.

За. Для рассматриваемой вершины х,- все вершины Ас,- помече­

61

ны. У вершины Xi ставим пометку «п» с очередным номером. По­

is,—, in) — контур с непомеченными вершинами.

Пусть / = {4,..., is...\ — объединение множеств индексов вершин этого контура. Стягиваем контур в новую вершину x j , получаем граф Gp+u Для него строим матрицу Rp+i: в Rp отбрасываем все строки и столбцы, соответствующие вершинам, стянутым в X j, а для последней вершины вводим новый столбец и строку с элементами

уменьшается, то после конечного числа шагов все вершины будут помечены. Полученный граф Gs с помеченными вершинами и есть

искомый граф G. Действительно, Gs не содержит контуров; контур в любом графе Gp состоит только из непомеченных вершин, так как ни одна из вершин контура не может быть помечена первой. В силу следствия леммы 1 каждая вершина Gs — сильно связная компонента; соотношение (6) имеет место только для индексов, со­ ответствующих одной и той же вершине Gs. Так как в силу леммы 2 система соотношений (6) та же для Gs и G, то каждой вершине Gs соответствует по одной компоненте графа G. Нетрудно видеть, что

в графе G= GS вершины с пометками «и», «п» и «с» являются, соот­ ветственно, исходными, промежуточными и стационарными.

Если граф G легко обозрим, то вопрос о достижимости одних индексов из других решается непосредственно. В противном случае можно использовать матрицу T = R S + E, где Е — единичная матри­ ца. Логическим умножением и сложением возводим Т в степень до первого такого показателя а, для которого 7’“+1= Г а . В получен­ ной матрице элемент tjL—\ тогда и только тогда, когда любой из индексов 1(ЦЬ достижим из любого индекса £6/.

Граф G= GS с помеченными вершинами позволяет найти нумера­ цию вершин G, при которой матрица А приобретает сравнительно простой канонический вид. Начинаем с подходящей нумерации

вершин G. Вершины с пометками «и» в числе k получают номера: 1, 2.... k в произвольном порядке. Можно, например, сохранить по­

рядок, полученный при построении G. Вершины с пометками «п» в числе I получают следующие номера: £ + 1,..., k + l, причем очеред­ ной текущий номер присваивается только такой вершине у, для ко­ торой уже получили номера все предшествующие вершины х (т. е. такие, для которых существует дуга (х, у ) ). В силу отсутствия кон­ туров в G такая нумерация всегда возможна. Наконец, вершины с пометками «с» в числе пг получают номера: k + l+ \ r...r k + 1+tn в произвольном порядке.

62

При описанном способе нумерации любая дуга в G идет от вер­ шины с меньшим номером к вершине с большим номером. Верши­ нам графа G, количество которых п, присваиваются номера 1,..., п при соблюдении очередности компонент, установленной нумерацией

соответствующих вершин G, а внутри каждой компоненты — в про­ извольном порядке. При такой нумерации матрица

где В, С, D — квадратные неразложимые блочные матрицы; 0 — нулевые матрицы; б — матрицы, различные в общем случае, кото­ рые могут быть как нулевыми, так и содержать ненулевые элемен­ ты. Однако в каждом блочном столбце и блочной строке, где фигу­ рируют матрицы типа б, хотя бы одна из них не нулевая. В графе

G каждой ненулевой матрице б соответствует дуга и наоборот.

Из вида матрицы (7) непосредственно следует, что характерис­ тический полином матрицы А можно представить произведением характеристических полиномов для всех матриц В, С и D.

3. Теорема о связи главных миноров матрицы А с множеством корневых лесов

Установим одно свойство главных миноров матрицы:

*¥=/

лениях. Для его формулировки рассмотрим граф G с множеством N —{ 1,..., п} индексов вершин, представляющий матрицу А описан­ ным в п. 2 способом. Введем понятие корневого леса.

Пусть / — некоторое истинное подмножество N, а X j — множе­ ство вершин графа G с индексом из /. Корневым лесом множест­ ва J (или Xj) будем называть любой частичный подграф G' графа G, т. е. некоторое подмножество дуг и их вершин графа G, имеющее следующие свойства:

1)из каждой 'вершины х EXj исходит точно одна дуга Gr\

2)любая дуга графа G' имеет начальной вершиной некоторую вершину из Xj;

3)G' не содержит контуров.

63

снизу отметки указывают множители, соответствующие корневым лесам рнс. 4.3п и б.

Для доказательства теоремы можно без ограничения общности

Если вычислить значение M без приведения подобных членов, то получим сумму произведений с коэффициентами +1 и — 1. Каж­ дое из этих произведений содержит g множителей, взятых по одно­ му из каждого столбца. Система дуг, соответствующая множеству таких множителей одного слагаемого, удовлетворяет двум первым условиям для корневого леса: из каждой вершины множества Xj исходит одна дуга, каждая дуга имеет начальную вершину в Xj. Третье условие может быть выполненным-— тогда мы имеем дело с корневым лесом, или же невыполненным — тогда все (или неко­ торые) из дуг образуют контур. Для доказательства теоремы уста­ новим, что:

1) произведения типа Р, являющиеся весами корневых лесов, появляются в значении М точно один раз с коэффициентом + 1;

2) произведения типа R, соотве;тст1в'ующие системе дуг -с конту­ ром, исчезают шасле приведения подобных членов.

Рассмотрим вес Р определенного корневого леса множества J. Число появлений и коэффициенты Р в значении М не изменятся, если мы аннулируем все ац, не входящие множителями в Р. Такое

преобразование переводит М в некоторый определитель М. Пока­

жем, что Р = М. Для этого применяем индукцию. Если порядок М равен 1, утверждение очевидно. Пусть оно правильно для мино­ ров порядка k и пусть рассматриваемый вес Р имеет (/е+1) мно­ житель.

Всякий корневой лес содержит не менее одной дуги, конечная вершина которой лежит вне Xj. Пусть (7, j) такая дуга. Множитель

тель, полученный из М отбрасыванием i-ro столбца и строки, т. е. порядка к; множество номеров столбцов этого определителя — это J, за исключением г. С другой стороны, нетрудно видеть, что мно­ жителям произведения Р' — Pja^ соответствует корневой лес данно­

/г-столбцах его аннулируем все ац, не входящие в Ri, и вычислим значение преобразованного определителя, который в блочной запи­ си имеет вид:

Значение этого определителя равно произведению значений оп­ ределителя D и определителя, стоящего в левом верхнем углу, т. е. нулю, так как сумма строк последнего определителя — нулевая строка. Следовательно, все слагаемые в выражении минора М, содержащие множитель Ri, аннулируются после приведения подоб­ ных членов. Теорема доказана.

Ценность установленной теоремы в ее -следствиях, некоторые из которых мы укажем. Для численных же расчетов значительно бо­ лее удобной является некоторая модификация алгоритма Гаусса, которая будет указана в § 4.3.

Пусть матрица А приведена к виду (7). Так как матрица В отличается от А только знаками всех ненулевых элементов, то зна­ чения миноров А и В будут либо совпадать, либо отличаться зна­ ком (при нечетных порядках). В силу определения из любой вер­ шины исходной или промежуточной компоненты достижима хотя бы одна вершина стационарной компоненты. Следовательно, для каждой компоненты одного из двух первых видов существует кор­ невой лес и в (7) матрицы Bi,..., Ви, С),..., С; — все неособенные. Напротив, все матрицы Di,..., Dm — особенные, так как из вершин любой стационарной компоненты недостижима ни одна вершина вне этой компоненты. Поэтому также и каждому множеству Xj, содержащему все вершины некоторой стационарной компоненты,

66

соответствует главный минор с нулевым значением. Однако если из стационарной компоненты исключить хотя бы одну вершину, то остается множество с корневыми лесами. Поэтому ранг любой из матриц Di,..., Dm в точности на единицу меньше ее порядка. Если порядок А равен п, то ранг равен п—т, так как для получения мно­ жества с корневым лесом из множества X всех вершин необходимо исключить хотя бы одну вершину из каждой стационарной компо­ ненты.

4.2.ИЗУЧЕНИЕ МАТРИЦЫ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ ПЕРЕХОДА

1.Вычисление переходных вероятностей

Впределах этого раздела / — множество индексов тех состоя­ ний Si, для которых заданы начальные значения /?,•(0 )> 0 , и Н —

жим хотя бы из одного t'6 /.

Как известно, если элементы матрицы А постоянные или являют­ ся функциями от t, подчиненными определенным условиям регу­ лярности (которые удовлетворены в большинстве приложений),

Коэффициенты правой части (12) получаются подстановкой /=0 в (11) и в уравнения, которые дает дифференцирование (11). Если А не зависит от t, то (12) можно написать в виде

я (о =

1=0

Указанные разложения можно использовать, например, для чис­ ленного расчета величин р,(7) при достаточно малых />0. В дан­ ном случае целесообразно привести А к виду (7), так как этот вид сохраняется и при возведении А в степень и при дифференцирова­ нии А. Если не все / достижимы из /, то некоторое упрощение рас­ четов можно получить на основе следующей теоремы.

Теорема 4.2. 1. Пусть v — наименьшая степень, такая, что

xj 6PV Н. Тогда

р,- (f) = a v tv + «v-н ^v+1 + . . ., av > 0.

2. Если индекс k недостижим из I, то ph(t) = 0.

Действительно, тири v = 0 имеем Г°Н = Н, и первая часть теоремы

при /= 0 первое слагаемое правой части равно нулю, а в числе ос­ тальных неотрицательных слагаемых хотя бы одно строго положи­

следовательно, все производные величин #г- неотрицательные, т. ё. эти величины не убывают с возрастанием /. Но тогда свойство неот­ рицательности всех q-} и их производных сохраняется для всех

Следовательно,

<7/(0 > 9/(°)

для всех j, в частности выполняется (14).

Выберем момент /i>0, для которого имеет место следствие тео­ ремы 4.2, в качестве нового начального времени для применения теоремы 4.3. Получаем следующее следствие.

С л е д с т в и е . Для всех /, достижимых из 1,

Р/ (0 > 0

для любого конечного />0; P j ( t ) может аннулироваться только при /->-оо.

Оценка типа (14) соответствует некоторому усеченному про­ цессу. Можно ожидать, что другие модификации исходного процес­

68.

са могут дать другие, более точные оценки, как это имеет место для процессов размножения и гибели.

Точные решения (11) или системы (3) можно получить, приме­ няя преобразование Лапласа или используя фундаментальную си­ стему решений. Собственные значения матрицы А, т. е. решения уравнения

Det {sE — А) = О

со скалярной неизвестной s, используемые при указанных приемах, сохраняют некоторые из свойств, которые они имели в случае про­ цесса размножения и гибели. Имеет место теорема Адамара

(Пароди [115]).

Теорема 4.4. Матрица А имеет всегда собственное значение 5 = 0, которому соответствуют линейные элементарные делители, ес­ ли это значение кратное. Все другие собственные значения принад­

Из последнего утверждения теоремы следует, что для всех не­ нулевых собственных значений имеет место

— 2тах cti < Re (s) < 0. i

В силу теоремы 4.4 при любых начальных условиях любое из Pi(t) можно представить в виде

P iV )= P i+

к

где Pi — постоянные; Su — пробегает все множество ненулевых собственных значений; fih(t) — полиномы от t, степень которых не ■превышает кратности Sh, уменьшенной на единицу. В силу отри­ цательности действительных частей 'всех Sk^O для всех i

lim Pi {t) = ph t-*со

где Pi — так называемые предельные (или стационарные) вероят­ ности исследуемой системы. Эти вероятности представляют особый интерес, поэтому переходим к их исследованию и расчету.

2.Свойства стационарных вероятностей с учетом классификации состояний

Стационарными вероятностями будем называть любую систе­ му неотрицательных постоянных рь удовлетворяющих условию нор­

мировки 2 p i= 1 и системе (3), которую запишем в виде i

69