книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

или, введя новые обозначения для множителей в квадратных скоб­ ках,

i=a

где множители Ri не зависят от /г, и положительные.

Рис. 9.7. Среднее квадра­ тическое отклонение оценки вероятности потерь трехли­ нейной схемы (рнс. 9.J2 в

единицу времени: V D — при моделировании по вре­

мени; Ол(А) — при со­ четании моделирования с расчетами по ф-лс (15)

Минимизацию (16) проведем методом неопределенных множи­ телей Лагранжа. Составим вспомогательную функцию

т

Подставляя (20) в (16), находим минимум главного члена средне­ го значения дисперсии при данном суммарном числе наблюдений:

V—1

2-2/ = "

5.Численный пример. Преимущества метода

Пр и м е р 5. На конкретном примере рассмотрим выигрыш, получаемый применением излагаемого метода уменьшения диспер­ сии оценки вероятности потерь по сравнению с «чистым» модели­ рованием. Возьмем 10-линейную неполнодоступную схему с до­

(1)при двух методах распределения наблюдений по состояниям:

1)равномерном, t i i = N / ( v —d) и 2) оптимальном согласно (20).

Результаты сравнения приведены на рис. 9.9. Кривые для оце­ нок яс и ям взяты из [155]. Для двух значений Л = 4 и 10 соот­ ветствующие значения приведены в табл. 9.4.

171

Т А Б Л И Ц А 9. 4

Л = 10. Если вместо оценки пщ взять менее эффективную оценку по

шается в два раза, если вместо оптимального деления пользоваться равномерным делением (ср. dpam-i с donTj-

Таким образом, рассмотренный пример показывает, что соче­ тание результатов моделирования с расчетами по формуле БЛБ может дать многократную (в 5— 10 раз) экономию машинного вре­ мени по сравнению с наиболее точными методами «чистого» моде­ лирования (сравниваем d0UT с did). При использовании менее точ­ ных методов моделирования, например оценок по времени л,-, выиг­ рыш еще больше — в несколько десятков раз.

9.2.УМЕНЬШЕНИЕ ДИСПЕРСИИ СГЛАЖИВАНИЕМ ОЦЕНОК УСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПОТЕРЬ

Дисперсию оценки вероятности потерь по формуле БЛБ мож­ но еще дополнительно уменьшить на основе априорной информа­ ции о возможной функциональной зависимости в системе {yd, Yd+i,..., уи—1} - Численные данные, полученные при изучении конкрет­ ных систем (см., например, табл. 9.1), показывают, что {у,} хоро­ шо аппроксимируются параболой. На рис. 9.8 дан пример, под­

Приводим вычислительную схему сглаживания исходных оценок

л

у,-. Они являются оценками неизвестной вероятности в схеме Бер­ нулли и взаимно независимы. Берем полином

на основе выборки уа,--, уи-ь например, методом наименьших квад­ ратов. Тогда в качестве новых оценок условных вероятностей по-

имеют меньшую дисперсию, чем исходные оценки уг-, что и оправды­ вает проведение сравнительно громоздких расчетов по сглажива­

172

нию. Такое сглаживание можно сделать и не по всему массиву {Yi} сразу, а кусками, например, параболой по пяти точкам после­ довательно. При этом окончательный расчет дисперсии оценки ве­ роятности потерь я (Л) по формуле БЛБ также усложняется, по­

тому что вместо взаимно независимых величин угимеем векторную

случайную величину {y<i,-~, г/«-1}, подчиняющуюся нетривиальному многомерному нормальному распределению. Соответствующие фор­ мулы расчета дисперсии по методу переноса ошибок имеются в ру­ ководствах по математической статистике, например, (146] и' в об­ щем виде здесь не приводятся. Рассмотрим только частный случай.

Пусть дана 5-линейная НС с d = 2. Тогда имеем нетривиальные значения у2. уз- У'- а уо = уi= 0, у& = 1 - Берем параболу

По данным значениям у2, уз, y.i находим оценку а по методу наи­ меньших квадратов. Минимизируем сумму

/л л /— 1 \2

173

согласно выражению дисперсии биномиального распределения,

\

tij — число наблюдений. Дисперсию Да находим с помощью фор­ мулы Д^а^+ТмЦ-с) = а2Д£ + й2Дг|, где £, т]— случайные величины; а, Ь, с — константы. Применяя ее к (27), имеем

лл

=п(уа,-~, г/r-i, Л ). На основе формулы переноса ошибок [136, 146]

И-1В-1

и U ду/ л = д ду/ Д=у/

i= j = d

АA

где cov(tji, yj) указывает, что вместо взаимно независимой системы {у,-} мы пользуемся зависимыми величинами

Согласно (25)

Подставляя (32) и (33), имеем окончательное выражение диспер­ сии оценки вероятности потерь:

четы очень громоздкие. Это особенно относится к случаю, когда у,- сглаживаются кусками, как это обычно делается при сглаживании экспериментальных данных.

На практике более ценным приемом увеличения точности, чем только что изложенное полиномиальное сглаживание, является ин­ терполяция отдельных значений условных вероятностей у, по сосед­ ним значениям, т. е. отдельные у,- не оцениваются, а вычисляются

174

л

уменьшается число оцениваемых величин. Оценку дисперсии Dя можно получить по формулам, подобным (34).

На примере yo=yi = 0; у2=0,1; уз= 0,3; у4=0,6; у5= 1; v = 5 в точ-

л

ке Л = 3 проведен расчет Dn при условии моделирования значения у2 и интерполяции значений уз и у4- Расчет показал, что экономится 26% выборки. Подтверждение этого утверждения на «больших» примерах требует дальнейших исследований.

9.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНОЭЛЕКТРОННОЙ АМТС

1. Простые формулы, учитывающие результаты моделирования

Рассмотрим инженерный пример сочетания результатов моде­ лирования с расчетами по формулам. Методом статистического моделирования, как известно, трудно получить точные выводы в редко встречающихся ситуациях. Подобного рода эффекты наблю­ даются в работе механоэлектронной АМТС-4, в которой управляю­ щее устройство (маркер и пересчетчики) является электронным и работает быстрее основной коммутационной части станции, выпол­ ненной на многократных координатных соединителях МКС. Это приводит к тому, что часть коммутационной схемы, занятой уста­ новлением очередного соединения, недоступна вызову, непосредст­ венно следующему за обслуживаемым вызовом1). Такое ограни­ чение доступности длится всего 20—40 мс, в то время как само за­

‘) Если в УУ есть память, отображающая состояние коммутационной систе­ мы, то. это не так, потому что поиск свободного пути можно вести без опроса состояния системы.

175

лена методом статистического моделирования. Это значит, что из­ вестна вероятность потерь по направлениям, на обходных путях и других видов в зависимости от величины нагрузки и конструктив­ ных параметров (числа блоков по каскадам, числа промежуточных 'линии в т. д.). На рис. 9.10 условно изображены управляющие устройства: маркер, пересчетчик и запоминающие устройства (ЗУ). Рассматриваемая задача состоит в учете длительности работы ЗУ при расчете вероятности потерь. На рис. 9.11 изображена времен-

Рис. 9.11. Временная диаграмма управляющей части АМТС

ная диаграмма работы отдельных устройств, основная особенность которых заключается в том, что длительность работы ЗУ превосхо­ дит длительность работы маркера и пересчетчика. В свою очередь, это меняет доступность системы (число блоков, доступных очеред­ ному вызову). Из диаграммы видно, что число блоков в каждом каскаде для отдельных интервалов .времени может уменьшиться на один или даже на два блока. Согласно предположению даны сле­ дующие вероятности потерь вызова:

1—qo•— Для полностью свободных ЗУ;

1—q1— для случая, когда в каждом каскаде занято по одному ЗУ;

какое-то приближенное описание потока, который в действительно­ сти образуется в системе регистров сложным образом из вновь по­

176

ре допускаются ожидания поступающих вызовов, рассмотрим си­ стему с потерями и предположим, что поток определяется биноми­ альным законом: с вероятностью а за интервал At поступает вызов (и только один вызов), а с вероятностью 1—а вызов отсутствует.

Перейдем к построению пространства состояний марковской це­ пи, представляющей собой математическую модель телефонной станции АМТС-4. На рис. 9.12 условно -изображены состояния и их

обозначения. Каждое состояние характеризуется числом занятых

свободная система или система с одним занятым ЗУ, занятие кото­ рого уже длилось две единицы времени (к следующему моменту времени ЗУ будет свободным). Состоянию 1 соответствует состоя­ ние с одним занятым ЗУ, занятие которого только началось, или состояние с двумя занятыми ЗУ, -одно из которых только что заня­ лось, а занятие второго длится две единицы времени. Подобный смысл имеют и два других состояния.

На рис. 9.13 приведена диаграмма состояний с -соответствую­ щими вероятностями перехода за рассматриваемый единичный ин­ тервал времени At. Проиллюстрируем ход построения диаграммы на примере вероятности перехода <7оо=1—сс + а(1—qo) (обозначе­ ние на стрелке, исходящей из состояния 0 и возвращающейся в то

'177

б) вызов поступил (с вероятностью а) и потерян (с вероятно­ стью 1—qQ) , вероятность чего .равна а(1—q0).

Так как вероятность суммы этих двух несовместимых событий равна сумме вероятностей, то получаем, что требовалось.

Согласно рис. 9.11 состоянию 0 соответствуют две конфигу­ рации системы: система свободна или одно ЗУ занято уже две еди­ ницы времени. Так как к следующему моменту времени (через At)

вобоих случаях система будет свободна, то вероятности перехода

вобоих случаях одни и те же. Подобным образом выводятся ос­ тальные вероятности перехода. Используя данные, приведенные на диаграмме рис. 9.13, и применяя обычную методику составления уравнений стационарных вероятностей марковской цепи, подробно рассмотренную в гл. 1, получаем систему

Формула (38) может дать несколько заниженные значения по­ терь, так как при ее выводе не учитывается группировка вызовов в пачки в потоке вызовов, т. е. образование очереди на регистрах. Для учета этого явления следует рассматривать более сложную марковскую цепь, например, вместо а можно брать а0 — вероят­ ность поступления вызова при условии отсутствия вызова за пре­ дыдущий интервал A<t и щ — вероятность поступления вызова при условии поступления вызова за предыдущий At. Это увеличивает число состояний марковской цепи в два раза.

2. Модель, учитывающая ожидания на регистрах

Рассмотрим другую модель, более адекватную действию АМТС, которая, кроме учета возможностей блокировки части ком­ мутационной схемы из-за различий в скорости работы элементов

178

коммутационной и управляющей частей станции, учитывает также явления ожидания на регистрах. Как и выше, будем предполагать, что маркер не обладает памятью, отображающей состояние ком­ мутационной схемы, что приводит к случайно меняющейся доступ­ ности из-за различий в скорости срабатывания элементов. Упро­ щающим является предположение, что длительности занятий раз­ личных частей станции распределяются экспоненциально (в отли­ чие от предыдущей модели, где длительность занятия предпола­ галась постоянной), а потоки вызовов пуассоновские. Остальные предположения следующие:

1.Блок регистров представляет собой и-линейную полнодоступ­ ную систему с потерями, обслуживающую поток интенсивности Я, интенсивность обслуживания а. После окончания обслуживания вызова на каком-то регистре (т. е. после приема номера) этот ре­ гистр выступает в качестве места ожидания до установления сое­ динения между входом и выходом или до потери вызова. Вероят­ ность потери на регистрах обозначим пр.

2.На маркер, как на однолинейную систему с ожиданием, пос­ тупает поток вызовов, обслуженных в блоке регистров. Предполо­ жим, что этот поток является пуассоновским, что приблизительно верно при малых потерях в блоке регистров. Интенсивность обслу­ живания в маркере (т. е. поиска свободного пути) равна р, дли­ тельность ожидания обозначим wm.

3.Коммутационная система состоит из п блоков. Маркер вы­

бирает свободный путь в одном из доступных ему блоков и пере­ дает команду в ЗУ Hg установление соединения, если свободный

Рис. 9.14. Графики ве­ роятностей потерь р.

дом моделирования или вычислены по приближенным формулам расчета звеньевых включений. Длительность занятия ЗУ подчи­ няется экспоненциальному закону с параметром у.

Переходим к выводу формулы для я—вероятности потерь вызо­ ва на станции в целом. Интенсивность потока на маркер

а так как маркер представляет однолинейную систему, то среднее время ожидания на нем согласно (2.10)

(40)

1 - W P

179