книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

'эффнцие1Нтов аси'М|Птоти'чежого |ра13лож-0ИИ|Я при >-оо может при­ дать принципам построения равномерных схем более конструктив­ ный вид, хотя ето мюисет шрюизойти з-а счет утраты их (нагладнос-ти, наподобие тому, как вместо принципа 3 в теореме 5.4 пришлось перейти к модифицированному принципу 3'. По поводу принципа 3 можно лишь заметить, что при больших г (34) мало отличается от (33). Полученные выше доказательства принципов 1, 2, 3 и 3' осно­ ваны на первых четырех членах разложения (32).

Использование следующих членов для получения новых прин­ ципов выбора оптимальных НС затруднительно из-за их громозд­ кости. Кроме того, для доказательства принципа 4 в случае, когда nd делится на v, первых пяти членов разложения недостаточно; для схем, приведенных в табл. 5.10, совпадают не только первые четы-

ре, но и пятые члены разложения (32), а сами результаты таблицы подтверждают целесообразность соблюдения принципа 4 при Х-*-оо.

Получение полного доказательства теоремы 5.1 (доказательство принципов построения оптимальных НС при Х-Я)) остается пока что нерешенной задачей.

5.4. ИНЖЕНЕРНЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПОСТРОЕНИЯ РАВНОМЕРНЫХ СХЕМ

Задача построения равномерных схем является очень труд­ ной, так как методика построения равномерных схем недостаточно разработана. Ниже приводятся несколько методических приемов, которые упрощают построение равномерных схем. При некоторых значениях параметров п, d, о эти приемы дают решение задачи, но в основном получается лишь приближенно равномерная схема. Ос­ новной рекомендуемый прием — это составление НС из «красивых» подсхем, названных нами цилиндрами, и сведение конструируемых равномерных схем к схемам, близким к «красивым».

110

точно рассмотреть связь одной отдельной группы со всеми осталь­ ными группами, чтобы установить, имеет ли эта группа одинаковое число общих линий со всякой группой. Так, в схемах, приведенных на рис. 5.6, галочками отмечено число общих линий 'первой груп­ пы с остальными шестью группами в двух различных цилиндрах с

В этой записи числа :по порядку выражают общее число общих линий первой группы со второй, третьей, . •., л-й группой (ib на­ шем случае п = 7).

«Красивые» схемы. «Красивой» схемой назовем НС, составлен­ ную из нескольких цилиндров. «Красивая» схема при учете прин­

ны быть целыми числами, т. е. число контактных множеств по г и г+1 контакту кратны числу групп п.

Грубую оценку качества «красивой» схемы можно получить сум­ мированием характеристик цилиндров доступности г с коэффициен­ том 1//', а характеристик цилиндров доступности г+1 с коэффи­ циентом 1 / (г+ ‘1) .

Произвольные схемы. Для большинства наборов параметров п, d, v условия «красивой» схемы не выполняются. Для таких наборов параметров рекомендуем два подхода построения схемы:

1) строится «красивая» схема с числом линий v', близким к данному числу линий v. Параметры с! и ft не меняются. Затем по­ строенная «красивая» схема изменяется по возможности наиболее равномерно по всем группам так, чтобы число линий стало равным заданному числу t>;

2) когда вне цилиндров остаются целые вертикали контактов, тогда выгоднее поступать следующим образом. Строится макси­ мальное число цилиндров, в сумме дающих некоторую «красивую»

112

схему, а в остальных вертикалях контактные множества образуют так, чтобы суммарная характеристика всей схемы была по возмож­ ности лучше.

Качество «некрасивой» схемы нельзя оценить одной только сум­ марной характеристикой, так как эта характеристика описы­ вает связи разных групп с одной определенной группой. Поскольку «некрасивые» схемы обычно несимметричные, то для описания свя­ зей в схеме необходимо записать целую матрицу, так называемую таблицу корреляции.

Для того чтобы построенная схема удовлетворяла принципу 4 {см. § 5.1.2), остается только передвинуть контактные множества по вертикалям.

Замечания и литературные ссылки

Настоящая глава представляет собой переработанный и до­ полненный вариант гл. 5 книги Башарина, Харкевича, Шнепса {18]. Дополнения заключаются в численных примерах (§5.1) и в более подробном изложении теорем об оптимальных НС в § 5.3. Они за­ имствованы из статей Седола {127— 129] и Ионина и Седола {65, 66]. Заметим, что в работе Седола {128] содержится также пятый член разложения по степеням А,-1 (коэффициент при А,-4), однако, он, к сожалению, не дает новых сведений о принципах построения НС. Там же показано, что идеально симметричные схемы являются оп­ тимальными при Я.—>-оо, т. е. имеют меньшую вероятность потерь,

•чем любая другая НС с теми же параметрами v и cl.

При изложении методики асимптотического разложения в § 5.2 мы следуем работе Бенеша [24]. Можно отметить, что Бенеш рас­ сматривает также разложения в окрестности произвольных Я,>0 (.ДЛЯ |Гm in |< А ,< |f m a x |) по степеням е и дает комбинаторные фор­ мулы вычисления коэффициентов разложения. Возможно, что на основе этого можно провести качественное исследование НС при конечных нагрузках.

В последнее время стали применять асимптотические разложе­ ния к исследованию различных систем массового обслуживания. Например, Коваленко [73, 74], Ивницкий {58, 59] таким образом ре­ шали задачи теории надежности.

Наконец, несколько слов о принципах выбора оптимальных схем. Независимо от теоретического исследования, по мере накоп­ ления результатов наблюдений и моделирования НС на машинах искусственного трафика, инженеры пришли к выводу о целесооб­ разности широкого использования равномерных схем вместо сту­ пенчатых схем. Первые публикации об этом относятся к началу 60-х годов (Хельме и Кунтце {221], Вендт {297]). В .настоящее время ■считается общепринятым, что равномерные схемы лучше при боль­ ших нагрузках. Хотя относительно типа оптимальных НС при сред­ них нагрузках пока что не существует единого мнения, руководство Зллдина и Линда [158] рекомендует повсеместно применять равно­ мерные схемы.

113

практике в Швеции [158], ФРГ [225].

Сделаем несколько замечаний относительно методов вычисле­ ния потерь в НС. В настоящей главе мы ограничивалисьточными вычислениями, что можно проделать только для простых схем, по­ чти неиспользуемых в современных АТС. При расчетах сложных схем обычно применяют приближенные формулы и числовые таб­ лицы. Такие приближенные формулы приводятся во всех учебниках по теории телетрафика [96, 156, 158]. Наиболее современной при­ ближенной формулой считается модифицированная формула Паль­ ма—Якобеуса, предложенная Лотце [156] с поправками к ней, учи­ тывающими тип НС [225]. В § 2.1.4 приведена одна такого рода при­ ближенная формула — формула Эрланга для идеально симметрич­ ных НС.

В теории телетрафика до сих пор считается (см., например, Герцог с соавт. [225]), что данная формула дает оценку вероятности потерь снизу, т. е. оценка вероятности потерь для любых НС полу­ чается заниженной. Однако, как следует из теории настоящей гла­ вы, это неверно, ибо при А,-»-0 оптимальная НС должна содержать максимальное число индивидуальных линий (см. теорему 5.1). С целью иллюстрации указанного положения приведем численные примеры.

Наиболее известный пример такого рода заключается в срав­

Отсюда можно выдвинуть другую гипотезу, а именно, что фор­ мула Эрланга для идеально симметричных НС хорошо описывает потери в равномерных схемах. В подтверждение этой гипотезы рассмотрим две равномерные НС. В табл. 5.11 приведены резуль­

114

Проблема повторных вызовов

Все инженерные расчеты телефонных систем в настоящее время основаны на формуле Эрланга для полнодоступного пучка с поте­

рями или на разных ее модификациях для неполнодоступных, мно­ гокаскадных и других систем, в основу которых положено предпо­ ложение, что потерянный вызов не влияет па ход будущих событий. Однако на практике дело обстоит не так. Потерянный вызов в большинстве случаев приводит к повторным вызовам, что сильно^ искажает картину занятости системы связи.

Классическая проблема теории телетрафика — проблема по­ вторных вызовов, известная еще со времени Эрланга, получила ре­ шение (по крайней мере, частичное) только в последнее время. В § 6.1 дано обсуждение этой проблемы, а в § 6.2 приведено реше­ ние ее для полнодоступного пучка линий. В § 6.3 приведены про­ стые формулы приближенного вычисления влияния повторных вы­ зовов (как на соединительные линии, так и на управляющие уст­ ройства) в сложной системе связи, которые могут быть использо­ ваны независимо от остального материала главы.

6.1. О ВЛИЯНИИ ПОВТОРНЫХ ВЫЗОВОВ НА СИСТЕМУ

связи

На рис. 6.1 приведена схема образования потока повторных вызовов в системе связи, заимствованная из руководства Эллдина и Линда (158].

Явление повторных вызовов сильно искажает картину занято­ сти системы связи. Оно представляет собой в некотором роде яв­ ление положительной обратной связи: случайное переполнение си­ стемы (потеря первичного вызова) вызывает увеличение интенсив­ ности потока вызовов (к потоку первичных вызовов добавляется поток повторных вызовов) 1)- Это особенно очевидно при учете мно­ гофазное™ установления соединения. Из-за повторных вызовов на-

‘) В истории телефонии известны случаи, когда какое-либо событие, инте­ ресующее многих (смерть популярного человека и т. и.), приводило к такому росту телефонной нагрузки, что связь полностью «парализовывалась».

116

чальные звенья системы связи нагружены больше последующих звеньев, и нагрузка выравнивается только из-за случайного сумми­ рования нагрузок различных направлений.

Наличие повторных вызовов очень важно учитывать при анали­ зе результатов измерений на сети и их использовании три проекти-

Отказы 30-50%

Рис. 6.1. Схема образования потока повторных вызовов

ровании. Расчет пучков линий по формуле Эрланга для систем с потерями порождает грубое несоответствие между проектными по­ казателями и практикой. Проиллюстрируем это утверждение при­ мером. Семейство кривых на рис. 6.2 .показывает, например, что'

ные изменения в зависимости от принятой модели поведения або­ нента, и пренебрежение явлением повторных вызовов дает сильнозавышенное значение поступающей нагрузки. Согласно таблицам (см. кривую £ю на рис. 6.2) она якобы равна 10 эрланг (точнее 9,68). Однако в действительности поступающая нагрузка значитель­ но меньше: при интенсивности потока повторных вызовов р.= -10 она равна 6 эрланг, при р = 30 — только 5,2 эрланг и стремится к нулюпри р,—>-оо. (Использование кривой Р >о обсуждается ниже.)

На основе подобных рассуждений можно показать, что пренеб­ режение наличием повторных вызовов занижает требуемое количе­ ство линий. Пусть при я = 0,2 требуется обслужить нагрузку, рав­ ную 5,1 эрланг. Тогда согласно таблицам Пальма требуется иметь

117

всего 6 линий, а при учете повторных вызовов — значительно боль- -ше, например, при интенсивности повторных попыток pi= 30 тре­ буется 10 линий. Эти примеры объясняют тот факт, что проектное значение вероятности потерь обычно превышается на практике (по результатам измерений на сети), и значение обслуженной нагруз­ ки при измерениях оказывается ниже запроектированной.

Исследованием поведения абонентов серьезно занялись только в последнее время, хотя проблема повторных вызовов известна еще

Интерес к проблеме повторных вызовов объясняется необходи­ мостью учета дополнительной нагрузки, создаваемой повторными вызовами. Особенно важно учесть их влияние на управляющие уст­ ройства, которые по мере централизации управления АТС и внед­ рения ЭВМ становятся особенно дорогими: при неудачной попытке -соединительные линии занимаются па короткое время, но создают полную нагрузку на управляющие устройства. Приведем данные 1Хейварда и Вилкинсона (фирма Белл, США) [220], которые пока­ зывают влияние поведения абонента на телефонную систему. Наи­ большую дополнительную нагрузку на управляющее устройство да­ ют фальстарты (например, похлопывание по рычагу). Хотя средняя длительность таких занятий всего несколько секунд и они совсем не занимают соединительных путей, но нагрузка их на управляю­ щие устройства может составить до 30%. Снятие телефонной труб­ ки без набора номера (или небрежно положенная трубка) приводит к занятию сигнальных проводов, что составляет до 10% общей на­ грузки. Такие занятия длятся часами и бывают причинами повтор­ ных вызовов из-за кажущейся занятости вызываемого абонента. Случаи неполного набора (из-за ошибок при наборе, замечаемых самим абонентом) составляют 5— 10% всех вызовов.

Усиленный интерес к проблеме повторных вызовов привел к ус­ пехам: на шестом конгрессе по телетрафику в Мюнхене было до­ ложено несколько независимых решений простейшей задачи по- 'вторных вызовов (Бретшнайдер [172], Ионии и Седол [65], Фидлин ‘[139], Шнепс—Шнеппе [285]), которая подробно рассматривается в следующем параграфе.

6.2.ПОЛНОДОСТУПНАЯ СИСТЕМА С ПОВТОРНЫМИ ВЫЗОВАМИ

1. Формулировка основной задачи

Сформулируем постановку задачи с повторными вызовами. Назозем ее основной задачей. На полнодоступный у-линейный пу­ чок поступают два потока: пуассоновский поток первичных вызовов ■интенсивности 7, и поток повторных вызовов от конечного числа

J18