книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

Заметим, что при p-voo полученные выражения совпадают с ха­ рактеристиками однолинейной системы с ожиданием. Действитель­ но, из § 2.1.3 имеем:

Для системы с повторными вызовами соответствующие характе­ ристики К и Т в (11) всегда больше Ki и Ti в — (х-- раз. При прак-

моделей достаточно близкое, так что множителем-----— можно пре-

небречь. Следовательно, расчет системы с повторными вызовами можно делать по формулам системы с ожиданием. Посмотрим, до­ пустима ли такая замена для оценок вероятности потерь по вызо­

J 20

вам. Из (6) и (11) находим среднее число повторных вызовов на; один первичный вызов

(14)

Получаем два выражения для вероятности потерь: 1) в системе с повторными вызовами

Так как А.С 1, то всегда Я1> я 2 и при А->-1 и/или р.-»-оо оба зна­ чения совпадают. На рис. 6.3а дана иллюстрация такого сравнения.. Забегая несколько вперед, укажем, что подобные соотношения меж­ ду Я1 и я2 наблюдаются для и > 1 (рис. 6.36).

3. Решение переходом к системе с ожиданием

Проведенное сравнение решения основной задачи в случаеоднолинейного пучка с тем, что получается при ее замене на систе­ му с ожиданием, подсказывает применимость такого подхода и, для произвольных V. Если в полнодоступном пучке с повторными вызовами даны: v — число линий; Л — обслуженная нагрузка;. 1/д — среднее расстояние между повторными попытками, то веро­ ятность потерь по вызовам я можно приближенно определять сле­ дующим образом. По данным v и X из таблицы для второй форму­ лы Эрланга (например, [184]) ищем соответствующее им среднеевремя ожидания Т и вычисляем

1+ 7>

121:

'.Если же даны Я, я и ц, то для нахождения v вычисляем из (18)

(19)

И (1 — я)

;и по данным Я и Т из таблиц находим соответствующее v.

На рис. 6.2 дан пример, иллюстрирующий поведение кривых ве­ роятности потерь по вызовам (18) для 10-лииейного пучка при разных р. На этом же рисунке приведена кривая первой формулы Эрланга Eio(k), которая показывает, что в случае повторных вызо- :вов бессмысленно применять указанную формулу для системы с потерями. Большую ошибку дает также замена вероятности потерь

.по вызовам на вероятность ожидания Р >0■Кривая Р>0 учитывает

Я

Рис. 6.4. Диаграммы для определения числа линии v при повторных вызовах по заданной вероятности потерь л в зависимости от интенсивности потока по­ вторных попыток

-только вероятность потери первичного вызова. На рис. 6.4 изобра­ жены вычисленные по ф-ле (19) кривые, по которым можно прово­ щить инженерный расчет необходимого числа линий v.

Мы привели этот приближенный метод решения системы с по­ вторными вызовами, основанный на переходе к системе с ожидани- -ем, в надежде, что такой подход может быть полезен при рассмот­ рении более сложных систем с повторными вызовами, чем полнодо- ■ступная. Сам по себе он имеет ограниченную ценность, так как ■сформулированную основную задачу можно решить численно. Со­ ответствующий алгоритм изложен ниже.

4.Переход к системе с конечным числом источников повторных вызовов. Алгоритм Ионина— Седола

Как уже было сказано, система (1) в общем виде не имеет

•простого аналитического решения. Однако для численных расчетов «ее можно несколько видоизменить, что не влияет на точность ре-

4122

зультатов, но .приводит к простым рекуррентным соотношениям. А: именно, можно предположить, что допускается не более п источни­ ков повторных вызовов, т. е. k^Zn, и первичный вызов, поступив­ ший в состоянии j — v, к = п, теряется (как в системе с потерями).

+ к р (v — 1, к), к = О, 1, • ■ •, /г — 1

vp (v, п) = к р (и, п — 1) + к р (и— 1, /г)

Уравнение, содержащее p(j, к) в левой части, назовем (j, /^-урав­ нением.

Система (20) допускает рекуррентный метод решения (Ионии ш Седол [65]):

1) полагаем р { 0, п) = 1 (это допустимо, нормировку сделаем* потом);

2)из уравнений (0, я), (1, /г),..., (v— 1, п) вычисляем последо­ вательно р( \, п ), р (2, /г),..., p(v, п)\

3)из (v, «^-уравнения находим p(v, п— 1);

9)полагаем р ( 0, я—2) = х и т. д.;

10)по окончании рекуррентных вычислений на основе норми­ рующего условия находим р ( 0, п) и истинные значения всех ос­ тальных p(j, к).

Уравнение (v, 0) остается .неиопользова1нным и может служить для контроля.

123J

.124

Как выбрать /г? Понятно, что при любом таборе параметров К, ji, v можно выбрать столь большое п, чтобы

^]£р(/, /гК е-

уменьшением вероятности потерь по формуле Эрланга при увели­ чении v и Л, так что сохраняется постоянной нагрузка на линию с = = K/v). Следовательно, при данных с и р достаточно выбрать п для однолинейной системы, тогда для с-линейной системы с тем же п результат всегда будет точнее.

5. Модификации основной задачи и числовые таблицы

Легко составить системы уравнений типа (1) для различных модификаций основной задачи:

1) учет эффекта «нетерпеливых клиентов», когда дан пара­ метр а — интенсивность ухода из очереди источников повторных вызовов;

2)другой эффект «нетерпеливых» клиентов, когда дана веро­ ятность потери первичного вызова сразу после поступления, если абонент застает все линии занятыми;

3)первичные вызовы создаются конечным числом абонентов. Все три модификации (и подобные им другие) численно решаются алгоритмом Ионина—Седова. Первая из этих модификаций дове­ дена до числовых таблиц (67]. Эти таблицы содержат следующие значения для полнодоступного пучка с повторными вызовами: ве­ роятность потерь первичных вызовов

А= 0

исреднее число повторных вызовов на один первичный вызов

из очереди MU; среднее число занятых линий J= X ( 1—MU)\ сред­ нее число источников повторных вызовов (занятых мест ожидания)

Я

К = М — ; среднее число вызовов в единицу времени L=>% (1+М);

И

среднее время ожидания М/р.

125

6.3.ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ ИЗ-ЗА ПОВТОРНЫХ ВЫЗОВОВ

Рассмотрим более сложные системы с повторными вызовами, чем полнодоступпая. Из-за сложности проблемы нам придется ог­ раничиться приближенным подходом.

В реальной системе связи каждый разговор, занимающий ком­ мутационный тракт на 2—3 мни, порождает случайное число по­ вторных попыток, каждая из которых длится несколько секунд и занимает весь коммутационный тракт или только часть его в зави­ симости от места потери. Влияние повторных попыток на результа­ ты измерений нагрузки зависит от того, какое определение вероят­ ности потерь взято за основу. Потерянная нагрузка состоит из от­ резков времени, которые соответствуют неудачным попыткам уста­ новления соединения. При этом вероятность потерь по нагрузке, рассматриваемая как отношение потерянной нагрузки по всей по­ ступившей нагрузке, может быть небольшой. В то же время вероят­ ность потерь по вызовам, рассматриваемая как отношение поте­ рянных вызовов к общему числу первичных и повторных вызовов, может быть в несколько раз больше. Смешение этих двух подходов приводит к'грубым просчетам в оценке пропускной способности си­ стемы. При этом важно также раздельно рассматривать нагрузку на линии и нагрузку на управляющие устройства. Покажем это на примере вычисления потерь в многозвеньевой системе связи.

1. Постановка задачи

Пусть дана система связи, состоящая из т звеньев, в которой вероятность потерь вызова на отдельном звене равна р и не зави­ сит от состояния (занятия линий) на остальных звеньях. Такое предположение приближенно выполняется для сложных систем свя­ зи. Наша задача ■— вычислить величину обслуженной и пропущен­ ной нагрузки на отдельном звене системы.

Для уточнения постановки данной задачи приведем ошибочные или, точнее, очень грубые рассуждения по поводу ее решения, ко­ торые иногда встречаются на практике. Рассуждают так. Если на­ грузка, обслуженная на последнем звене, должна быть равна, на­ пример, 100 эрланг, а вероятность потери на отдельном звене р —

Следовательно, обслуженная нагрузка равна 100 эрланг, а потерян­ ная соответственно — (2т— 1) -100 эрланг. Такое рассуждение за­ ведомо ошибочно. Главная ошибка в неточном использовании по­ нятия «нагрузка». Нагрузку мы выражаем в эрлангах, т. е. в часозанятиях, а выше, по существу, вычислялось среднее число вызо­ вов, поступивших за час.

Если нагрузка, обслуженная всей системой, равна 100 эрланг, то нагрузка, обслуженная первыми (т— 1) звеньями, не может быть

126

равна 200 эрланг, а намного меньше. Каждый потерянный вызов занимает соединительный путь на небольшое время (всего на не­ сколько секунд) по сравнению со средней длительностью разгово­ ра, которая равна 2—3 мин.

Если временем установления соединения пренебречь, то посту­ пающая нагрузка равна тем же 100 эрланг. Для более точного на­ хождения поступающей нагрузки следует учитывать время поиска свободного пути (время установления соединения). Кроме того, нужно учитывать поведение абонентов, создающих повторные вы­ зовы при потерянном вызове. Итак, найдем решение следующей за­ дачи.

Пусть т — число звеньев коммутационной системы; р — веро­

Рассмотрим события, которые связаны с одним поступившим вызовом. Вероятность потерн вызова на первом звене равна р, на втором звене р{ 1—р) и т. д. на тп-м звене равна р[ 1—p),n_1; ве­ роятность успешного прохождения всех т звеньев и предоставления свободного пути равна (1—р )т. (Легко проверить, что эти события

первое звено при каждом событии. Если вызов потерян на первом звене, то поступающая нагрузка равна ti (среднее время поиска пу­

Нагрузка, поступающая на последнее звено, отлична от нуля толь­ ко в том случае, если вызов не был потерян на первых т— 1 звень­ ях, и

ность этого события равна р( 1—p),n_1;

3) нагрузка равна нулю с дополнительной вероятностью /? + ...+ + р(1—р)™'-2.

127

Следовательно, средняя нагрузка, доходящая до т-го звена при поступлении одного вызова на первое звено, равна

Рис. 6.5. Отношение Уi — нагрузки, поступившей на I-е звено, и Ут — нагрузки, поступившей на ш-е звено

( т + 1)-е звено). Пропущенная нагрузка Ym+i определяется только длительностью разговора То. Так как вероятность того, что отдель­ ный вызов кончится разговором, равна (1—р )т, то из (23) следует

3. Вычисление нагрузки на управляющие устройства

Выражение (24) определяет нагрузку на коммутационное обо­ рудование. Часть этой нагрузки падает на управляющие устройст­ ва. Естественно, что при п-овторных вызовах нагрузка на УУ боль­ ше той нагрузки, которая была бы в .системе без повторных попы­ ток, и образуется она из отрезков занятия УУ для общего числа -вы­ зовов независимо от того, вызов является первичным или повтор­ ным.

Определим увеличение интенсивности потока вызовов в случае повторных вызовов. Вычислим среднее число повторных вызовов, порождаемых одним первичным вызовом. Вероятность установле­ ния соединения на всех звеньях s = (-l—р )т, а вероятность потери вызова (на каком-то из т звеньев) равна 1 — (1—р )т. Вероятность, что число повторных вызовов будет равным i, есть s ( l —s ) i. Следо­ вательно, среднее число повторных вызовов на один первичный вы­ зов равно

£=0

128

Суммарное число вызовов, порожденных одним первичным вы­

зовом, равно --— — из них один вызов является обслуженным, а

О—р)

остальные вызовы (25) ■— потерянные. Следовательно, отношение интенсивности суммарного потока вызовов к интенсивности первич­ ного потока вызовов равно

УУ растет значительно быстрее, чем на соединительные линии. Из рис. 6.5 и 6.6 видно, что при р='0,1 и т = 7 нагрузка на линии воз­ растает менее чем на 10%, а на УУ она удваивается.

4.Примеры расчета

Пр и м е р 1. Применим подход, изложенный выше, к изучению потока вызовов в междугородной системе связи, изображенной на

рис. 6.7. Рассмотрим поток вызовов от абонентов /1 к абонентам В.

Для получения соединения от А до В следует установить путь, со­

на этом звене равна р$\ она включает в себя вероятность того, что абонентский аппарат занят, вызываемый абонент временно отсут- 1 ствует и другие причины). :’:1'