книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

1) взяты всевозможные наборы значений мощностей контакт­ ных множеств Ц, i = l , 2,..., v, при соблюдении условия i2 li = nd\

2) для каждого набора значений построена схема, удовлет­ воряющая принципам 2—4.

Таблица 5.3 иллюстрирует сложность выбора оптимальной схе­ мы в области небольших нагрузок. При Л = 0,0625 (и Л-Ю, как до­ казано ниже) оптимальной является схема ж, содержащая мак­ симальное число индивидуальных линий, однако при несколько большей нагрузке Л =0,25 не полностью равномерные схемы г и е являются лучше, чем равномерная схема а и ступенчатая схема ж.

3.Колебание нагрузки увеличивает область оптимальности равномерных схем

Подтверждение этой гипотезы покажем на примере схем, представленных на рис. 5.1. Предположим, что параметр К пред­ ставляет собой случайную величину, распределенную по нормаль­ ному закону с заданным средним значением и дисперсией, равной 0,01. Для вычисления вероятности потерь в этом случае берем дан­ ные табл. 5.1 и интегрируем их, умножая на весовую функцию плотности вероятностей нормального распределения. Получаем

табл. 5.4, 'из которой следует, что точ­ Т А Б Л И Ц А 5.4 ка пересечения для схем а и б 'сдви­ нулась 1в область 'меньших (потерь и кривые пересекаются приблизительно при Л=0,55. В целом ib области ма­ лых потерь при колебаниях нагрузки вероятность потерь растет, а в обла­ сти больших нагрузок падает (ср.

табл. 5.1 и 5.4).

па абонентов имеет по одному месту ожидания, которое за­ нимает абонент, потерявший вызов. Ожидающий абонент произ­ водит повторные вызовы (с интенсивностью р,) с целью занятия

90

свободной линии. Подробнее о повторных вызовах рассказано в гл. 6. Таблица 5.5 показывает, что наличие повторных вызовов су­

кривых вероятности потерь я2 (отношение потерянных вызовов ко всем вызовам) практически остается на месте (ср. с табл. 5.1). То же можно сказать относительно щ — вероятности потери первич­ ного вызова.

5. Вероятность потерь при регулярном потоке

Замена пуассоновского потока регулярным потоком (длитель­ ность интервала фиксирована и равна единице) несколько умень­ шает область оптимальности равномерных схем. Таблица 5.6 пока-

зывает, что точка пересечения кривых вероятности потери для схем на рис. 5.1 переходит из точки Л =0,7, где они пересекались при пуассоновском потоке (см. табл. 5.1), в более высокую точку око­ ло Л = 2 при регулярном потоке. Заметим также, что при регуляр­

91.

6. Схемы, для которых кривые вероятности потерь пересекаются дважды

Численные данные о схемах с небольшим числом линий (на БЭСМ-ЗМ можно вычислить вероятность потерь для схем с и ^ Ю ), а также приводимые ниже степенные разложения вероятности по­ терь развивают нашу интуицию в том направлении, что при упоря­ доченном искании свободной линии в области малых потерь опти­ мальными являются ступенчатые схемы, а в области средних и больших потерь — равномерные схемы. И хотелось бы думать, что кривые вероятности потерь любых двух схем пересекаются только

Т А Б Л И Ц А 5.7

однажды. Однако это не так, что сильно осложняет исследование неполнодоступных схем в области средних потерь. Результаты табл. 5.7 показывают, что для схем а и б, а также для схем б и г, соответственно, кривые вероятности потерь пересекаются дважды.

7.При случайном поиске оптимальными являются равномерные схемы

Данное утверждение хорошо иллюстрирует табл. 5.8, где приведены те же схемы, что в табл. 5.3. Там было показано, что при упорядоченном искании свободной линии преимущество рав­ номерных схем перед ступенчатыми по мере нарушения равномер­ ности схемы уменьшается и сохраняется только в области больших нагрузок, В табл. 5.8 можно четко проследить, что нарушение рав­ номерности в построении схемы равномерно увеличивает вероят­ ность потерь во всем диапазоне нагрузок, что равномерно лучшими являются полностью равномерные схемы (схема а в табл. 5.8) и самыми худшими являются ступенчатые (схема ж ). Преимущество схемы а перед схемой ж подтверждают и асимптотические разло­ жения 4) вероятности потерь по степеням X:

и 5.3.

92

93

Таблица 5.9 показывает, что три малых нагрузках оптимальной является ступенчатая схема а, содержащая индивидуальные ли­ нии, а при больших нагрузках — равномерная схема б. Это соотно-

T А Б Л И Ц А 5.9

шение между схемами а и б сохраняется в области Я-»-0 и Л->-оо. Первые члены соответствующих асимптотических разложений мож­ но получить из аналитических выражений для вероятности потерь:

_3_ Л2+ ... .Отсюда следует, что схема а лучше схемы б три

18

малых значениях Л.

Однако высказанное в заглавии настоящего пункта предполо­ жение выполняется не всегда, что, ви­ димо, связано с дискретным характером НС: при увеличении числа групп п на 'единицу тип НС может измениться ка­ чественно. Такого рода противоречащий высказанному 'предположению пример содержит рис. 5.2, где приведены две

Рис. 5.2. Схемы, иллюстрирующие сложность вы­ бора оптимального числа групп п

94

в е р о я т н о с т и р х о п р е д е л я ю т с я о д н о з н а ч н о :

л-g S

т. е. рх получаются в .виде рациональных функций от А. Зная рх, нетрудно вычислить вероятность потерь

ле s I л |><г

Hv) = i _ jlW .

(7)

2. Решение в виде разложений по степеням А,

Систему (1) можно приближенно решить в виде бесконечных разложений по степеням к и А,-1. Коэффициенты таких разложений вычисляются по рекуррентным соотношениям. Для многих практи­ ческих целей, например, для сравнения схем при малых пли боль­ ших нагрузках вполне достаточно иметь несколько первых коэффи­ циентов разложений, представляющих решения.

Переходим к выводу разложений по степеням л. Ниже через гх обозначен элемент с индексами 0, х в |х|-й степени матрицы R, где R — матрица, составленная из элементов гху (остальные эле­ менты равны 0), т. е. первая строка в матрице Юх' . Легко видеть, что гх равно числу различных строго возрастающих путей (т. е. со­ стоящих из одних занятий), которые переводят схему из состояния Ов состояние х.

96

Приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях X. При А,1-'1 имеем

и т. д. В общем случае получаем второе граничное условие для ре­ куррентной системы (10):

степенные разложения рх, удовлетворяющие нормирующему усло­ вию, а именно, следует брать

Соотношения (13)— (15) также определяют решение системы (1).

П р и м ер . Рассмотрим трехлинейную НС, изображенную на рис. 5.3 и подробно исследованную в § 1.3.5. Вычислим для нее пер­

АВ .свободна, и 1, если линия занята. Матрица и«-

Первая строка матрицы Д2= (0 0 0 0 2 1 1 0), первая строка матрицы R3= (0 0 0 0 0 0 0 6).

При вычислении коэффициентов разложения C i ( x ) удобно поль­ зоваться следующей схемой расчета, основанной на видоизменен­

ной записи матрицы А:

1) составляем таблицу коэффициентов, взяв матрицу А и опус­ кая в ней К;

2)справа от нее пишем компоненты векторов-столбцов Со, сь сг,

3)вычисление коэффициентов начинаем с того, что пишем

|*|!|*=(1Ю )

что имеем две возможности непосредственного перехода из (000) в (110)), с0(101)=Со(011) =il/2, со(111) =6/31 = 1;

эк

5) из BTioipoiro условия iB (15) ct (000) = —[со( 100) + cO'(010) +

+Co(001)] = —2;

6)из (14) находим Ci(100) = —2-1 +1 + 1/2+1 •(—2) = —5/2итак

и так весь столбец с% Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

Подставляя результаты вычислений в (8), получаем

Так как вероятность потерь рассматриваемой схемы

* = ^-[р(Ю1)+р(011)] + р(111),

то получаем первые члены разложения л по степеням Я:

л = 1/2Я2 + 1/2Я3 — ЗЯ4 + • • ;

3.Решение в виде разложений по степеням Я-3

Выше было рассмотрено, решение системы (1) в виде разло^ жений по степеням' Я.' Такое решение дает представление о поведе­ нии НС при малых Я, т. е. при малых нагрузках. Для изучения НС