книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

Следовательно, реализация процесса дает матрицу чисел

где tiij — число моментов ть таких, что \х(х+h) \= i, |х;(т—л+i) |==/. Вероятности перехода х(х~к)-*-х(х^11) зависят от структуры схе­

/=о

ляется полиномиальным распределением согласно (4). Поэтому для проверки качества случайных чисел можно проверять согласие по­ лученной матрицы Ц/Zijll с вероятностями (4) на основе критерия X2. Получаем

еще на единицу, если в (4) подставить оценку максимального прав­ доподобия параметра X. Рассмотрим соответствующее уравнение. При данных tii вероятность получения реализации, имеющей мат­ рицу Hftij-L равна

Оценку максимального правдоподобия \Х для параметра К по-

лучаем из уравнения — logL (?o)= 0. Ввиду громоздкости этого

дХ

уравнения подробную его запись опустим. Заметим только, что для

его решения можно использовать итерационный алгоритм [233]. В

л

нашем случае оценкой X может быть также оценка среднего чис­ ла поступивших вызовов за единицу времени, которая близка к оценке максимального правдоподобия.

4.Произвольно распределенные случайные числа

Наиболее известный способ получения случайных чисел т), подчиненных функции распределения F (x ), основан на применении уравнения

140

Из (6) и (7) следует простой способ получения чисел, распре­ деленных согласно F (x). Надо взять равномерно распределенные случайные числа £ и подставить их в обратную функцию F~k Это даст искомые случайные числа г), подчиненные закону F (х). Ил­ люстрацией данного преобразования является рис. 7.2.

Рис. 7.2. Схема получения случайных чисел г|. распределенных по произ­ вольному закону F(x), на основе чи­ сел £, равномерно распределенных на

[О, 1]

Для получения чисел, подчиненных экспоненциальному распре­ делению F ( x )~ 1—е-Ъг, надо пользоваться соотношением (7), что дает

л==_ J _ i n ( l _ g )

Л

или равносильное ему соотношение

1]= - у 1п£’

так как 1—£ тоже распределено равномерно на [0, 1]. Непосредст­ венно отсюда получаем простой метод моделирования нестацио­ нарного пуассоновского процесса с кусочно-постоянной интенсив­ ностью. На рис. 7.3 показан пример моделирования пуассоновско-

Рис. 7.3. Схема моделирования нестационарного пуассо­ новского процесса

течение пяти единиц времени, а потом методом подобия отобража­ ем па две единицы с интенсивностями к = 2 и А.=3 соответственно.

141

Подобным образом можно моделировать процесс с любой функ­

цией A,(t).

Кроме экспоненциального распределения с постоянными или зависящими от времени параметрами, встречаются также распре­ деления Эрланга с плотностью

чЛ ..ft—1«—X.v

основе статистических данных, вычисление обратной функции со­

•Тогда при данном равномерно распределенном случайном чис­ ле имеем следующие правила выбора:

Неудобством такого подхода является необходимость проверки последовательности логических условий. Во избежание этого мож­ но поступить следующим образом. Составим таблицу из двадцати строчек: в первых двух строчках запишем 30 с, в следующих пя­ ти 45 с, далее 8 раз 1 мин, 3 раза 1 мин 15 с и 2 раза 1 мин 30 с; равновероятным выбором одной из двадцати строчек получаем случайные числа о данным эмпирическим распределением. Недо­ статок метода — увеличение числового массива.

Такой же прием можно использовать, чтобы получить числа, ра­ спределенные согласно произвольной функции распределения F (x).

142

Во избежание необходимости многократно решать ур-нне (7) мож­ но заранее решить его для некоторого набора значений х и соста­ вить таблицу. Наиболее «простой вьибор из таблицы — равновероят­ ный, который описан выше. Чтобы составить таблицу из <N чисел, воспроизводящих распределение F (x ), надо выбрать такие лщ ..

л'ль при которых

X

X

7.3.АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОММУТАЦИОННЫХ СИСТЕМ

1.Три алгоритма моделирования полнодоступного пучка с потерями

Выбор алгоритмов моделирования связан с желанием удов­ летворить двум противоречивым требованиям: за минимальное ма­ шинное время получить статистические оценки максимальной точ­ ности. На практике, конечно, корректно поставить одно требование, например:' получить наиболее точные оценки характеристик си­ стемы за данное машинное время и построить доверительный ин­ тервал этих сценок.

Рассмотрим три подхода к статистическому моделированию си­ стем массового обслуживания на примере о-линейного полнодоступиого пучка с потерями и покажем, как на основе учета веро­ ятностных свойств системы можно упростить программу моделиро­ вания.

Моделирование истинного процесса обслуживания. Пусть на пучок поступает поток вызовов с ограниченным последействием, функцию распределения между двумя последовательными вызова­ ми обозначим через A (t). Пусть времена обслуживания являют­ ся взаимно независимыми случайными величинами с функцией ра­ спределения B (t). Требуется найти оценку среднего числа занятых линий.

Программа статистического моделирования такой системы со­ держит: подпрограммы реализации случайных величин согласно функциям распределения A (t) и B (t); одну ячейку для хранения текущего времени системы, которое растет случайными скачками согласно функции распределения A (t), и v ячеек для хранения по­ следнего момента освобождения каждой из v линий. Проиллюст­ рируем этот алгоритм на примере трехлинейного пучка (рис. 7.4). Через |i, £2, . . . обозначены расстояния между последующими вы­

143

бодной литии с наименьшим номером (упорядоченный поиск) сра­ вниваем ближайший (последний) момент освобождения линии + i= 1, 2, 3, с. /0:

Hi = + (U + ^3 + + ^ ^о; ^2 = + Ч2 ^о’> ^3 =

=+ ^2 + Чз > По­

следовательно, пятый вызов теряется. Шестой вызов занимает вто­ рую линию и т. д.

ios Si+h + b + h

Рис. 7.4. Временная диаграмма работы трехлинейном системы

Моделирование марковского процесса (при экспоненциальных законах). Предположим, что

А (0 - e 'w, t > 0, B(t) = е- ', t> 0.

Тогда действие у-линейной системы с потерями описывается мар­ ковским процессом x(t) (его состояния принимают значения: 0, 1, 2, v). Почти всякая траектория марковского процесса устроена таким образом, что время пребывания gi в £-м состоянии подчиня­ ется экспоненциальному распределению с параметром X-j-i, т. е.

В момент выхода из этого состояния осуществляется переход в со­ стояние £+1 с вероятностью

X

и в состояние i— 1 с вероятностью

При i= v возможен переход только в состояние у— 1 с вероят­ ностью, равной 1 (рис. 7.5а). Отсюда следует, что при воспроиз­

144

ведении действия системы надо моделировать два случайных ме­ ханизма: 1) время пребывания согласно (10) и 2) вероятности пе­ реходов согласно (И ) и (12). Следовательно, нужны: программа реализации случайных величин, подчиняющихся экспоненциально­ му распределению (10); программа получения равномерно распре­ деленных случайных чисел для выбора направления скачков по

(11) и (12); ячейки для фиксации текущего времени системы, ко­ торое меняется скачками согласно случайным временам пребыва­ ния в последовательных состояниях, и v разрядов (а не v ячеек!) для записи номеров занятых линий или одна ячейка для записи числа занятых линий. Такой подход дает существенную экономию машинной памяти, что особенно важно при моделировании слож­ ных систем.

Моделирование вложенной цепи Маркова. Из анализа свойств траектории марковского процесса x(t) следует, что при вычисле­ нии оценки среднего числа занятых линий случайные времена пре­ бывания в отдельных состояниях можно заменить на их средние значения. Действительно, пусть взяли траекторию процесса x(t) до момента TN, т. е. до момента N-го скачка. Цель — вычислить

х1

о

где

f[x(t)] = i, если x(t) = i, i = 0, 1, • ■ •, v.

Функционал (13) представляет собой случайную величину, завися­ щую от выборочной траектории процесса x(t). При замене — случайного времени пребывания в состоянии i на его среднее зна­

чение — (см. рис. 7.5б), что следует из (10), среднее значение

функционала (13) сохраняется неизменным, а дисперсия его су­ щественно уменьшается, так как устраняется один из двух случай­ ных механизмов, порождающих траекторию x(t), а именно, слу­ чайные распределения (10). Уменьшение дисперсии является пер­ вым преимуществом такого подхода к статистическому моделиро-

145

ванию, а отсутствие необходимости моделировать случайные вре­ мена пребывания — вторым. Оба преимущества подтверждаются результатами вычислений, приведенными в [155].

2.Модифицированный марковский процесс

Вдальнейшем через x(t) обозначим модифицированный мар­ ковский процесс, получаемый из x(t) заменой Случайных времен пребывания в отдельных состояниях на их средние значения. Для

перехода к процессу x(,t) в общем случае необходимо, чтобы сис­ тема описывалась марковским процессом x(t) с непрерывным вре­ менем ,и дискретным множеством состояний. Пусть дан однород­ ный марковский процесс x(t) с дискретным множеством состояний

ми и имеют простой вероятностный смысл. Если в момент t про­ цесс x(t) перешел |(или уже находится) в состояние х, то время пребывания в состоянии tx является случайной величиной, кото­ рая подчиняется экспоненциальному закону:

--- а хх

Величины рху являются переходными вероятностями вложенной цепи Маркова. Следовательно, на процесс x(t) можно смотреть как на марковскую цепь с присоединенными случайными величи­ нами. В состоянии х присоединенной случайной величиной считаем tx — случайное (время пребывания в этом состоянии.

Результатом моделирования обычно является среднее значение интеграла некоторой функции И х)> определенной над случайным процессом x (t):

няется распределение функционала (16). Если оцениваются такие величины, как среднее число занятых линий, среднее время пребы­ вания в каком-то состоянии, линейная комбинация средних вре­ мен пребывания по состояниям (оценка вероятности потерь по вре­

мени), то при переходе от x(t) к x(t) сохраняется среднее значе­ ние оценки (16), но дисперсия оценки существенно понижается, т. е. повышается точность результатов моделирования, что под­ робно исследовано в [155].

J46

3.Переход от произвольных распределений

кмарковским законам

Под марковским законом понимаем закон распределения случайной величины, представляющей собой сумму детерминиро­ ванного или случайного числа слагаемых (этапов обслуживания), каждое из которых подчиняется экспоненциальному закону. Мар­ ковский закон представляет -собой линейную комбинацию сверток экспоненциальных законов. Наиболее известным примером мар­ ковского закона является распределение Эрланга, представляю­ щее собой свертку заданного числа одинаковых экспоненциальных законов.

Построим модифицированный марковский процесс в случае, когда функции А (х) и В (х) представляют собой распределения Эрланга. Пусть расстояние между двумя последующими вызова­ ми состоит из /е этапов, каждый из которых подчиняется экспонен­ циальному закону с параметром а, т. е.

(1А (х) = ^ - i ) i е_°Аdx’ х > 0 -

Пусть длительность разговора состоит из / этапов, каждый из ко­ торых подчиняется экспоненциальному закону с параметром Ь:

dB (*) = -Jn = T jr е~Ь* dx> х > 0 -

При построении модифицированного марковского процесса введем дополнительные события, соответствующие переходам между эта­ пами. Для моделирования о-линейной полнодоступной системы с потерями введем вектор {хо, ..., хр . . % ; } , где Xj — число разго­

которое будет меняться скачками по единице от k до 1 циклически. Переходу из состояния 1 в состояние к будет соответствовать мо­ мент поступления вызова. Следовательно, состояние системы ха­ рактеризуется (Л-й)-мерным (векторам {у, х0, . . xi}.

Кратко рассмотрим алгоритм моделирования. В состоянии {у,

.... xij неслучайное время пребывания равно [a + (v —x0)b]~\ после

зе в потоке вызовов (вычитание 1 из у), а с дополнительной веро­ ятностью происходит переход к новой фазе в одной из v—Хо заня­ тых линий (равновероятно). Если -выбрана одна из линий с i эта­ пами (i> 0 ), то из Xi вычитается -единица, а хг-_1 увеличивается на единицу. Подобным образом можно построить модифицированный марковский процесс для любых марковских законов А (х) и В (х ) для любых систем массового обслуживания. Общая запись мар­ ковского закона дана Коксом 1[181]. Преобразование Лапласа об­ щего марковского закона f(t) по Коксу имеет вид

147

ность экспоненциального закона, определяющего длительность t'-ro этапа; — вероятность окончания обслуживания после £-го этапа; qi — вероятность перехода к следующему (7 + 1 )-му этапу.

Любое эмпирическое распределение можно сколько угодно точно аппроксимировать марковским законом {101]. Следует только заметить, что выбор такого закона представляет собой непростую задачу численного анализа, особенно из-за того, что даже не­ большие изменения исходных данных резко меняют показатели экспонент, входящих в марковский закон, и их число (см. § 4.2.4).

Задачу построения марковских законов облегчает то обстоя­ тельство, что, грубо говоря, характеристики системы обслуживания мало меняются при небольших изменениях исходных законов. Хорошо известен факт независимости вероятности потерь (форму­ лы Эрланга) от вида закона обслуживания в 1пол1нодоетупной сис­ теме с потерями при обслуживании простейшего потока [126]. Такой же результат установлен для задачи «станки и рабочие» [121]. Это система с ожиданием, в которой поломка станков происходит по экспоненциальному закону, длительность обслуживания — по про­ извольному закону; вероятность состояний зависит только от сред-

двух экспоненциально распределенных этапов, каждый со средней длительностью 4/2. В обоих случаях поступают два паусоонов'ских потока интенсивности К. Вероятности потерь для этих двух случаев различные, а именно:

Выражения р i и р2 не совпадают. Например, при A = l , pi = 0,286, р2= 0,254, т. е. уменьшение дисперсии длительности занятия умень­ шает вероятность потерь. Доказательство общей теоремы об усло­ виях инвариантности и формулировка дальнейших задач содержит­ ся в [10, 11].

В последнее время появляются результаты, содержащие оцен­ ки того, как меняются характеристики системы обслуживания при

.148