книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

рительный коэффициент, выбираемый с учетом доверительной ве­ роятности. При достаточно больших N можем считать, что я (АО

А

распределено нормально с дисперсией d/N. Тогда, например, при

Sp-2 +i - pР‘ vS,

D(d) — D

(a+P)'4

Применяя к этому выражению, в свою очередь, формулу переноса ошибок, имеем:

где предполагается, что в частных производных подставлены сред­ ние значения указанных моментов. Далее находим частные произ­ водные и учитываем, что

D a = — D a;

N

Т О Т )

(см. любой учебник по математической статистике, например, [136]), где по определению случайной величины g центральные моменты p4 = M (s -M g )4 и o2 = A f(g-M £)2.

Для упрощения выводов предположим, что N достаточно боль­ шое, так что

я(«*) = 4N -(^ -(°*)*)-

(М а + М Р)4

Вывод D(s2). Для сравнения с дисперсией в случае применения критерия Стьюдента выводим D (s2). Делим реализацию длины N

•190

периодов на п кусков по т периодов в каждом, так что N = inn. Получаем п оценок вида

(ввиду взаимной независимости а и р по периодам опускаем у них

+ члены более высокого порядка.

Возводим в четвертую степень, берем среднее значение, учиты­ ваем независимость а, р, т. е. М (ар) = М аМ р и замечаем, что равны нулю слагаемые, содержащие множитель вида М\(а—М а). В итоге получаем

Zi *''=4

£=1

191

(меняем местами значки Л4 и II и учитываем, ч;то .множители (неза­ висимы п М (а;—Ма) = 0

(учитываем, что слагаемые по суммам совпадают в силу одинако­

т (Ма МР)2 _

Подставляем полученные выражения в выражение D(s2), ограни­

П р и м ер . Сравним d (D л (TV)) = D (d) и D (^-) = -^г D (s'2)

на примере однолинейной системы с потерями, имеющей интенсив­ ность пуассоновского процесса Я; интенсивность обслуживания равна единице. Рассмотрим оценку вероятности потерь по време­ ни. Каждый период состоит из времени пребывания в состоянии 1 Ui~e~‘ и ©рвмени пребывания в состоянии 0 Р г ~ е _яТ Для расче­ тов нужна формула моментов экспоненциально распределительной случайной величины

00

(28)

О

192

ат а к ж е

м а - M i f = М ^ — Ь М 1 3М 1 + Ь М |* ( м d * — з ( М if-,

М Ц — М I f = М12 — (М I f .

Подставляя (28) в (24) и производя приведение подобных членов, имеем

выборочной дисперсии при использовании формулы переноса оши­ бок в 108 раз меньше, чем по критерию Стьюдента, что оправды­ вает применение формулы переноса ошибок для построения дове­ рительного интервала оценки среднего значения.

Остались неизученными преимущества предлагаемого подхода в случаях систем более сложных, чем однолинейные. Однако это самостоятельная задача, требующая громоздких вычислений пер­ вых четырех моментов случайных времен первого 'перехода.

10.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ НА ОСНОВЕ ОЦЕНКИ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ПО БЕНЕШУ

С целью уменьшения дисперсии выборочной дисперсии рас­ смотрим еще один метод сочетания расчетов с моделированием, суть которого заключается в определении дисперсии через кова-

риационную функцию стационарного марковского процесса. Ко­ вариационная функция, в свою очередь, приближенно представ­ ляется в виде экспоненты, и сам расчет сводится к оценке коэффи­ циента и показателя экспоненты. Строгое обоснование этого ме­ тода удается получить только в случае симметризируемой матри­ цы интенсивностей перехода марковского процесса. В частном слу­ чае расчеты показывают исключительную ценность метода. При­ менимость его для оценки точности моделирования произвольных систем обслуживания подтверждается результатами вычислений и моделирования, но для получения окончательных рекомендаций следует провести дополнительные исследования. Рассматриваемый подход дает эвристические основания для выбора таких парамет­ ров, как длительность реализации, длина начального отрезка не­ стационарное™.

1.Выражение дисперсии через ковариационную функцию R(t)

Пусть моделируется марковский процесс x(t). Требуется оце­ нить точность статистики

т

(31>

о

где f[x(t)] — некоторая функция (точнее, функционал), заданная над марковским процессом x(t) (обозначим ее ft). В случае пред­ положения, что начальное распределение (х(0)} совпадает со ста­ ционарным распределением марковского процесса x(t), любая функция f[x(t)] определяет стационарный процесс, откуда следует, что доверительный интервал оценки среднего значения молено вы­ разить через ковариационную функцию R(t) стационарного про­ цесса ft. Уточним это. Предполагаем, что задан стационарный в широком смысле процесс ft. Наша задача — найти дисперсию ста­ тистики (31), имеющую вид

Таким образом, задача оценки точности (31) сведена к задаче на­ хождения функции Rf(t).

194

Докажем, что для марковских процессов с сымметризуемой мат­ рицей интенсивности перехода функцию Rf (t) можно аппроксими­ ровать сверху:

где a2f — дисперсия функции f[x(t)] над предельным распределе­ нием {р.-с} марковского процесса x(t), т. е. дисперсия стационарно­ го распределения; а — положительное число.

Подставляя (35) в (34), находим интересующую нас оценку

С точки зрения теории случайных процессов замена функции ковариации Rf(t) функцией a2/e-ai эквивалентна переходу к ста­ ционарному процессу, функция ковариации которого имеет вид

R (t)= R {0 )e ~ at.

2. Вывод оценки R(t)

Рассмотрим однородный марковский процесс x(t), для кото­ рого М'ат|рица интенсивностей перехода А = {аху}, х, у d S, является симметризуемой. Через |5| обозначим число элементов множест­ ва S, а через \х \— число занятых линий в состоянии х.

По определению (Крамер [247]) матрица А является симмет­ ризуемой, если

Ру а ух ~ Рх а ху>

где p={px} — стационарное распределение, определяемое системой

а также условием нормировки ( Т — знак транспортирования и р — вектор-столбец).

Так как матрица А является симметризуемой, то собственные числа ее суть действительные неположительные числа. Максималь­ ное 'собственное число равно нулю; соответствующий ему собствен­ ный вектор суть вектор стационарных вероятностей р. Расположим собственные числа в порядке убывания: 0 >iri > ... > r isj—i • Для доказательства (35) используем две теоремы из книги Бенеша [24] (гл. 7).

Теорема 10.1

Ei — перпендикулярные проекторы самосопряженного оператора в

IS I-1

•спектральном разложении: А = £ /у Ес.

1 = 0

С к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е о п р е д е л я е т с я с о о т н о ш е н и е м

(и, v) =

xqS

Теорема 10.2.

(4 0 )

а2

где

т = 2 |л:|px, а2 = \х\гРх— т2-

Не останавливаясь подробно на доказательстве теоремы, заме­ тим только, что оценка (40) следует из отношения Релея

г\ = шах {{Av, v) : (о, р) = 0, (у, v) = 1),

V

а также выражения

*V

Из теоремы 10.1 следует, что

(41)

Подставляя полученную оценку в (34), находим неравенство

г, г _ 1 _ г г

Тем самым (35) доказано, при этом в качестве а в (35) взято зна­ чение Iт/ю2.

На основе приближения (42) можно оценить точность резуль­ татов моделирования различных систем массового обслуживания.

3. Численные примеры приближения R(t) для полнодоступного пучка

Бенеш [24] приводит численные иллюстрации применимости приближения (41) для оценки среднего числа занятых линий в у-линейной полнодоступной системе с потерями. Для приближе-

196

Нами подробно рассмот­ рены приближения дисперсии оценки среднего числа занятых ли­

ний в двухлинейной системе. В этом случае легко находим выра­

Рис. 10.7. Значения дисперсии для оценки среднего числа занятых линий в двухлинейной системе

197

Построим различные приближения для Dj(T). На рис. 10.8 даны результаты приближений выражения (44) при двух значе­ ниях интенсивностей: Л.= 0,4 и Л=1. Рассмотрены приближения, получаемые:

1) при замене всех собственных чисел на максимальное соб­ ственное число г1, что дает, как и ожидается, оценку сверху;

2) то же, что 1), только вместо г{ берем оценку — — согласно а2

теореме 10.2, что дает также хорошее приближение, но заранее неизвестно, будет ли оно оценкой сверху или снизу: при Я=1 по­ лучаем приближение снизу, при К= 0,4 — сверху;

Рис. 10.8. Кривые дисперсии и ее оценок

соображений. В случае бесконечного полнодоступного пучка мак­ симальное собственное число /ч(оо) равно — 1. Для любой о-ляней- ной системы соответствующее число п(а) всегда меньше гДсю),

198

точнее, ri(u) < ri(o + 1) < — 1. Последнее следует из теоремы о матрицах Якоби (см., например, Гантмахер и Крейн [32]): «Между каждыми двумя соседними корнями многочлена Dm(r) лежит один и только один корень многочлена Dm-i(r)», где

и из того факта, что характеристический многочлен матрицы ин­ тенсивностей перехода для любого конечного пучка можно пред­ ставить в виде (45), если исключить нулевое собственное число, как это сделано в § 3.2.3.

4.Пример вычисления дисперсии для неполнодоступной схемы

Численно проверена практическая применимость приближе­ ния (41) на примере трехлинейной неполнодоступной схемы, пред­ ставленной на рис. 10.9, которая подробно изучалась в § 1.3.5. На систему поступают два пуассоновских потока

Результаты вычислений сведены в табл. 10.1, где я — вероятность потерь, имеющая вид

я = — (Рб + Ре) + Р ъ

D — дисперсия линейного функционала f, определенного над мар­ ковским процессом, в виде

(точнее, значение главного члена дисперсии на единицу времени согласно (4));

199