книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

НС можно описать математически следующим образом. Пусть дано контактное поле с nd. элементами (i, j), i= 1,..., п; / = 1,..., d, расположенными в виде прямоугольной матрицы tiXd. Параметр п обозначает число групп контактов, параметр d называется доступ­ ностью. В k -ю группу входят контакты (7, j), имеющие /е в качест-

ве значения индекса i. Контактное поле разбивается на v непересе-

контактов множества ks через ls. Каждому ks сопоставляется одна и

3. Двухкаскадная схема

Полнодоступная и неполнодоступная схемы — это примеры однокаскадных коммутационных схем, требующих одну точку ком­ мутации для установления соединения между входом и выходом. Естественным обобщением таких схем являются многокаскадные схемы. На рис. 1.4 изображена двухкаскадная схема, которая

Ю

имеет k коммутаторов ib 'Пер­ вом и т коммутаторов по :вто- |ром каскаде. Каждый входной коммутатор (первого каскада) имеет но п входов, а выходной коммутатор по I выходов. Меж­ ду каждой парой коммутато­ ров первого и второго каска­ дов есть f промежуточных ли­ ний. Выходы группируются по направлениям; {всего имеется q ■направлений. Вызов, посту­ пивший по какому-то входу, может требовать свободную линию в одном определенном

направлении (групповое искание), свободную линию в любом из направлений (свободное искание) или одну определенную линию (абонентское искание).

4. Программно управляемая АТС

Наиболее ярким примером коммутационных систем современ­ ности являются программно управляемые АТС (ПУ АТС). На

Подключающее устройство периферийного управления

ТI

ЭВМ

Рис. 1.5. Структурная схема АТС, управляемой ЭВМ

рис. 1.5 приведена структурная схема коммутационного узла (АТС), управляемого ЭВМ (61, с. 252]. Коммутационная система может представлять собой, например, шестикаскадную схему (как на рис. 8.5). Назначения остальных блоков, изображенных на ри­ сунке, объясняют их названия. Вследствие ограниченности числа

11

входов и выходов ЭВМ и большого количества источников инфор­ мации t(абонентских и 1Соедиеителыных линий) управляющее уст­ ройство, кроме ЭВМ, содержит ряд периферийных устройств, кото­ рые готовят информацию для работы ЭВМ и согласовывают ско­ рости работы коммутационных элементов и ЭВМ. На рис. 1.5 изо­ бражена схема АТС, в которой информация о состоянии НС хра­ нится в оперативной памяти ЭВМ. Управляющая ЭВМ, анализируя даеные о текущих состояниях ©сего оборудования коммутационного узла, управляет им в реальном масштабе времени в соответствии с принятой дисциплиной обслуживания вызовов.

Перечислим положительные качества ПУ АТС. Они обладают легкой приспособляемостью к любой структуре сети, к введениюновых услуг для абонентов и к другим видам изменений алгоритма управления вплоть до динамического управления сетью на основе анализа изменений, происходящих на сети связи, и выбора опти­ мального плана распределения потоков. На ПУ АТС можно реали­ зовать автоматический самоконтроль работоспособности системы, включающий переустановление соединений в случае возникновения сбоев в работе программы или отказов по техническим причинам. (Последнее обстоятельство дает большую экономию инженерного труда во время ввода АТС в эксплуатацию.) Во время проектиро­ вания ПУ АТС можно автоматизировать трудоемкий процесс со­ ставления программ управления (разработку математического обеспечения ПУ АТС).

1.2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ

1. Двухлинейная система с потерями

Переходим к разбору математических моделей коммутацион­ ных систем. Начнем рассмотрение с простейшей коммутационной системы — полнодоступного двухлинейного пучка с потерями. Пусть выполнены простейшие предположения теории телетрафика:

1) поток вызовов образует пуассоновский процесс с параметром X (или по терминологии Хинчина представляет собой простейший поток), т. е. среднее число вызовов в единицу времени равно X, и вероятность, что за время t поступит i вызовов, равна

2) длительность обслуживания подчиняется экспоненциальному закону со средним значением, равным 1/р, т.. е. для случайного вре­ мени обслуживания | имеем место

3) если в момент поступления требования оба прибора заняты, то вызов теряется.

Построим случайный процесс, описывающий деятельность си­ стемы. Через Pi(l) обозначим вероятность того, что в момент t за-

12

пято i приборов, ;'= 0, 1, 2. Составим систему дифференциальных уравнений для нахождения pi(l). Для этого рассмотрим значения переходных вероятностей в моменты времени t и t+At. При сфор­ мулированных предположениях относительно потока вызовов и длительности обслуживания случайный процесс является марков­ ским, поэтому для вычисления распределения {pj(t+A t), j —0, 1, 2} необходимо иметь распределение {Pi(t), i = 0, 1, 2} и переходные вероятности pij(At).

Изучим переходные вероятности. Их вывод существенно упро­ щает предположение, что At является малым промежутком време­ ни. Будем искать выражения для Pa(At) с точностью до членов порядка At. Занятие линий зависит от поступления вызовов. Ве­ роятность поступления i вызовов за время At равна

Так как мы условились пренебречь членами порядка выше At, то достаточно учитывать только вероятность отсутствия вызовов за

о {At), (Поэтому ими !п.ри составлении дифферетациалвных уравне­ ний можно транебречь.

Вероятность освобождения зависит от интенсивности обслужи­ вания. Важно заметить, что вероятность освобождения некоторо­ го занятого прибора не зависит от того, какое время уже длится обслуживание. Действительно, пусть обслуживание уже длится время t и нас интересует Р {t<il^.t+At/^,^>t} — вероятность (осво­ бождения прибора за промежуток (t, /+Д/] при условии, что дли­ тельность обслуживания l,> t. Докажем, что P {t - < l^ .t+ A t/l'> t} не зависит от t.

что требовалось доказать.

13

Следовательно, вероятность освобождения одного наугад вы­ бранного занятого прибора за время (t, ^+Д(] равна

Соответственно вероятность того, что прибор, занятый в момент t, останется замятым после момента t+iAt, равна

и соответственно вероятность освобождения, по крайней мере, од­ ного из двух приборов равна дополнительной вероятности

Вероятностью освобождения обоих линий можно пренебречь, так как из (9) получаем, что эта вероятность равна

Теперь переходим к выводу выражений переходных вероятностей. Из (5) следует, что

(вызов, поступивший в состоянии 2, теряется, не влияя на значе­

Рп (Д 0 = [1 — рД t + о (Д 0] [1 — А.Д t + о (Д 01 = 1—(Я +'ц)Д t + о (Д О

(20)

(система останется в состоянии 1, если не поступит новый вызов и не окончится обслуживание).

Полученные интенсивности ’переходов представлены на диа­ грамме состояний (рис. 1.6),

14

p'2(t) = kpi (9 — 2рр2 (9

Решая эту систему однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами яри данных начальных условиях, находим искомые вероятности.

В дальнейших вычислениях будем предполагать Х = р = 1 и ро(0) =4, P i ( t ) = pz(t)= 0. Следуя процедуре 'решения систем линей­ ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, ищем фундаментальную систему частных решений (25) в виде

где Ci и а — постоянные.

15

Подставляя (26) и значения X и р в (25), получаем линейную систему:

стационарное решение системы (30), так называемые стационарные вероятности, которые при произвольных к и р имеют вид

16

два бесконечно близких момента времени t и t+At, мы по форму­ ле полных вероятностей получим

pk (t + A t) = рк_ { (t) [ Я,А_, Д t + о (Д 01 + Рк (0 11 — (К + Ра) Д * +

+ о (Д Щ + pk+l (0 [ рА+1 Д t + о (Д 0] + о (Д 0-

Перенесем член pn(t) в левую часть, разделим обе части равен­ ства на At и устремим At к нулю. В пределе получим уравнение

ляет поведение нашего процесса. Для того чтобы эта система име­

Для того чтобы процесс имел стационарное распределение, пат раметры Хь и цй должны удовлетворять некоторым условиям. Для нахождения таких условий предположим, что стационарное рас­ пределение существует. Тогда стационарные вероятности ри долж­ ны удовлетворять системе:

условие, которое приведем без доказательства. Итак, для сущест­

18

где

l^lM-2 ■ ■ -Н ’ 00= 1.

Можно доказать, что эти условия являются также и достаточ­ ными для существования стационарного распределения. Наиболее существенным из них является первое и при его выполнении второе практически почти всегда выполняется. Если стационарное распре­ деление существует, то стационарные вероятности выражаются формулой

1.3.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОММУТАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Процессы размножения и гибели могут описать действие самых простых систем телетрафика: полнодоступный пучок и част­ ные случаи более сложных схем, например, идеально симметриче­ скую неполнодоступную схему. Построим марковский процесс с дискретным множеством состояний и непрерывным временем, ко­ торый описывает более сложные схемы, например, любые однокас­ кадные неполнодоступные схемы. С целью упрощения изложения будем избегать крайней общности и ориентироваться на неполнодоступные схемы, которые детально изучаются в гл. 5.

1. Пространство состояний. Диаграмма Хассе

Обозначим через 5 — множество возможных (в смысле заня­ тия рутей) состояний данной коммутационной схемы. Над множе­ ством состояний S определяется операция частичного упорядочения ( ^ ) , где х ^ у означает, что из состояния у можно попасть в со­ стояние х освобождением ни одного, одного или большего числа занятых путей. На основе операции ^ можно построить диаграмму состояний, называемую в теории графов диаграммой Хассе. Эта диаграмма является графом, который получается, если множе­ ство состояний расположить по уровням согласно числу занятых линий так, что на k-u уровне находятся состояния, в которых ве­ дутся k разговоров. Состояние 0, соответствующее состоянию, когда в системе нет ни одного разговора, находится внизу диаграм­ мы, над ним располагаются состояния с одним разговором и т. д.

Состояния на соседних уровнях соединяются линиями, указы­ вающими переходы из-за,поступления нового вызова. Выбор пути занятия определяется матрицей занятия iR= {гху}, которая будет введена ниже. Если х — состояние, то через |х| обозначаем число

19