книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

Уменьшение дисперсии при сочетании моделирования

срасчетом по формулам

Выбор методов обработки статистических данных (данных статистического моделиро­ вания) — важнейшая задача в практике

расчетов систем телеграфика. Как показывают исследования {155, 284], изменением определений 'вероятности потерь (каждое опреде­ ление дает -свой метод обработки данных) можно сэкономить время моделирования в десятки раз. В [155] детально проведено сравне­ ние точности различных определений вероятности потерь на приме­ ре полнодоступного пучка. Для этого на основе математического аппарата полумарковских процессов размножения и гибели выве­ дены рекуррентные выражения для моментов времени первого пе­ рехода, через которые выражается дисперсия различных определе­ ний вероятности потерь и соответственно точность различных мето­ дик статистического моделирования. Путем вычислений на ЭВМ показано, что использование предложенных в работе модификаций моделируемых систем значительно уменьшает дисперсию оценок вероятности потерь по времени, вызовам и нагрузке. Показано так­ же, что соотношения между точностью оценок вероятности потерь по времени н по вызовам зависят от интенсивности потока вызовов. Полученные выводы сохраняются для полиодоступного с конечным числом мест ожидания и неполиодоступного пучков *). В последнем случае результаты получены применением двумерных полумарков­ ских процессов размножения и гибели.

Чтобы пояснить смысл сравнения определений, укажем на простую задачу математической статистики. Как известно, один и тот же неизвестный параметр часто можно оценить разными спосо­ бами. Например, пусть даны результаты измерений xi,..., хп (я — -не­ четное) некоторой нормально распределенной случайной величины. Требуется оценить ее среднее значение а. Предположим, что ре­ зультаты измерений упорядочены по величине. В качестве стати­ стической оценки параметра а можно выбрать:

А]

1)среднее арифметическое a i = — 2х,-;

*) Ш н е п с - Ш н е п п е М. А., Ш к о л ь н ы й Е. И. О точности статистиче­ ского моделирования систем массового обслуживания, описываемых полумарковскими процессами размножения и гибели. Известия АН СССР, «Техническая ки­ бернетика», 1973, № 5.

Г60

Любая из трех статистик дает несмещенную оценку среднего зна­ чения а, но по точности эти оценки существенно отличаются. Как известно из курса математической статистики, наиболее точной яв­ ляется первая оценка. Она как бы включает в себя всю информа­ цию, содержащуюся в выборке. Остальные две оценки используют только часть информации. Например, если х* распределены по нор­ мальному закону с неизвестным средним значением а и заданной дисперсией, равной единице, то

квадратическим отклонением, равным 0,1, в первом случае требует­ ся 100 измерений, во втором случае-— 157 измерений, а в третьем — наименее эффективном случае — 6,6-1017 измерений.

Подобные вопросы возникают также при обработке результа­ тов статистического моделирования: на основе одного и того же статистического материала можно получить оценки различной точ­ ности.

В качестве оценки вероятности потерь можно выбрать:

1) отношение суммарного времени занятия v линий за интер­ вал времени наблюдения (0, Т] (обозначим суммарное время заня­ тия через т(Т)) к длине интервала:

МЛ = - т СО

2)отношение числа потерянных вызовов А (Т ) заинтервал и числу всех поступивших вызовов А(Т) + В (Т ):

А(Т)

Яе(Л = А ( Т ) + В (Т)

где В (Т ) — число обслуженных вызовов за интервал (0, Т]. Первую оценку я;(Т) называют оценкой вероятности потерь по

времени (индекс «I» от слова time), вторую яс(Т) — оценкой веро­ ятности потерь по вызовам («с» от слова call). Оценки я;(У) и лс(Т) являются случайными величинами с различными функциями распределения. Возникает вопрос, какой из оценок отдать предпоч­ тение. От принятого решения на практике зависит не только точ­ ность выводов, но и сложность программы статистического модели­ рования.

Проблема точности различных оценок вероятности потерь вол­ новала многих авторов. Наиболее известна классическая работа

лл

*) По поводу Da2 и Da3 см. [69, с. 330 и 469].

!I

Костейа с соавторами [245] 1949 г., в которой ори рассмотрении и-линенной полиодоступной системы с потерями доказано, что

лt(T) точнее оценки яС(Т). Эта неточность устранена в раб-ота.х Деклю [185] и Шн-тс-Шиете и Икауниек [153] независимо.

Сравнению различных определений вероятности потерь посвя­ щена работа Башарина [14]. Следует также отметить работы По­ ляка [118, 119], Поляка и Белова [120], Улсона [271—273], Линда [254] и Андронова с соавторами [6—9].

9.1. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ БЛБ

1. О постоянстве условных вероятностей потерь

Точное вычисление вероятности потерь сложных систем ком­ мутации практически неосуществимо из-за чрезмерно большого числа состояний марковского процесса, описывающего действие таких систем. Это .приводит к 1вдани1кн01вению различных приближен­ ных методик вычисления вероятности потерь. Одна из таких ме­ тодик основана на разбиении пространства всех состояний на неко­ торое число подпространств, .па каждом из которых (например, методом статистического моделирования) удается приближенно оценить условную вероятность потерь. После этого па основе точных выводов можно получить вероятность потерь системы. Из-за ошибок в определении условных вероятностей потерь ко­ нечный результат будет приближенным, по будет содержать мень­ шую ошибку, чем при «чистом» моделировании.

Наиболее естественно в качестве подпространств взять множест­

£ 7 г П (1 -7 / (Л ))

1=0 /=о

где Л — интенсивность суммарного потока вызовов; у* ■=■ услов­ ная вероятность потери на подпространстве Li, т. е.

2 УхРх (л)

X&L._______ 2

162

В случае неполнодоступных схем сумма в числителе меняется от i = d до v, а Л = /гл.

Применение формулы БЛБ связано с важным эмпирическим фактом, что у; — условные вероятности потерь — слабо зависят от интенсивности потока (т. е. мало меняются при изменении А). На основе этого факта можно выбрать следующую методику модели­ рования: статистически оцениваются условные вероятности потерь

•у,- (А) на |П0Д|Пр0!СТ|ран1Ствах L,-, состоящих из состояний, в которых заняты .ровно t линий, при некотором А (А можно выбрать в зависи­ мости от i), потом предполагается, что у;(А) не зависит от А.

Рассмотрим примеры, которые показывают слабую зависимость у; от А.

П р и м е р 1. Для трехлинейной НС, пред­ ставленной на рис. 9.1 и подробно рассмот­

ренной в гл. 1, нетривиальное значение имеет только у2 — условная вероятность потерь на подпространстве Ь2 (так как y o = y i= 0 , у з =

Следовательно, можем провести сравнение у2(Л) и я (Л). Рассмат­ ривая эти выражения в диапазоне к от 0,5 до 2 или соответственно А от 1 до 4 (так как А=2Л,), получаем, что в то время, как вероят-

для НС, представленной на рис. 9.3, там же для сравнения при­ ведены значения вероятности потерь. Результаты вычисления пока-

Рассмотрим два состояния х и у из одного и того же подпро­

больших Л. Например, состояние х чаще достигается последующи­ ми занятиями, исходя из состояния 0, а состояние у достигается последующими освобождениями, исходя из состояния с v занятыми

N.водить моделирование у* с последующим вьгчис-

N.лением вероятности потерь по формуле БЛБ,

л° ° чтобы Получить оценку л (А) сверху. Надо оцени-

Следовательно, проблема статистической оценки у» с учетом пара­ метра Л требует дальнейшего изучения.

2.Оценка неизвестной вероятности в схеме Бернулли

Внашем приближенном подходе каждую условную вероят­ ность потерь уг будем рассматривать как вероятность некоторого события в схеме Бернулли. Тогда из элементарных соображений математической статистики (см., например, [29]) следует, что дове­ рительные границы для неизвестной вероятности у* имеют вид:

где щ — число вызовов, поступивших в систему в интервалы заня­ тия t линий; m-i — число потерянных вызовов из этих rii вызовов. Параметр g определяется согласно выбранному доверительному уровню 1—2'Р для неизвестной вероятности у* из следующего урав­ нения:

ех1

Н / 2 я J

о

166

На практике число опытов я,- часто превосходит сотни, и поэтому

(4) можно упростить:

При статистическом моделировании возникает также задача оп­ ределения необходимого числа опытов для вероятности потерь уi с заданной абсолютной точностью а, вернее, при данном у, и довери­ тельном уровне 1—2 р надо выбрать такое tii, чтобы

Тогда /г,- находим из соотношений:

Рис. 9.6. Графики необхо­ димого числа испытании для достижения абсолют­ ной (сплошные кривые) и относительной (штрих-пунк­ тирные кривые) погрешно­ сти а при оценке неизвест­ ной вероятности с довери­ тельным уровнем 0,95

для разных показателей абсолютной погрешности а согласно (6). Необходимое число испытаний л*,- при заданной относительной по­ грешности величины а определяется из соотношения

167

Из (7) и (8) следует, что

Т7

и соответственно для /г',- получаем кривые противоположного ха­ рактера (см. штрих-пунктирные кривые «а рис. 9.6).

3.Дисперсия вероятности потерь, вычисленной по формуле БЛБ

Пусть заданы результаты статистического моделирования коммутационной системы, т. е. даны пары чисел яг,-, /г,-, i — d,..., v— 1, где Я ; — ЧИСЛО поступивших ВЫ ЗОВОВ; m -i — число потерянных вы­ зовов в состояниях с I занятыми линиями. Подставляя в формулу

БЛБ оценки уi=~^~ , вычисляем оценку вероятности потерь л(А).

л(Л) или, пользуясь более точным обозначением, для я(Л, уц..., ув).

ЛЛ Л

Формулу для 1>л(Л, yi,..., уи) получим, используя теорему о перено-

д

се ошибок, приведенную в [136, 144]. Так как оценки угявляются взаимно независимыми, получаем приближенное равенство

г-i

168

Следовательно, получаем следующий алгоритм моделирования: 1) моделируем схему с целью оценки у* как вероятности успеха

(биномиального распределения); /\

2)вычисляем 7>у,- по (11);

3)при данном Л вычисляем— — по (12);

Предположим, что для оценки неизвестной вероятности у сдела­

но я испытаний. Тогда £>у=у(1—у)//г или, переходя от числа ис­ пытаний п к соответствующему среднему времени наблюдения по формуле n = t.А,

Переход от я к tA был произведен с целью сравнения точности двух методов моделирования: 1) моделирования данной коммутацион­ ной схемы по времени и 2) моделирования условной вероятности потерь и последующего вычисления.

На рис. 9.7 .приведены кривые среднего квадратического откло­ нения оценки вероятности потерь, вычисленных с помощью двух указанных методов. Как видно из рисунка, при переходе от моде­ лирования всей схемы к моделированию только условных вероят­ ностей потерь точность возрастает в 6— 10 раз.

4. Оптимизация числа наблюдений по состояниям

а—1

При данном N = 2 я,- можно поставить задачу оптимального i=d

выбора пг с целью минимизации главного члена среднего значения выражения (10):

169