книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

2.2. ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМУЛ ТЕОРИИ ТЕЛЕТРАФИКА

1. Формула БЛБ

Формула БЛБ *) дает выражение вероятности потерь для лю­ бой коммутационной системы с потерями и имеет вид, аналогичный

смысл, формально преобразуя данный марковский процесс к виду,

') Сокращенно от фамилий Б а ш а р и н—Л о н г л е й—Б е н е ш.

30

•откуда следует доказательство (15) согласно принципу математи­ ческой индукции.

Введем обозначение

х е Lk

представляющее собой условную вероятность потери вызова на подпространстве Lh. Тогда с учетом (18) из (15) следует

Отсюда вероятность потерь (14) с учетом обозначений (16) и (18) принимает вид

к- 1

Е £ П о - т . >

к=0 i=0

где А = /.п, что и называем формулой БЛБ. Формулу (20) Лонглей [256] вывел для описания неполнодоступных схем. Башарин [12] по­ лучил ее в общем виде при изучении двухкаскадных и других ком­ мутационных систем. Она приводится также в монографии Бенеша [24]. Затем, что ф-лой i(20) нельзя пользоваться непосредствен­ но, так как она содержит величины уь Для определения которых согласно (18) надо знать все стационарные вероятности рх. Она только может быть использована для приближенных построений, например, подобно тому, как это делается в гл. 10.

2.Обобщение формулы Эрланга для неординарного потока

Пусть дан полнодоступный пучок, состоящий из v линий. На пучок поступает стационарный неординарный пуассоновский поток

А>

с параметром А. С вероятностью— , п, одновременно по-

Л

П

ступает i вызовов, ^ Л,< = А. Группа из i вызовов (назовем ее t'-вы-

<=i

31

зовом) требует для своего обслуживания / линий. Если число сво­ бодных линий в момент поступления t-вызова меньше /, то вся группа теряется, не влияя на ход будущих событий. Группа начи­ нает и кончает обслуживаться одновременно, при этом’продолжи­ тельность обслуживания /-вызова подчинена экспоненциальному закону с параметром /= 1,..., п. Порядок предоставления сво­ бодных линий произвольный.

При этих предположениях действие системы можно описать мар­ ковским процессом

* ( 0 = Ы * ) . ■ • - х п(Щ,

где X i ( t ) — число /-вызовов, обслуживаемых системой в момент t. Траектории процесса определяются следующими вероятностями пе­

+ о(Д/). Легко видеть, что множество состояний рассматриваемого марковского процесса образует один существенный класс без су­ щественных подклассов, поэтому существует стационарное распре­ деление процесса, не зависящее от времени / и от начального со­ стояния. Рассмотрим стационарные вероятности состояний процес­

i= 1

(квадратная скобка — знак целой части). Стационарные вероятно­ сти согласно (1.41) с точностью до произвольного множителя опре­ деляются из следующей алгебраической системы:

32

-A'n)es i=i

Далее выводим формулу вероятности потерь. ^Условная вероят­ ность потерь в состоянии (xi,..., хп) равна отношению потерянной нагрузки в этом состоянии к поступившей нагрузке. Под поступив­ шей нагрузкой понимаем среднее число занятых линий в бесконеч-

П

ном пучке линий, что равно ^ IQiПод потерянной нагрузкой по-

/=1

нимаем разность между средним числом занятых линий в бесконеч­ ном пучке и средним числом занятых линий в данной о-линейной

системе в состоянии (х\,..., хп). Потерянная нагрузка равна

П

^. ja,j. Тем самым на основе формулы полной вероятно-

п

/= 1

где До — определено выше. В случае n = 1 ф-ла (21) совпадает с формулой Эрланга (1).

П р и м ер . Применим ф-лу (21) к решению задачи — выгодно ли объединять полнодоступные пучки, обслуживающие ординарные пуассоновские потоки различных t-вызовов.

Пусть дан полнодоступный пучок, состоящий из о= 7 линий. На пучок поступает стационарный неординарный пуассоновский поток с параметром А = а (1 + й ). С интенсивностью Xi = а поступают вы­ зовы, занимающие одну линию, а с интенсивностью Xz=ka посту­ пают вызовы, требующие четырех одновременно свободных линий. Продолжительность обслуживания отдельного вызова подчинена

экспоненциальному закону с параметром pi=p,2= 1-

+— + — + — 5! 6! 7!

Теперь рассмотрим два пучка si= 3 и 52= 4, которые обслужи­ вают два ординарных потока с интенсивностями а и ka соответст­ венно. Для каждого пучка в отдельности вероятность потерь опре­ деляется формулой Эрланга:

Отсюда получаем вероятность потерь ль для системы двух пуч­ ков с числом линий 5 = 7:

2462а + 24k-a (1262 4-l)a3 4-(462 4-6)a*

(1 + 4 k ) (6 4 - 6 (6 4 - 1)а 4-3(26 4- 1) а2 + (36-f- l)a3 -f-6a4)

Сравнение ла и ль проведем при малых и больших значениях параметра а. Для этого разложим ла и ль в степенной ряд по ма­ лым значениям параметра а и 1/а соответственно. В первом случае получаем:

Ла = (4k2a — 4P a r + 4&4a3 + о (a3));

Сравнением коэффициентов асимптотических разложений в пер­ вом и во втором случаях приходим к следующим выводам:

1.При малых значениях а всегда выгодно объединять пучки независимо от величины k.

2.В случае больших значений а выгодно иметь объединенный ■пучок при k<\ и 'выгодно разделять пучок при k ^ l .

34

2.3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ЭРЛАНГА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

1. Вывод формулы

По определению гамма-функции Эйлера

Применим (25) к каждому слагаемому в (26) и поменяем местами знаки суммы и интеграла:

оо N

Особенность ф-лы (28) в том, что она дает значения не только для целых N, как обычная формула Эрланга, но и для дробных N, что важно при расчетах по методу эквивалентных замен [168, 280].

2. Алгоритм вычислений

Чтобы подчеркнуть, что в качестве N могут быть произволь­ ные числа, заменим в (28) N на х и введем новое обозначение

куда входят выражения полной и неполной гамма-функций, кото­ рые численно табулироваины. Например, :в таблицах Хамида (237] табулированна функция

2n Г (N)

Чтобы воспользоваться функцией P(N, х) при вычислении (32), рассмотрим новую функцию

А

36

Переходим в (34) к переменной интегрирования y= t/2, тогда

куда входят только табулированные функции.

Выражение (36) упрощает также использование рекуррентного выражения (31), так как согласно (36) при вычислениях в памяти машины целесообразно ввести таблицу гамма-функции Г (х ) и вы­ числять функцию P(N, х).

3.Доказательство гипотезы Пальма

Восновополагающей монографии Хинчина [142] упоминается гипотеза Пальма о том, что в упорядоченном полнодоступном пуч­ ке удельная потерянная нагрузка растет с ростом линий, точнее, если

где у (к, х) = ’к Е х (к).

Для доказательства гипотезы используем интегральное пред­ ставление формулы Эрланга (28). Возьмем соотношение (29) и учтем, что F(K, х)={у(\К, х)]~1. Дифференцирование дает

Доказательство будем основывать на использовании легко прове­ ряемого уравнения

37

Для расчета G производные от F будем брать в виде (39), при­ чем для F*, F Хх в качестве переменной интегрирования берем s. Так как переменные (, s и соответствующие пределы интегрирова­ ния не зависят друг от друга, мы имеем

t

так как-In (H-l) при t> 0 является строго возрастающей функцией.

38

Следовательно, значение разности в квадратной скобке подынтег­ рального выражения в (48) положительно, так же как и все ос­ тальные множители. Поэтому имеет место (47), (45) и (42), что требовалось доказать.

4. Упрощение формул Якобеуса

Формулы Якобеуса, как известно (96, 229, 158], применяются для приближенных расчетов многокаскадных схем. Например, для двухкаскадной схемы при использовании распределения Бернулли для линий в каскаде В и распределения Эрланга для выходов в каком-то'направлении (('158], ф-ла (6.7 q ) ) вероятность потерь

где b — нагрузка на линию в каскаде В; т — число коммутаторов каскада В ; А — нагрузка на направление.

Формулу (49) можно упростить при помощи интегрального представления формулы Эрланга (28) и обойтись без вычисления биномиальных 'коэффи1цие(нто1в, -что осложняет счет из-за их быст­ рого роста. Покажем возможность упрощений на примере более сложной формулы типа (49), которая содержит знакопеременные биномиальные коэффициенты.

П р и м ер 1. Пусть дана формула

Эта формула приближенно описывает вероятность потерь в двух­ каскадной схеме, представленной на рис. 2.1. При ее вычислении

приходится суммировать знакопеременные ряды, содержащие бино­ миальные коэффициенты и формулу Эрланга. Внутренняя сумма в (50) содержит близкие по абсолютному значению слагаемые с противоположными знаками. При достаточно больших значениях параметра т эта сумма не может быть вычислена на ЭВМ, так как при суммировании теряются значимые цифры. При этом следует

39